С.В. Петров - Лекции (1124220), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Àíàëîãè÷íî x = (ψ, xψ)x =i ∂x∂Φ)p .= (Φ, i~ ·∂p~Òå æå îïåðàöèè ìîæíî ïðîâåñòè â òð¼õìåðíîì ñëó÷àå; ïîëó÷èì, ÷òî p = (ψ, ∇ψ)r .i~Òàêèì îáðàçîì, èìïóëüñó ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð p̂ = ∇ òàêîé, ÷òî p = (ψ, p̂ψ). Âiîñíîâó êâàíòîâîé ìåõàíèêè çàëîæåíî ïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ïîäîáíàÿ ïðîöåäóðà ìîæåòáûòü âûïîëíåíà äëÿ âñåõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.3. Ïîñòóëàò î ñðåäíåì çíà÷åíèè: ñðåäíåå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû F (r, p)äëÿ ÷àñòèöû, ñîñòîÿíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(r, t), ìîæåò áûòü íàéäåíî êàê(ψ, Fr ψ)r(Φ, Fp Φ)pF ==,(ψ, ψ)r(Φ, Φ)p∂.∂pÇàìå÷àíèå: äàííîå óòâåðæäåíèå âåðíî íå òîëüêî äëÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, íî è äëÿâñåõ, ïóñòü íå îïðåäåëÿåìûõ ýêñïåðèìåíòàëüíî ôóíêöèé q (p) èç L2 ).Çàìå÷àíèå: ýòîò ïîñòóëàò îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïåðàòîðû ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ÿâëÿþòñÿ ýðìèòîâûìè.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà ïðè óñëîâèè íîðìèðîâêè ψF = (ψ, F ψ) = (F ψ, ψ)∗ äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, ïîýòîìó (ψ, F ψ) = (F ψ, ψ),òî åñòü îïåðàòîð F ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâûì.Îïðåäåëåíèå: ýðìèòîâ îïåðàòîð ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ íàáëþäàåìîé.Îñíîâíûå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ: [qˆi , qˆj ] = [p̂i , pˆj ] = 0. Íàéä¼ì [qˆi , pˆj ]; ∂∂ψ− −i~(qi ψ) = i~δij ψ ⇒ [qˆi , pˆj ] = i~δij .[qˆi , pˆj ]ψ = qi −i~∂ qj∂ qjãäå Fr = F (r, p̂), Fp = F (r̂, p), r̂ = i~Íàêîíåö, ñôîðìóëèðóåì åù¼ äâà ïîñòóëàòà, ñìûñë êîòîðûõ ñòàíåò ÿñåí â 2.2:4.
Ïîñòóëàò ïîëíîòû: ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé íàáëþäàåìîé ïîëíà (òî åñòüïîçâîëÿåò âûðàçèòü âñÿêóþ ôóíêöèþ) â ïðîñòðàíñòâå L2 , ðàñøèðåííîì íîðìèðîâêîé íàδ -ôóíêöèþ.5. Ïîñòóëàò èçìåðåíèÿ: ðåçóëüòàòîì ñåðèè èçìåðåíèé çíà÷åíèé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû F ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ñðåäíåå çíà÷åíèå êîòîðîãî ñòðåìèòñÿ êòåîðåòè÷åñêîìó, à êàæäîå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòîðà F.2.2.Èçìåðåíèå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.Îïðåäåëåíèå: âåëè÷èíà ∆F 2 = (F − F )2 íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé ôèçè÷åñêîé âåëè÷è-íû F .
∆F 2 = F 2 − 2F F + (F )2 , ∆F 2 = F 2 − (F )2 = (ψ, F2 ψ) − (ψ,F ψ)2 = (F ψ, F ψ) −p|(ψ, F ψ)|2 . Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî |(ψ, F ψ)| ≤ (ψ, ψ)(F ψ, F ψ), ïðè÷¼ì íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî â ñëó÷àå F ψ = λψ . Òàêèì îáðàçîì, åñëè ψ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ F, òî ∆F 2 = 0; ñòàòèñòè÷åñêèå ôëóêòóàöèè çíà÷åíèé ôèçè÷åñêîé5âåëè÷èíû îáðàùàþòñÿ â íîëü, åñëè äèíàìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû îïèñûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîé âåëè÷èíå.Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé: ïóñòü A è B ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, äëÿ êî-òîðûõ [A, B] = i~. Ðàññìîòðèì α = A − A, β = B − B ýòèì ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàìñîîòâåòñòâóþò îïåðàòîðû â = A −A, b̂ = B −B; î÷åâèäíî, [â, b̂] = i~. α = β = 0 ⇒(∆α)2 = (∆A)2 = α2 , (∆β)2 = (∆B)2 = β 2 .2(∆α)2 · (∆β)2 = α2 · β 2 = (ψ, â2 ψ)(ψ, b̂ ψ) = (â ψ, â ψ)(b̂ ψ, b̂ ψ) ≥ |(â ψ, b̂ ψ)|2 (íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî).
