С.В. Петров - Лекции (1124220), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Íàéä¼ì ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû F ; ïóñòü F, H íå çàâèñÿò ÿâíûìîáðàçîì îò âðåìåíè. Òîãäà, ïîñêîëüêó F = (ψ, F ψ), dF∂ψ∂ψ11∂F=, F ψ + ψ, F=H ψ, F ψ + F ψ, H ψ + ψ,ψ =dt∂t∂ti~i~∂t∂F1∂F1ψ = (ψ, [F, H]ψ) + ψ,ψ .= − ((ψ, H F ψ) − (ψ, F H ψ)) + ψ,i~∂ti~∂tÒàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿìè ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èíû F (ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà äâèæåíèÿ)∂F= 0, [F, H] = 0.ÿâëÿþòñÿ∂t3. Ïîòîê âåðîÿòíîñòè. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû∂ρ∂ ψ∗11~2∗∂ ψ∗∗=ψ+ψ=(ψ H ψ − ψ(H ψ) ) =−(ψ ∗ ∆ψ − ψ∆ψ ∗ ) =∂t∂t∂ti~i~2mi~=· ∇ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) ,2mãäå ρ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â òîé èëè èíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.Ëîãè÷íî îáîçíà÷èòüj=−i~ ∗∂ρ(ψ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) ⇒+ ∇j = 02m∂t óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ïîòîêà âåðîÿòíîñòè (çäåñü j ïîòîê âåðîÿòíîñòè ).Ðàññìîòðèì òåïåðü âîçìîæíîñòü ðàçäåëåíèÿïåðåìåííûõâ óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà;∂î÷åâèäíî, îíî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå i~− H Ψ = 0.

Òîãäà, â ñëó÷àå Ψ(x, t) =∂tf0Hψψ(x)f (t), ïîëó÷èì ïðè ïîäñòàíîâêå i~ = çäåñü ïðèðàâíåíû ôóíêöèè ðàçíûõ ïåðåfψìåííûõ (x è t), ïîýòîìó îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà òîæäåñòâåííî ïîñòîÿííû è ðàâíû íåêîòîðîéE ïîñòîÿííîé ðàçäåëåíèÿ. Êàê îêàçàëîñü, ýòà ïîñòîÿííàÿ èìååò ñìûñë ýíåðãèè, à ïîòîìó îíà ñðàçó æå ïîëó÷àåò ñîîòâåòñòâóþùåå îáîçíà÷åíèå. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷èìii~f 0 = Ef ⇒ f = e− ~ Et è H ψ = Eψ ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, ÿâëÿþùååñÿ, ïî ñóòè äåëà, çàäà÷åé íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà H.

Ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷èìîãóò áûòü êàê äèñêðåòíûé, òàê è íåïðåðûâíûé ñïåêòðû H, à ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ψnñâÿçàíû òåìè æå ñîîòíîøåíèÿìè, ÷òî äëÿ äðóãèõ íàáëþäàåìûõ (ñì. 2.2). Îáû÷íî èìåííîñîáñòâåííûå ôóíêöèè ãàìèëüòîíèàíà èñïîëüçóþò â êà÷åñòâå áàçèñíûõ.Îïðåäåëåíèå: ñòàöèîíàðíûìè ñîñòîÿíèÿìè íàçûâàþòñÿ ñîñòîÿíèÿ, èìåþùèå îïðåiäåë¼ííóþ ýíåðãèþ, òî åñòü ñîñòîÿíèÿ, îïèñûâàåìûå âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè âèäà ψn e− ~ En t ,ãäå ψn ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ãàìèëüòîíèàíà. Îñíîâíûìè îñîáåííîñòÿìè ñòàöèîíàðíûõñîñòîÿíèé ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïëîòíîñòè è ïîòîêà âåðîÿòíîñòè.Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: ëó÷øèì ñïîñîáîì çàäàíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ óêàçàíèå ÿâíîãî âèäà âîëíîâîé ôóíêöèèâ íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè (Ψ(x, 0)).

