С.В. Петров - Лекции (1124220), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Î÷åâèäíî, ÷òî ñõîæàÿ ñèòóàöèÿ íàáëþäàåòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè áëèçêîëåæàùèõóðîâíåé â ñòàöèîíàðíîé òåîðèè âîçìóùåíèé (çíàìåíàòåëè íåêîòîðûõ ÷ëåíîâ ðÿäà äëÿýíåðãèè áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþò).Äëÿ ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî äâà áëèçêîëåæàùèõ óðîâíÿ(n-é è k -é), ïðåíåáðåãàÿ îñòàëüíûìè,êîòîðûå, î÷åâèäíî, íå èñïûòûâàþò ðåçîíàíñ. ÝòîPîçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèÿ i~Ċn = Cm · H0nm eiωnm t äàäóò ñèñòåìó äâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõm∗ iωtóðàâíåíèé (H0nk ≈ Fnk e−iωt , H0kn ≈ Fnke , ωnk = −ωkn ):.i~Ck = Fnk eiεt · Cn.∗ −iεti~Cn = Fnke· Ck ..Ââåä¼ì b = Cn eiεt ⇒ Cn = be−iεt ; òîãäà èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî i~Ck = Fnk b. Ñî∗∗ ˙ãëàñíî âòîðîìó óðàâíåíèþ, i~(−iεb + ḃ) = FnkCk ⇒ ε~ḃ + i~b̈ = FnkCk ; ïîäñòàâëÿÿ âûðàæå˙íèå Ck ÷åðåç b, ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà|Fnk |2b = 0. Êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿb̈ − iεḃ +~2riε2 |Fnk |2+,λ = (ε ± 2Ω), Ω =24~2εεïîýòîìó b = ei 2 t (AeiΩt + Be−iΩt ), Cn = e−i 2 t (AeiΩt + Be−iΩt ).
Åñëè ïðè t = 0 ñèñòåìà íàõîäèëàñü íà k -îì ýíåðãåòè÷åñêîì óðîâíå, òî Cn (0) = A + B = 0 ⇒ A = −B ⇒εCn = 2iAei 2 t sin Ωt ⇒ |Cn |2 = 4|A|2 sin2 Ωt = 2|A|2 (1 − cos 2Ωt) ñîñòîÿíèÿ ìåíÿþòñÿ ñ ÷àñòîòîé 2Ω. Ðåøåíèå äëÿ ðåçîíàíñíîãî ñëó÷àÿ ìîæåò áûòü íàéäåíî ñ ïîìîùüþ ïðåäåëüíîãîïåðåõîäà ïðè ε → 0: ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ðåçîíàíñíîì ñëó÷àå ñèñòåìà òàêæå ïîïåðåìåííî|Fkn |íàõîäèòñÿ â îáîèõ ñîñòîÿíèÿõ, ïðè÷¼ì ÷àñòîòà èõ ñìåíû Ω =.~3.4.Âàðèàöèîííûå ìåòîäû.Âàðèàöèîííûé ïðèíöèï: ∀ ψ (ψ, H ψ) ≥ E0 , ãäå E0 ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ.4 Ïóñòü ψn îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé óðàâíåíèÿØðåäèíãåðàPPH ψ = Eψ ,ïðè÷¼ì ôóíêöèè ψn ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèÿ En . Òîãäà ψ = Cn ψn , (ψ, H ψ) = |Cn |2 En ≥nnPE0 · |Cn |2 = E0 , ïîñêîëüêó En ≥ E0 , à Cn ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå ðàçëîæåíèÿnPψ ïî ψn , òî åñòü äëÿ íèõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ |Cn |2 = 1.
n24Âàðèàöèîííàÿ òåîðåìà: ìèíèìóìû ýíåðãèè äîñòèãàþòñÿ íà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèÿõãàìèëüòîíèàíà.(ψ, H ψ)⇒ ε ·(ψ, ψ) = (ψ, H ψ). Óñëîâè(ψ, ψ)åì ìèíèìóìà ÿâëÿåòñÿ δ ε = 0 (òî åñòü ðàâåíñòâî íóëþ ïåðâîé âàðèàöèè ýíåðãèè); ñîîòâåòñòâåííî, δ ε ·(ψ, ψ) + ε ·δ(ψ, ψ) = δ(ψ, H ψ). Îáîçíà÷èì εmin ÷åðåç E , òîãäà E(δψ, ψ) +E(ψ, δψ) = (δψ, H ψ) + (ψ, H(δψ)) ⇒ (δψ, (H −E)ψ) + (ψ, (H −E)δψ) = 0. Çàìåíèì âàðèàöèþδψ íà iδψ, òîãäà −i(δψ, (H −E)ψ) + i(ψ, (H −E)δψ) = 0; äîìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà iè âû÷òåì èç íåãî âòîðîå; ïîëó÷èì (âàðèàöèÿ δψ ïðîèçâîëüíà) (H −E)ψ = 0 ⇒ H ψ = Eψ óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ H . 4 Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë ýíåðãèè ε(ψ) =Íà îñíîâå âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà è âàðèàöèîííîé òåîðåìû ðàáîòàþò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèáëèæ¼ííûå ìåòîäû êâàíòîâîé ìåõàíèêè, íàçûâàåìûå âàðèàöèîííûìè. Äâà èç íèõáóäóò ðàññìîòðåíû íèæå:Ìåòîä Ðèòöà: âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé ïîëíûé íàáîð áàçèñíûõ ôóíêöèé ϕn ; òîãäàPψ = Cn ϕn .nP ∗PCm Cn (ϕm , H ϕn )c+ Hc(ψ, H ψ)m= + ,= P n∗E=Cm Cn (ϕm , ϕn )(ψ, ψ)c Scm,nãäå Hmn = (ϕm , H ϕn ), Smn = (ϕm , ϕn ).