Òàêèì îáðàçîì, (∆A)2 · (∆B)2 ≥ |(ψ, â b̂ ψ)|2 .â b̂ =â b̂ b̂ â â b̂ b̂ ââ b̂ + b̂ â 1++−=+ [â, b̂], ïîýòîìó22222!2â b̂ + b̂ â1(ψ, â b̂ ψ) = ψ,ψ + i~(ψ, ψ).22â b̂ + b̂ â ýðìè2~2~2~òîâ. Òàêèì îáðàçîì, |(ψ, â b̂ ψ)|2 ≥⇒ (∆A)2 · (∆B)2 ≥ . Òàêèì îáðàçîì, δA · δB ≥ ,442ãäå δA, δB ñðåäíèå êâàäðàòè÷íûå îòêëîíåíèÿ (êîðíè èç äèñïåðñèé) A è B .  ÷àñòíîñòè,~[x, p̂] = i~ ⇒ |δx · δp| ≥ .2Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó F è ñïåêòð å¼ îïåðàòîðà F; ñëó÷àéäèñêðåòíîãî ñïåêòðà äîñòàòî÷íî ïðîñò êàê èçâåñòíî, èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà âñåãäà ìîæíî âûáðàòü ïîëíûé ëèíåéíî íåçàâèñèìûé íàáîð, êîòîðûé, ïîñëåïðîöåäóðû îðòîíîðìèðîâêè, äàñò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà L2 (ïîëíîòàñëåäóåò èçR ïîñòóëàòû ïîëíîòû ñì. 2.1).
Ïðîáëåìà ñàìîé âîçìîæíîñòè íîðìèðîâêè (ñõîäèìîñòè ψn∗ ψn dx) â äàííîì ñëó÷àå íå ñòîèò: ìû ïîëàãàåì, ÷òî ñèëû äåéñòâóþò ëèøü âîãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, à ïîòîìó âîëíîâûå ôóíêöèè äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàþò ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè ñëó÷àé èõ áåñêîíå÷íîãî âîçðàñòàíèÿ ëèø¼í ôèçè÷åñêîãîñìûñëà, ïîñêîëüêó îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà "óõîäèò" îò äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë. Îáîçíà÷èìïîëíûé íàáîð ÷åðåç {ψn }n : F ψn = λψn , (ψm , ψn ) = δmn (çíà÷åíèÿ λn ìîãóò è ñîâïàäàòü);ïðîèçâîëüíàÿâîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ψ ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä Ôóðüå ïî ýòîìó íàáîðó:Pψ = Cn ψn , ãäå Cn = (ψ, ψn ).
Íà êîýôôèöèåíòû Ôóðüå íàêëàäûâàåòñÿ âñåãî îäíî óñëînPâèå íîðìèðîâêà ψ , îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ 1 = ||ψ||2 = (ψ, ψ) = |Cn |2 .nP ∗P ∗P(ψ, F ψ) =Cm Cn (ψm , F ψn ) =Cm Cn λn δmn = |Cn |2 λn . Òàêèì îáðàçîì, ôèçè÷åñêèìÏåðâîå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, ïîñêîëüêó îïåðàòîðm,nm,nnñìûñëîì êâàäðàòîâ ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ðàçëîæåíèÿ ψ ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî â õîäå êîíêðåòíîãî èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà F ïðèìåò çíà÷åíèå λn .Îòìåòèì åù¼ îäíî âàæíîåP ñâîéñòâî: δ -ôóíêöèÿ òàêæå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà ïî ïîëíîìó íàáîðó ψn : δ(x − x0 ) = an (x, x0 )ψn (x). Äîìíîæàÿ ñëåâà íà ψm è èíòåãðèðóÿ ïî âñåìónR ∗∗îáú¼ìó êîíôèãóðàöèîííîãîïðîñòðàíñòâà,ïîëó÷èìψm (x)δ(x − x0 ) = am (x, x0 ) = ψm(x0 ),P ∗ 00ïîýòîìó ψn (x )ψn (x) = δ(x − x ).nˆÏðèìåð (ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ îïåðàòîðà lz ): â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå lz = xpy − ypx ,∂∂−y.