Èç ïðåäûäóùåãîPàáçàöà ñëåäóåò, ÷òî Ψ(x, 0) = Cn ψn (x); äîìíîæèì ñêàëÿðíî ýòî ðàâåíñòâî íà ψm (m 6= n)nPñëåâà; òîãäà (ψm , Ψ(x, 0)) = Cn δmn = Cm , òî åñòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò ëåãêînîïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì. Äîiìíîæåíèå òàêèõ ñëàãàåìûõ íà e− ~ En t è íîðìèðîâêà ïðèâîäÿò ê îòâåòó èñêîìîé âîëíîâîéôóíêöèè.92.4.Ïðîñòåéøèå çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè.Ïðèìåð (÷àñòèöà â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîì ÿùèêå): ðàññìîòðèì ïîòåíöèàë, îïèñûâàåìûéçàâèñèìîñòüþ 0, |x| ≤ a2V (x) = ∞, |x| > a2Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòà ÷àñòèöû íå ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, ïðåaaâîñõîäÿùèåïî ìîäóëþ, ïîýòîìó ∀ x : |x| ≥ψ(x) = 0.

Çàïèøåì ôóíêöèþ Ãàìèëü22p2~2 ∂ 2òîíà ñèñòåìû H(x, p, t) =; ñîîòâåòñòâåííî, ãàìèëüòîíèàí èìååò âèä H = −.2m2m ∂ x2Ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííû2mE= 0. Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ψ = C1 cos ωx + C2 sin ωxìè êîýôôèöèåíòàìè ψ 00 +~!√ a2mEäîëæíû óäîâëåòâîðÿòü êðàåâûì óñëîâèÿì ψ ±= 0, òî åñòü aω = πn ⇒ω=~2n 2 π 2 ~2En =. Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü ñ÷¼òíîå ÷èñëî2ma2çíà÷åíèé ñïåêòð ãàìèëüòîíèàíà ÷àñòèöû äèñêðåòåí, à ýíåðãèÿ êâàíòîâàíà.Ïðèìåð (ñëó÷àé ñòóïåí÷àòîãî ïîòåíöèàëà): ïóñòü ïîòåíöèàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòó-ïåí÷àòóþ ôóíêöèþ è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ Vn ; óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò âèä~2 d2 ψ+ V ψ = Eψ , ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ó÷àñòêà, íà êîòîðîì çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà−2m dx2ïîñòîÿííî,ψ 00 +2m2m(E − Vn )ψ = 0 ⇒ ψ(x) = An ekn x + Bn e−kn x , kn2 = − 2 (E − Vn ).2~~Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå E ≥ Vn ψ(x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ýêñïîíåíò (èëè ïðîñòîýêñïîíåíòó), à ïðè E < Vn ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ âõîäÿùèõ â ðåøåíèå ïîñòîÿííûõ íóæíî èñïîëüçîâàòü óñëîâèÿ ãëàäêîñòè ôóíêöèè ψ : åñëè xn êîîäèíàòàêîíöà "ñòóïåíüêè", òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿψ(xn + 0) = ψ(xn − 0)ψ 0 (xn + 0) = ψ 0 (xn − 0).Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñëó÷àé äâóõñòóïåí÷àòîãî ïîòåíöèàëà, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñóíêå (âåëè2m÷èíû E è U ó÷èòûâàþò ìíîæèòåëü 2 ): x > 0, òîãäà~√00ψ + Eψ = 0 ⇒ ψ = A1 sin(kx + ϕ), k = E.√ Ïðè x < 0 èE ≤ U ψ 00 +(E−U )ψ = 0 ⇒ ψ = A2 eκx , κ = U − E (÷ëåíñ e−κx â ýòîé îáëàñòè íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê ïðèâîäèò ê íåîãðàíè÷åííîìó óâåëè÷åíèþ âîëíîâîé ôóíêöèè).Óñëîâèÿ ãëàäêîñòè:Arr sin ϕ = 2U−EAEA1 sin ϕ = A22A1⇒⇒ ctg ϕ =,=.A1 k cos ϕ = κA2A2 κEA1U cos ϕ =A1 k10Òàêèì îáðàçîì, âñå çíà÷åíèÿ E : 0 ≤ E ≤ U ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè îïåðàòîðà H åãî ñïåêòð íåïðåðûâåí.√Ïðè x < 0 è E > U ψ(x) = A2 sin(k1 t + ϕ1 ), k1 = E − U .