Òàêèì îáðàçîì, E ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì c; äëÿíàõîæäåíèÿ ìèíèìóìà E ïåðåïèøåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â âèäå E c+ S c = c+ H c è ïðîâàðüèðóåì åãî, èìåÿ â âèäó ïîñòîÿíñòâî ìàòðèö H è S: δE · c+ S c +E(δ c+ ·S c + c+ S · δ c) =δ c+ ·H c + c+ H · δ c . δE = 0 ⇒ δ c+ (H c −ES c) = 0 (ïîëó÷àåì ñóììó äâóõ ýðìèòîâî ñîïðÿæ¼ííûõ âàðèàöèé ñ ýðìèòîâî ñîïðÿæ¼ííûìè êîýôôèöèåíòàìè âàðèàöèè âûáèðàþòñÿïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó îáà êîýôôèöèåíòà ðàâíû íóëþ). Òàêèì îáðàçîì, H c = ES c ìàòðè÷íûé àíàëîã óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.Ìåòîä Õàðòðè: H = ĥ1 + ĥ2 + ĝ, ĥi ãàìèëüòîíèàíû, îïèñûâàþùèå äâå ÷àñòè ñèñòåìû, ĝ îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ýòèõ ÷àñòåé.
Ïðè óñòðåìëåíèè âëèÿíèÿ ĝ ê íóëþ ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò íàéòè âîëíîâûå ôóíêöèè. Åñëè æå âëèÿíèåì ĝíåëüçÿ ïðåíåáðå÷ü, òî áóäåì èñêàòü ψ = ψ1 ψ2 (ïðèáëèæåíèå ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ ).δψ = δψ1 + ψ1 δψ2 ; ñîãëàñíî äîêàçàòåëüñòâó âàðèàöèîííîé òåîðåìû (δψ, (H −E)ψ) = 0 ⇒ZZZZ∗∗∗⇒ δψ1 dV1 ψ2 (H −E)(ψ1 ψ2 )dV2 + δψ2 dV2 ψ1∗ (H −E)(ψ1 ψ2 )dV1 = 0V1V2V2V1(V1 è V2 îáú¼ìû êîíôèãóðàöèîííûõ ïðîñòðàíñòâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòÿì ñèñòåìû).Âàðèàöèè δψ1 è δψ2 íåçàâèñèìû, ïîýòîìóRR ∗ ψ ∗ (H −E)(ψ ψ )dV = 01 22 ψ2 (ĥ1 + ĥ2 + ĝ −E)(ψ1 ψ2 )dV2 = 02V2⇒ VR2⇒R∗∗ ψ1 (H −E)(ψ1 ψ2 )dV1 = 0 ψ1 (ĥ1 + ĥ2 + ĝ −E)(ψ1 ψ2 )dV1 = 0V1V1 ĥ1 +(ψ2 , ĝ ψ2 )2 ψ1 = E − (ψ2 , ĥ2 ψ2 )2 ψ1(ĥ1 + ĝ2 )ψ1 = E2 ψ1⇒⇒ ĥ2 +(ψ1 , ĝ ψ1 )1 ψ2 = E − (ψ1 , ĥ1 ψ1 )1 ψ2(ĥ2 + ĝ1 )ψ2 = E1 ψ2 äàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èòåðàöèé, ïîñêîëüêó àíàëèòè÷åñêîãîðåøåíèÿ îíà ïî÷òè âî âñåõ ñëó÷àÿõ íå èìååò (ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ Ei = E − (ψi , ĥi ψi )i ,ĝi = (ψi , ĝ ψi )i îïåðàòîðû, ïîñêîëüêó â îáùåì ñëó÷àå ĝ äåéñòâóåò íà âñå ïåðåìåííûå).253.5.Àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå.Äàííîå ïðèáëèæåíèå ðàçðàáîòàíî äëÿ ñèñòåì, ñîäåðæàùèõ êàê ë¼ãêèå, òàê è ñóùåñòâåííî áîëåå òÿæ¼ëûå ÷àñòèöû.
