С.В. Петров - Лекции (1124220), страница 8
Текст из файла (страница 8)
 íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àåäëÿ ýëåêòðîíà g = 2. Íàïðàâèì îñü z âäîëü íàïðàâëåíèÿ H; òîãäà H = (0, 0, H); ñîáñòâåííûåóñëîâèÿìè H0 |ms i = E0 |ms i, sˆz |ms i = ms ~|ms i, H |ms i = âåêòîðû îïðåäåëÿþòñÿe~1ms H |ms i . ms = ± , òî åñòü â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ýíåðãåòè÷åñêèåE0 +mc2e~óðîâíè ðàñùåïëÿþòñÿ, ïðè÷¼ì âåëè÷èíà ðàñùåïëåíèÿ ñîñòàâëÿåò ∆E =H = 2µB H.mcÄàííîå ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì Çååìàíà è òàêæå íàáëþäàåòñÿ äëÿ ìíîãîýëåêòðîííûõ àòîìîâ.Íàêîíåö, îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà, äåéñòâóþùèé íà ñïèíîð ïåðâîãî ðàíãà (ïðè l = 0),äîëæåí èìåòü âèä ìàòðèöû 2×2 è, î÷åâèäíî, çàïèñûâàòüñÿ êàê H = H0 +(µ H) ñ èñïîëüçîâàíèåì â âûðàæåíèè äëÿ µ ìàòðèö Ïàóëè.
1 00 10 −i1 0H = H0+ gµBHx +Hy +Hz .1 0i 00 −10 1j∇ =Ïðè ýòîì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà çàïèñûâàåòñÿ òî÷íî òàêæå, êàê â îòñóòñòâèå ñïèíà: H ψ =Eψ è íîñèò íàçâàíèå óðàâíåíèÿ Ïàóëè.4.4.Ñèììåòðèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå: òîæäåñòâåííûìè ÷àñòèöàìè íàçûâàþòñÿ ÷àñòèöû, îäèíàêîâûå ïîâñåì ñâîèì ñâîéñòâàì. Îïåðàòîð P, ìåíÿþùèé ìåñòàìè êîîðäèíàòû äâóõ òîæäåñòâåííûõ÷àñòèöû, íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ïåðåñòàíîâêè P ψ(1, 2) = ψ(2, 1).Ïðèíöèï íåðàçëè÷èìîñòè òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö: â êâàíòîâîé ìåõàíèêå òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû íåðàçëè÷èìû, ïîñêîëüêó, â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, íåëüçÿóêàçàòü òî÷íûå êîîðäèíàòû è òî÷íûé èìïóëüñ ÷àñòèöû â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. ×åì òî÷íåå çàäàíèå êîîðäèíàò ÷àñòèö íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (ðàçëè÷åíèå ÷àñòèö),òåì áîëüøå îøèáêà â îïðåäåëåíèè èìïóëüñà. Êðîìå ýòîãî, ÷àñòèöû íå äâèãàþòñÿ ïî îïðåäåë¼ííûì òðàåêòîðèÿì (ïðèíöèï íåîïðåäåë¼ííîñòè), ïîýòîìó ðàçëè÷èòü èõ â ïðîöåññåäâèæåíèÿ òàêæå íåâîçìîæíî.Î÷åâèäíî, ÷òî â êîîðäèíàíòíîì ïðåäñòàâëåíèè âñå îïåðàòîðû èíâàðèàíòíû ïî îòíîøåíèþ ê ïåðåñòàíîâêå äâóõ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, ïîýòîìó ëþáîé îïåðàòîð êîììóòèðóåò ñ P; â ÷àñòíîñòè, [H, P] = 0.
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîðû H è32P èìåþò îäèíàêîâûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, òî åñòü åñëè H ψ(1, 2) = Eψ(1, 2), òîP ψ(1, 2) = λψ(1, 2). Íî P2 ψ(1, 2) = ψ(1, 2) = λ2 ψ(1, 2) ⇒ λ = ±1 â çàâèñèìîñòè îò çíàêàλ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñèñòåìû òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ìîæåò áûòü ñèììåòðè÷íîé èëè àíòèñèììåòðè÷íîé. Çàìåòèì, ÷òî ñâîéñòâî ñèììåòðèè âîëíîâîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì∂P= 0.äâèæåíèÿ, ïîñêîëüêó [H, P] = 0,∂tÎïðåäåëåíèå: òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû, îïèñûâàåìûå ñèììåòðè÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèåé, íàçûâàþòñÿ áîçîíàìè, à ÷àñòèöû, îïèñûâàåìûå àíòèñèììåòðè÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèåé, ôåðìèîíàìè.
Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî âñå ÷àñòèöû ñ öåëûì ñïèíîìÿâëÿþòñÿ áîçîíàìè, à âñå ÷àñòèöû ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì ôåðìèîíàìè.Çàìå÷àíèå: ñèììåòðè÷íàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äëÿ áîçîíîâ ìîæåò áûòü âûáðàíà â êà÷åñòâå ñóììû ïðîèçâåäåíèé âîëíîâûõ ôóíêöèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì ñîñòîÿíèÿì1ψs = √ (ψ1 (1)ψ2 (2) + ψ1 (2)ψ2 (1))21(êîýôôèöèåíò √ íåîáõîäèì äëÿ íîðìèðîâêè.
Àíàëîãè÷íî âûáèðàåòñÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ21ôåðìèîíîâ ψa = √ (ψ1 (1)ψ2 (2) − ψ1 (2)ψ2 (1)) . Äàííîå ïîñòðîåíèå ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà2ñëó÷àé N ÷àñòèö (p1 , . . . pN íîìåðà ñîñòîÿíèé):ψs (1, 2, . . . N ) =N1 ! . . . NN !N!12Xψp1 (1)ψp2 (2) . . . ψpN (N ),(p1 ,...pN )ãäå ñóììà áåð¼òñÿ ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì (p1 , . . . pN ). Äëÿ ôåðìèîíîâ ñóììà òà æå, îäíàêî êàæäîå ñëàãàåìîå íåîáõîäèìî äîìíîæèòü íà ÷¼òíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåñòàíîâêè(p1 , . . . pN ); ðåçóëüòàòîì ñòàíåò îïðåäåëèòåëü ψp (1) ψp (2) . .
. ψp (N ) 1111 ψp2 (1) ψp2 (2) . . . ψp2 (N ) ψa (1, 2, . . . N ) = √ ....N ! ψpN (1) ψpN (2) . . . ψpN (N ) 4.5.Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ.Ïóñòü èìåþòñÿ äâà îïåðàòîðà óãëîâîãî ìîìåíòà J1 è J2 , õàðàêòåðèçóþùèåñÿ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè jk , mk : J2k |jk , mk i = jk (jk + 1)~2 |jk , mk i, Jzk |jk , mk i = mk ~|jk , mk i (k = 1, 2).Ñîáñòâåííûå âåêòîðû |jk , mk i çàäàþò Tïðîñòðàíñòâà Ek (dim Ek = 2jk + 1); áóäåì ñ÷èòàòüýòè ïðîñòðàíñòâà èíâàðèàíòíûìè (E1 E2 = 0), òîãäà êîìïîíåíòû îïåðàòîðîâ óãëîâîãîìîìåíòà êîììóòèðóþò: [J1α , J2β ] = 0 ∀ α, β.Ââåä¼ì îïåðàòîð J : Jα = J1α + J2α , äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå E = E1 ⊗ E2 òåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè E1 è E2 (dim E = (2j1 + 1)(2j2 + 1)). Î÷åâèäíî, äëÿ J âûïîëíÿþòñÿ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå îïåðàòîð óãëîâîãî ìîìåíòà (ñì. 4.2):[Jα , Jβ ] = i Jγ , [Jα , J2 ] = 0, [J2 , J2k ] = 0, ïîýòîìó äëÿ J òàêæå ìîæíî ââåñòè äâà êâàíòîâûõ÷èñëà j è m: J2 |j, m i = j(j + 1)~2 |j, m i, Jz |j, m i = m~|j, m i .
Ñîáñòâåííûå âåêòîðû |j, m iíàçûâàþòñÿ âåêòîðàìè (áàçèñîì) ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.Îïåðàòîðû J21 è J1z ; J22 è J2z êîììóòèðóþò, à ïîòîìó èìåþò îáùèå íàáîðû ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ |j1 , m1 i, |j2 , m2 i ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷¼ì ïðîèçâåäåíèÿ |j1 , m1 i |j2 , m2 i =|j1 , m1 , j2 , m2 i çàäàþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà E ýòîò ïîëíûé íàáîð íàçûâàþò áàçèñîì íåñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, êîòîðûé ïîçâîëÿåò âûðàçèòü âåêòîðû ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ:33|j, m i =P(j1 j2 m1 m2 |jm)|j1 , m1 , j2 , m2 i, ãäå (j1 j2 m1 m2 |jm) êîýôôèöèåíòû âåêòîðíîãîm1 ,m2ñëîæåíèÿ (êîýôôèöèåíòû Êëåáøà-Ãîðäàíà ).Ýòè êîýôôèöèåíòû ðàññ÷èòàíû äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé j1 , j2 , j, m1 , m2 , m è òàáóëèðîâàíû. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî J = J1 + J2 ,ïîýòîìó ñêëàäûâàþòñÿ ïðîåêöèè ýòèõ îïåðàòîðîâ: m = m1 + m2 , òî åñòü ôàêòè÷åñêè íàm íàêëàäûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîé óñëîâèå m = m1 + m2 .Íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå m îïðåäåëÿåòñÿ êàê mmax = m1,max + m2,max = j1 + j2 ;mmax = j, ïîýòîìó jmax = j1 + j2 ; èíà÷å ãîâîðÿ, óñòàíîâëåíî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåêòîðûìè íåñâÿçàííîãî (|j1 , m1 , j2 , m2 i) è íåñâÿçàííîãî (|j, m i) ïðåäñòàâëåíèé |j1 , j1 , j2 , j2 i è|j1 + j2 , j1 + j2 i.