Òàêæå ìîæíî çàïèñàòüðåøåíèå â âèäå:IIIψ(x) Aeikx + Be−ikx Ceik1 x + De−ik1 x ýòîì ñëó÷àå ëåãêî âûÿñíÿåòñÿ ôèçè÷åñêèé ñìûñë âñåõ ðåøåíèé; ÷àñòèöà ìîæåò ïîäëåòàòü ê áàðüåðó èç ïîëîæèòåëüíîé èëè îòðèöàòåëüíîé áåñêîíå÷íîñòè.  ïåðâîì ñëó÷àåêîìïîíåíòà Aeikx ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòèöå, ïîäëåòàþùåé ê áàðüåðó, êîìïîíåíòà Be−ikx ÷àñòèöå, óëåòàþùåé â ïîëîæèòåëüíóþ áåñêîíå÷íîñòü (îòðàæ¼ííîé îò áàðüåðà), à De−ik1 x ÷àñòèöå, óëåòàþùåé â îòðèöàòåëüíóþ áåñêîíå÷íîñòü (ïðîøåäøåé ÷åðåç áàðüåð). Ceik1 x ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòèöå, ïîäëåòàþùåé ê áàðüåðó èç îòðèöàòåëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, 2 à ïîòîìóDâ äàííîìó ñëó÷àå C = 0.

Âåðîÿòíîñòü ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç áàðüåð ðàâíà , à âåðîÿòA 2B íîñòü îòðàæåíèÿ îò áàðüåðà . Àíàëîãè÷íî äëÿ ÷àñòèöû, ëåòÿùåé èç îòðèöàòåëüíîéA 2 2DB áåñêîíå÷íîñòè, A = 0, âåðîÿòíîñòè ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ ðàâíû è ñîîòâåòCCñòâåííî.Ïðèìåð (ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð): â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãîp2kx2p2mω 2 x2îñöèëëÿòîðà H(x, p) =+=+. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò2m22m2 2~2 d21dm2 ω 2 2mω2 2âèä −· 2 + mω x − E ψ = 0 ⇔−x + ε ψ = 0.

Ïóñòü= λ,222m dx2dx~~2mE= ε; òîãäà ψ 00 + (ε − λ2 x2 )ψ = 0.~2Äëÿ íà÷àëà íàéä¼ì àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå; ïðè |x| → ∞ óðàâíåíèå óïðîùàåòñÿ222200ψ − λ2 x2 ψ = 0. Ïóñòü ψ = eαx , òîãäà ψ 0 = 2αxeαx , ψ 00 = 2αeαx + 4α2 x2 eαx . Ïîä2ñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì (2α + 4α2 x2 − λ2 x2 )eαx = 0 ⇔ 2α + (4α2 − λ2 )x2 = 0 ⇒λ(ïðåíåáðåãàåì 2α) ⇒ (4α2 − λ2 )x2 = 0.

Ðåøåíèå ñóùåñòâóåò ïðè 4α2 = λ2 ⇔ α = ± .2Îíî äîëæíî ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè (èíà÷å ψ íå áóäåò èíòåãðèðóåìà íà R),λïîýòîìó α < 0 ⇒ α = − .2λ 2Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé â âèäå ψ(x) = y(x) · e− 2 x ;λλ22λλ22λλ2λ22ψ 0 = y 0 e− 2 x − λxye− 2 x , ψ 00 = y 00 e− 2 x − λxy 0 e− 2 x − λye− 2 x − λxy 0 e− 2 x + λ2 x2 ye− 2 x =λλ22λ2y 00 e− 2 x −2xy 0 λe− 2 x +y(λ2 x2 −λ)e− 2 x . Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä y 00 −2λxy 0 ++∞+∞PP(ε − λ)y = 0.