Îáû÷íî ë¼ãêèìè ÷àñòèöàìè ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîíû, à òÿæ¼ëûìè ÿäðà; îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû ýëåêòðîíîâ ÷åðåç r, à êîîðäèíàòû ÿäåð ÷åðåç R .Òîãäà H = TR + Tr + V(r, R), ãäåX ~2 ∂ 2X ~2 ∂ 2,T=−Tr = −R2mi ∂ ri22Mi ∂ Ri2ii îïåðàòîðû êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ýëåêòðîíîâ è ÿäåð, à V(r, R) îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó âñåìè ÷àñòèöàìè, êîòîðûé ìû ñ÷èòàåì ìóëüòèïëèêàòèâíûì. Ïîëàãàÿ TR ìàëûì âîçìóùåíèåì, çàïèøåì H = H0 + TR , H0 = Tr + V . íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä(H0 − εn (R))ϕ(R, r) = 0 êîîðäèíàòû òÿæ¼ëûõ ÷àñòèö ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðîì, à áóêâàn îáîçíà÷àåò ñîâîêóïíîñòü êâàíòîâûõ ÷èñåë, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ÿäåð.  îáùåì ñëó÷àåP áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (H −E)Ψ(R, r) = 0 â âèäå Ψ(R, r) =Φn (R)ϕn (R, r) (ñïåêòð H0 ìîæåò áûòü êàê äèñêðåòíûì, òàê è íåïðåðûâíûì, ïîýòîìó ânäàëüíåéøèõ âûêëàäêàõ ïðè íåîáõîäèìîñòè âîçìîæíà çàìåíà ñóììû íà èíòåãðàë).
Çàìåòèì, ÷òî!!X ~2 ∂ ϕ n ∂ ΦnXX+ Φn · T R ϕ n ;ϕn · TR Φn −Φn (R)ϕn (R, r) =TR Ψ = TRM i ∂ Ri ∂ RinniXH0 ϕn = εn ϕn ⇒ (H −E)Ψ = 0 =(εn −E)ϕn Φn + TR ΨnP(V ñ÷èòàåì ìóëüòèïëèêàòèâíûì, ïîýòîìó H0 Ψ = Φn (R)εn ϕn (R, r)). Äîìíîæèì ñêàëÿðníî ðàâåíñòâî íà ϕm ñëåâà; òîãäà, ïîñêîëüêó (ϕm , ϕn ) = δnm , íàéä¼ì!XX ~ 2 ∂ ϕ n ∂ Φn− Φn TR ϕn =Lmn Φn ,(TR + εm (R) − E)Φm (R) =ϕm ,2m∂R∂RiiinniZZ~2 X∂ϕ(R,r)∂nãäå îïåðàòîð Lmn =ϕ∗m (R, r)dr ·− ϕ∗m (R, r) TR ϕn (R, r)dr.2M i∂ Ri∂ RiX0Φm (R)Ïîëàãàÿ âëèÿíèå Lmn ìàëûì, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ (TR + εm (R))Φm (R) = Emíà êîîðäèíàòû ÿäåð. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ âñåé ñèñòåìû çàïèøåòñÿ êàê Ψm = Φm (R)ϕm (R, r),òî åñòü äëÿ å¼ íàõîæäåíèÿ íåîáõîäèìî íåçàâèñèìî ðåøàòü óðàâíåíèÿ íà Φ è ϕ, ïðè÷¼ìóðàâíåíèå íà Φ ñîäåðæèò âñåãî îäèí îïåðàòîð TR , òî åñòü âëèÿíèå ýëåêòðîíîâ íà ñîñòîÿíèåÿäåð íå ó÷èòûâàåòñÿ (÷òî âïîëíå åñòåñòâåííî èç-çà çíà÷èòåëüíîé ðàçíèöû â ìàññå).