Áóäåì è äàëüøå ïðîâîäèòü àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, ïîäñòàâëÿÿ ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ j < j1 + j2 ; â êîíöå êîíöîâ äîéä¼ì äî jmin . Êàæäîìó çíà÷åíèþ j ñîîòâåòñòâóþò (2j + 1) ðàçëè÷íûõ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ, à îáùàÿ ñóììà ýòèõ âåêòîðîâ äîëæíàäàòü ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà E , òî åñòüjmax =j1 +j2X(2j + 1) = dim E = (2j1 + 1)(2j2 + 1).j=jminÑóììà ÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíîé ñóììîé àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñ d = 2:nXn(n − 1)d, ïîýòîìóai = na1 +2i=1jmax =j1 +j2X(2j + 1) = (2jmin + 1)(j1 + j2 − jmin + 1)+j=jmin+(j1 + j2 − jmin + 1)(j1 + j2 − jmin ) = (j1 + j2 − jmin + 1)(j1 + j2 + jmin + 1) == (2j1 + 1)(2j2 + 1), ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ïðè jmin = |j1 − j2 |.
Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëèâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ j : |j1 −j2 | ≤ j ≤ j1 +j2 óñëîâíîå "ïðàâèëî òðåóãîëüíèêà" äëÿ ñëîæåíèÿ ìîìåíòîâ; èíà÷å ãîâîðÿ, j ïðèíèìàåò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ìåæäó òåìè ñëó÷àÿìè,êîãäà J1 è J2 ïàðàëëåëüíû è àíòèïàðàëëåëüíû.1Ïðèìåð (îáùèé ñïèí äâóõ ÷àñòèö, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ñïèí ): â äàííîì ñëó÷àå21j1 = j2 = , ïîýòîìó 0 ≤ j ≤ 1, òî åñòü j = 0; 1.
Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ ÷åòûðüìÿ2âåêòîðàìè |0, 0 i, |1, −1 i, |1, 0 i, |1, 1 i, îäèí èç êîòîðûõ, ñîîòâåòñòâóþùèé îáùåìó ñïèíóS = 0, çàäà¼ò ñèíãëåòíîå ñîñòîÿíèå, à òðè äðóãèõ (S = 1) òðèïëåòíîå ñîñòîÿíèåñèñòåìû ÷àñòèö.1Ïðèìåð (ïîëíûé îðáèòàëüíûé ìîìåíò ýëåêòðîíà): â äàííîì ñëó÷àå j1 = l, j2 = .211Ñîîòâåòñòâåííî, j = l ± ; m = ml + ms ⇒ ml = m − ms = m ± .
Áàçèñ íåñâÿçàííîãî22 1111 1 1ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ âåêòîðîâ l, m − , ,, l, m + , , −. Íåñëîæíî2 2 22 2 2âûïèñàòü âåêòîðû ñâÿçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ l + 1 , m = l, 1 , m − 1 , 1 l + 1 , m l, m − 1 , 1 , 1 +222 222 2 211 1 1111,+ l, , m + , − l + , m l, m + , , −22 222 2 2 11111111 l − , m = l, , m − , l − , m l, m − , ,+222 222 2 211 1 1111.+ l, , m + , − l − , m l, m + , , −22 222 2 2Ýòî îðáèòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðîâ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå; äëÿ òîãî, ÷òîáûñôîðìèðîâàòü ïîëíûå âåêòîðû, íåîáõîäèìî äîìíîæèòü îðáèòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå íà ðàäèàëüíûå Rnj (r).344.6.Ìåõàíèêà òâ¼ðäîãî òåëà.Êàê è â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ïåðåéä¼ì ê ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì;ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðåîáðàçîâàíèå îïåðàòîðîâ ïðè ïåðåõîäå ê ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî êîìïîíåíòû îïåðàòîðà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, çàïèñàííûå â òàêîéñèñòåìå êîîðäèíàò, áóäóò ïîä÷èíÿòüñÿ îáðàòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì ïî ñðàâíåíèþ ñ êîìïîíåíòàìè, çàïèñàííûìè â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà: [Jα , Jβ ] = −i~ Jγ .Îáîçíà÷àÿ áîëüøèìè áóêâàìè êîîðäèíàòû â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ òâ¼äûì òåëîì,J2J2J2çàïèøåì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H = X + Y + Z ; îòñþäà H = A J2X +B J2Y +C J2Z .2IX2IY2IZÐàññìîòðèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ:1.