Ïåðåéä¼ì ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì (x = r cos ϕ sin θ,ïîýòîìó lˆz = −i~ · x∂y∂xy = r sin ϕ sin θ, z = r cos θ). Ïóñòü ψ = ψ(x, y, z) = ψ(r, ϕ, θ), òîãäà∂ψ∂ψ∂ψ∂ψ∂ψlˆz ψ=−· r sin ϕ sin θ +· r cos ϕ sin θ = −y+x=.∂ϕ∂x∂y∂x∂y−i~6∂. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çàâèñèÒàêèì îáðàçîì, â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ lˆz = −i~ ·∂ϕìîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îò r è θ ïðîèçâîëüíà: ψ(r, ϕ, θ) = f (r, θ)Φ(ϕ), à óðàâíåíèåiλíà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðèìåò âèä −i~Φ0 = λΦ ⇒ Φ = Φ0 e ~ ϕ .
Çíà÷åíèÿ ϕ è ϕ + 2πýêâèâàëåíòíû, ïîýòîìó Φ äîëæíà áûòü ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäîì 2π . Ýòî îçíà2πiλ2πλ÷àåò, ÷òî e ~ = 1 ⇒= 2πm, m ∈ Z ⇒ λ = m~.~Ìåæäó òåì, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñïåêòð îïåðàòîðà F ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì; ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè: T ψ = λψ ⇒r2m2mψ = 0 ⇒ ψ = Aeiωx + Be−iωx , ω = âñå λ > 0 ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìèψ 00 +λλçíà÷åíèÿìè T . Ïðè ýòîì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïðåäñòàâèìû â âèäå ψ = C1 sin(ωx + C2 ),òî åñòü èõ êâàäðàòû íåèíòåãðèðóåìû íà R. Ñóùåñòâóþò äâà ïîäõîäà ê ðàññìîòðåíèþ òàêèõôóíêöèé ââåäåíèå ñîáñòâåííûõ äèôôåðåíöèàëîâ èëè íîðìèðîâêà íà δ -ôóíêöèþ.Ñîáñòâåííûå äèôôåðåíöèàëû: ðàññìîòðèì ìàëûå ó÷àñòêè δp ÷èñëîâîé îñè;1Y (x, p, δp) = √ ·δpp+δpZi 0e ~ p x dp0ii1 ~pxδp·x=√e~−1 ,· e~δp ixpααααααà, ïîñêîëüêó eiα − 1 = cos α + i sin α − cos2 − sin2 = cos2 − sin2 + 2i sin cos −22 2222 αiαααααααααi cos − sin= 2i sincos + i sin= 2i sin · e 2 ,cos2 − sin2 = 2 sin2222222221 2~ ~iY (x, p, δp) = √·eδp xp+δpx2· sinδpx.2~Ñîîòâåòñòâåííî,4~2·(Y, Y ) =δpZ8~212 δp·sinx·dx=·x22~δp+∞R sin2αxx20íûå äèôôåðåíöèàëûδpsin2 2~8~2 π δpdx=· ·= 2π~ < ∞,x2δp 2 2~0RïîñêîëüêóZ+∞π|α|.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïîñòðîèòü íîðìèðóåìûå ñîáñòâåí2âîëíîâûõ ôóíêöèé Y ∈ L2 .dx =Îäíàêî áîëåå óäîáåí äðóãîé ïðè¼ì: ïóñòü ñïåêòð îïåðàòîðà A íåïðåðûâåí è íåâûðîæäåí, ïðè÷¼ì yp (x) ñîáñòâåííûå ôóíêöèè A (A yp = pyp ). Ôóíêöèè yp âçàèìíî îðòîãîíàëüíû, à îáùåå ðåøåíèå ψ(x) ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ïðåäñòàâëÿåòñÿ âRRâèäå èíòåãðàëà Ôóðüå ψ(x) =c(p0 )yp0 (x)dp0 , ãäå c(p0 ) = (yp0 , ψ) =c(p00 )(yp0 , yp00 )dp00 ={p}Rc(p )·f (p , p )dp , ïîñêîëüêó (yp0 , yp00 ) =00000{p}00{p}yp∗0 (x)yp00 (x)dxR= f (p , p ). Îäíàêî âûïîëíåíèå000{x}ïîäîáíîãî ñîîòíîøåíèÿ âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå f (p0 , p00 ) = (yp0 , yp00 ) = δ(p0 − p00 ).