 êâàíòîâîé õèìèè äëÿ óïðîùåíèÿ çàäà÷è âñåãäà èñïîëüçóåòñÿ àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå,ïðè÷¼ì ñîñòîÿíèå ÿäåð ïîëàãàåòñÿ êëàññè÷åñêèì è èññëåäóåòñÿ ìåòîäàìè êëàññè÷åñêîéìåõàíèêè. Àíàëîãè÷íî îáùåìó ðåçóëüòàòó òåîðèè âîçìóùåíèé êðèòåðèåì ïðèìåíèìîñòè0àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå (Φm , Lmn Φn ) |Em− En0 |.264.Ïðèìåíåíèå ôîðìàëèçì Äèðàêà ê ðåøåíèþ çàäà÷ êâàíòîâîéìåõàíèêè.4.1.Îáùèé ôîðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè.Êàê óæå îòìå÷àëîñü â 2.7, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ïðåäñòàâëåíèéâåêòîðîâ ñîñòîÿíèé, èç-çà ÷åãî ïðèâåä¼ííûå âûøå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ êâàíòîâîé ìåõàíèêè îêàçûâàþòñÿ íåóíèâåðñàëüíûìè îíè çàïèñàíû â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè,à ïåðåõîä ê äðóãèì ïðåäñòàâëåíèÿì çà÷àñòóþ ñîïðîâîæäàåòñÿ ñëîæíûìè âû÷èñëåíèÿìè.Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü ýòîé òðóäíîñòè, Äèðàêîì áûë ñîçäàí îáùèé ôîðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè èëè ôîðìàëèçì êåò-, áðà-âåêòîðîâ.Îïðåäåëåíèå: êåò-âåêòîðîì (|u i) íàçûâàåòñÿ âñÿêèé âåêòîð, õàðàêòåðèçóþùèé ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íåçàâèñèìî îò âûáðàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.nPÏîñòóëàò: ïðîñòðàíñòâî êåò-âåêòîðîâ ëèíåéíî, òî åñòü âñå âåêòîðûCi |ui ii=1!Rξ2C(ξ)|ξiξ ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè ñîñòîÿíèÿ.
Ñîñòîÿíèÿ |u i è C|u i ñîâïàäàþò.ξ1Ïîñòóëàò: âñÿêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êåò-âåêòîðîâ ñõîäèòñÿ ê êåò-âåêòîðó (ñâîéñòâîïîëíîòû ), à äëÿ âñÿêîãî êåò-âåêòîðà ìîæíî âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ê íåìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êåò-âåêòîðîâ (ñâîéñòâî ñåïàðàáåëüíîñòè ). Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî êåò-âåêòîðîâÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì.Îïðåäåëåíèå: áðà-âåêòîðîì íàçûâàåòñÿ âåêòîð, ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííûé ê äàííîìóêåò-âåêòîðó (h u| = (|u i)+ ). Òàêîå îïðåäåëåíèå ïîçâîëÿåò çàïèñûâàòüp ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ â âèäå h u|v i (brackets) è îïðåäåëèòü äëèíó êåò-âåêòîðà êàê h u|u i.Ïîñòóëàò: âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÷àñòèöû, ñîñòîÿíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì |u i,â ïðîèçâîëüíîì g -ïðåäñòàâëåíèè ìîæåò áûòü íàéäåíà êàê ψu (g) = h g|u i, ãäå h g| âåêòîð, ñîäåðæàùèé ïåðåìåííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå g -ïðåäñòàâëåíèþ.
Íàáîð ïåðåìåííûõ uíàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ñîñòîÿíèÿ, à íàáîð ïåðåìåííûõ g èíäåêñîì ïðåäñòàâëåíèÿ. ïðîñòðàíñòâå êåò-âåêòîðîâ íåñëîæíî ââåñòè ëèíåéíûå îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå íàêåò-âåêòîðû ñëåâà; î÷åâèäíî, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ êåò-âåêòîð. Ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàìëèíåéíîé àëãåáðû òå æå ñàìûå îïåðàòîðû ìîãóò äåéñòâîâàòü íà áðà-âåêòîðû ñïðàâà, çàäàâàÿ íîâûé áðà-âåêòîð.Îïðåäåëåíèå: îïåðàòîð P = |n i h n| íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèîííûì îïåðàòîðîì (ïðîåêòîðîì) íà íàïðàâëåíèå |n i. Ïðîåêöèîííûå îïåðàòîðû ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü ìàòðè÷íûåïðåäñòàâëåíèÿ êåò- è áðà-âåêòîðîâ, à òàêæå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ.
Ïóñòü |n i ñîáñòâåííûå âåêòîðûîïåðàòîðà A, îáðàçóþùèå áàçèñ: A |n i = an |n i, h n1 |n2 i = δn1 n2 . ÎïåðàòîðPPA = |n i h n| íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ïðîåêòîðîì.nPA |n2 i =X|n1 i h n1 |n2 i =n1Xδn1 n2 |n2 i = |n2 in1 îïåðàòîð PA íå èçìåíÿåòáàçèñíûåPP âåêòîðû, à ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì.∀ |u i PA |u i = |n i h n|u i = un |n i ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå; êîýôôèöèåíòû Ôóðüånnu|u i â âèäå ñòîëáöà: |u i = (h n|u i)n . Àíàëîãè÷íî ∀ h v| h v| PA =Pn çàäàþò ïðåäñòàâëåíèåPh v|n i h n| =vn h n| êîýôôèöèåíòû vn çàäàþò ïðåäñòàâëåíèå h v| â âèäå ñòðîêènn(h n|v i∗ )n .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