Øàðîâîé âîë÷îê: A = B = C, ïîýòîìó H = A J2 .Ýíåðãèÿ êâàíòîâàíà è îïðåäåëÿåòñÿl(l + 1)~2.ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè J2 El = Bl(l + 1)~2 =2I2. Ñèììåòðè÷íûé âîë÷îê: A = B 6= C H = B J2 +(C − B) J2Z . Ýíåðãèÿ Elm = Bl(l + 1) −(B − C)m2 )~2 . Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè l çíà÷åíèÿì ±m ñîîòâåòñòâóåò îäíî è òî æåçíà÷åíèå ýíåðãèè îáðàçóåòñÿ âðàùàòåëüíûé ìóëüòèïëåò : íàáîð, ñîñòîÿùèé èç l + 1ëèíèè, l èç êîòîðûõ äâóêðàòíî âûðîæäåíû. Ïðè B > C íåâûðîæäåííûé ýíåðãåòè÷åñêèéóðîâåíü (m = 0) ÿâëÿåòñÿ ñàìûì âåðõíèì; ïðè B < C ñàìûì íèæíèì. áîëåå îáùåì ñëó÷àå àñèììåòðè÷íîãî âîë÷êà àñèììåòðèþ êàêèõ-ëèáî äâóõ ïàðàìåòðîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìóùåíèå ïî îòíîøåíèþ ê çàäà÷å î ñèììåòðè÷íîì âîë÷êå;íàïðèìåð, H = H0 + V = A J2X +B J2Y +C J2Z , ãäå H0 = B J2 +(C − B) J2Z , V = (A − B) J2X .4.7.Îáùèé ñëó÷àé çàäà÷è î ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå.1Ïóñòü äàíû îïåðàòîðû P, Q : [Q, P] = i; H = (P2 + Q2 ). Ðåøèì çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå2çíà÷åíèÿ H : H |λ i = λ|λ i .1Ââåä¼ì îïåðàòîðû â± = √ (Q ∓i P); î÷åâèäíî, ÷òî â+± = â∓ .21[â− , â+ ] = [Q +i P, Q −i P] = 1 ⇒ â− â+ − â+ â− = 1.21iÐàññìîòðèì òàêæå îïåðàòîð N = â+ â− ; Q = (â− + â+ ), P = − (â− − â+ ),22111H = (â− â+ + â+ â− ) = + â+ â− = N + .222N â− = â+ â− â− = (â− â+ −1) â− = â− (â+ â− −1) = â− (N −1).
Ïóñòü |µ i ñîáñòâåííûåâåêòîðû N: N |µ i = µ|µ i; N â− |µ i = â− (N −1)|µ i = â− (µ − 1)|µ i = (µ − 1) â− |µ i . Èòàê,|ν i = â− |µ i ñîáñòâåííûé âåêòîð N, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ µ − 1.Çàìåòèì, ÷òî 0 ≤ h ν|ν i = h µ| â+− â− |µ i = h µ| â+ â− |µ i = h µ| N |µ i = µ h µ|µ i, ïîýòîìóµ ≥ 0. Àíàëîãè÷íî ðàññìîòðèì N â+ = â+ â− â+ = â+ (1 + â+ â− ) = â+ (N +1); N â+ |µ i =â+ (N +1)|µ i = (µ+1) â+ |µ i .
Òàêèì îáðàçîì, âp+ |µ i ñîáñòâåííûå âåêòîðû N, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì µ + p, à âp− |µ i ñîáñòâåííûå âåêòîðû N, ñîîòâåòñòâóþùèå→−µ−p. Îäíàêî ∃ n : µ−n > 0, µ−(n+1) < 0, ÷òî íåâîçìîæíî; çíà÷èò, ân− |µ i =6 0 , ân+1− |µ i =→−0 , òî åñòü µ − n − 1 + 1 = 0 ⇒ µ = n. Ìåæäó òåì, âîçðàñòàíèå µ ïîä äåéñòâèåì îïåðàòîðà â+ íåîãðàíè÷åííî, ïîýòîìó íàáîð ñîáñòâåííûõâåêòîðîâ N óäîáíî îáîçíà÷èòü êàê√ñè|0 i, |1 i, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