Òàêèìîáðàçîì, äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà äîñòàòî÷íîðàñøèðèòü ïðîñòðàíñòâî L2 âîçìîæíîñòüþ íîðìèðîâêè íà δ -ôóíêöèþ, òî åñòü ýëåìåíòûf : (f, f ) = δ(0). Íîðìèðîâêà ψ îïðåäåëèòñÿ óñëîâèåìZ ZZ ZZ∗ 000000∗ 0000000001 = (ψ, ψ) =c (p )c(p )(yp0 , yp00 )dp dp =c (p )c(p )δ(p − p )dp dp =|c(p0 )|2 dp0 .{p} {p}{p} {p}7{p}A = (ψ, A ψ) = Z00Z00c(p )yp0 (x)dp ,{p}0000 p c(p )yp00 dp ={p}Zc∗ (p0 )={p}ZR∗0Zc (p ){p}p00 c(p00 ) · (yp0 , yp00 )dp00 dp0 ={p}Zp00 c(p00 )δ(p0 − p00 )dp00 dp0 ={p}Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ψ(x) =Zp0 |c(p0 )|2 dp0 .{p}c(p0 )yp0 (x)dp0 ={p}Z=Zyp0 (x){p}ψ(x0)yp∗0 (x0 )dx0 dp0Z=0ψ(x ){x}{x}Z÷òî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå g(x, x0 ) =yp∗0 (x0 )yp0 (x)dp0 dx0Z{x}{p}Rψ(x0 )g(x, x0 )dx0 ,=yp∗0 (x0 )yp0 (x)dp0 = δ(x0 − x) àíàëîãè÷íîå ñîîò-{p}íîøåíèå óæå áûëî âûâåäåíî äëÿ ñëó÷àÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà. îáùåì ñëó÷àå ñïåêòðà, èìåþùåãî êàê äèñêðåòíóþ, òàê è íåïðåðûâíóþ ñîñòàâëÿþùèå,íåîáõîäèìî îáúåäèíèòü ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ êàæäîãî èç ñëó÷àåâ:ZZXX200|cn | + |c(p0 )|2 dp0 ,ψ(x) =cn ψn (x) + c(p )yp0 (x)dp , 1 = (ψ, ψ) =nXnψn∗ (x0 )ψn (x)n{p}Z+yp∗0 (x0 )yp0 (x)dp00= δ(x − x), A =X{p}Z2λn |cn | +n{p}p0 |c(p0 )|2 dp0 .{p}Çàìå÷àíèå: ïðè âû÷èñëåíèè ñðåäíèõ çíà÷åíèé ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ìû óæå ñòàëêèâàëèñü ñ äâóìÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè îïåðàòîðà F êîîðäèíàòíûì è èìïóëüñíûì (ïðè ýòîì îïåðàòîðû x̂ è p̂ ñîîòâåòñòâåííî ÿâëÿëèñü ìóëüòèïëèêàòèâíûìè).
Âûðàæåíèÿ0(ψm , ψn ) = δmn , (yp , yp0 ) = δ(p − pP) çàäàþò ñêàëÿðíûåáàçèñíûõ ôóíêöèéR ∗ ïðîèçâåäåíèÿyp0 (x0 )yp0 (x)dp0 = δ(x0 − x) ñêàëÿðâ êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè, à ψn∗ (x0 )ψn (x) +n{p}íûå ïðîèçâåäåíèÿ áàçèñíûõ ôóíêöèé â p-ïðåäñòàâëåíèè, òî åñòü ïðåäñòàâëåíèè âåêòîðîâáàçèñà êàê ôóíêöèé p, à íå x; ïðè ýòîì p ïðîèçâîëüíàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà.
Ïîäðîáíååî ïðåäñòàâëåíèÿõ ñì. 2.7.2.3.Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è åãî ïðîñòåéøèå ñëåäñòâèÿ.iÇàìåòèì, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ψ(x, t) = e ~ (px−Et) óäîâëåòâîðÿåò∂ψ~2 ∂ 2 ψóðàâíåíèþ i~=−= T ψ . Ïî àíàëîãèè ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà∂t2m ∂ x2∂ψi~= H ψ , îñíîâíîå óðàâíåíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Çäåñü H ãàìèëüòîíèàí ; îïåðàòîð,∂tñîîòâåòñòâóþùèé ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H = H(qˆi , p̂i ). Çíà÷åíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà åñòüýíåðãèÿ ñèñòåìû, ïîýòîìó ãàìèëüòîíèàí ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïåðàòîð ýíåðãèè.1. Ïîñòîÿíñòâî ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè.|ψ|2 = ψ ∗ ψ ⇒∂∂ψ∂ ψ∗HψH ψ∗|ψ|2 = ψ ∗ ·+ψ·= ψ∗ ·−ψ·;∂t∂t∂ti~i~ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïî âñåìó îáú¼ìó êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà,∂1òîãäà(ψ, ψ) = ((ψ, H ψ) − (H ψ, ψ)) = 0.∂ti~82. Óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