Ïðåäñòàâèì ðåøåíèå â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà y =ck xk , y 0 =kck xk−1 ,k=0y 00 =∞Pk=2k(k − 1)ck xk−2 . Òîãäà+∞Pk(k − 1)ck xk−2 − 2λkck xk + ck (ε − λ)xk=1k− 2λc1 x +k=2+(c1 + c0 )(ε − λ) = 0. Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ðàâíûõ ñòåïåíÿõ x, íàõîäèì(k + 1)(k + 2)ck+2 = ck (2λk − (ε − λ)) ⇒ ck+2 =2λk + λ − ε· ck .(k + 1)(k + 2)Ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè íàëè÷èè áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ òàêîé ðÿä ñõîäèòñÿ ê2eλx , òî åñòü áåñêîíå÷íî âîçðàñòàåò ñ âîçðàñòàíèåì x. Ïîýòîìó âûáåðåì n : cn 6= 0, cn+1 =111, n = 0, 1, . . . Îáùååcn+2 = . . . = 0; ñîîòâåòñòâåííî, εn = λ(2n + 1), En = ~ω n +2ðåøåíèår2√λλdn e−x12− x2nxψn (x) = n· Hn ( λx) · e 2 , ãäå Hn (x) = (−1) e ·2 n! πdxn ïîëèíîìû Ýðìèòà (ñèñòåìà îðòîíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé).Îïðåäåëåíèå: îñíîâíûì ñîñòîÿíèåì íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿíèå ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé.11 2(px + p2y ) + mω 2 (x2 + y 2 ).

ÏåðåÄâóõìåðíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð: H =2m21ìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ, ïîýòîìó Ψ(x, y) = ψ(x)Φ(y) è H1 ψ = ~ω n1 +ψ,21Φ. Òîãäà E = ~ω(n1 + n2 + 1) = ~ω(n + 1), n = 0, 1, . . . Äëÿ îñíîâíîH2 Φ = ~ω n2 +2ãî ñîñòîÿíèÿ îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä Ψ(x, y) = ψ0 (x)Φ0 (y), äëÿ ïåðâîãî âîçáóæä¼ííîãîâîçìîæíû äâà ñî÷åòàíèÿ ψ è Φ :ψ0 (x)ψ1 (y)Ψ(x, y) =ψ1 (x)ψ0 (y),òî åñòü ïåðâîå âîçáóæä¼ííîå ñîñòîÿíèå ÿâëÿåòñÿ äâàæäû âûðîæäåííûì.  îáùåì ñëó÷àåêðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ n-ãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíà n + 1.Òð¼õìåðíûé ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð: àíàëîãè÷íî äâóìåðíîìó ñëó÷àþ ìîæíî33ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå; òîãäà E = ~ω n1 + n2 + n3 += ~ω n +.222.5.Çàäà÷à îá àòîìå âîäîðîäà. ýòîé çàäà÷å ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà òåëà, ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ êîòîðûõ çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òåëàìè (V (r)).

Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ñèñòåìû èìååò âèäp2p2H(p1 , p2 , R, r) = 1 + 2 + V (r). Òîãäà â êîîðäèíàòàõ, ñâÿçàííûõ ñ öåíòðîì ìàññ ñè2m1 2m2P̂ 2p̂2ñòåìû, H =++ V (r) = H0 + ĥ, ãäå H0 îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé íà R (òî åñòü2µ2µðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ), à ĥ îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé íà r (âåêòîð, ñîåäèíÿþùèéòåëà). Ïåðåìåííûå â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ðàçäåëÿþòñÿ, ïîýòîìóiH0 ϕ = T ϕ, ϕ(R) = e± ~ (PR) ;ïîä T = Et − E â äàííîì ñëó÷àå ïîíèìàåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, âîçíèêàþùàÿ â õîäåðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ:Ψ(R, r) = ϕ(R)ψ(r);ĥ ψ(H0 −Et )ϕ=−= −E,ϕψãäå Et ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû (êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ öåíòðà ìàññ T è ïîòåíöèàëüíàÿýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö E ).Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà íà ψ , ïåðåéä¼ì ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì; íåîáõîäèìî çàïèñàòü â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ îïåðàòîð −~2 ∇2 .Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû a, b:[a b]2 = a2 b2 (1 − cos2 α) = a2 b2 −(a b)2 ⇒ a2 b2 = [a b]2 + (a b)2 ,12111 ˆ22222l , ãäå ÷åðåç·(rp)+[rp].Ïåðåõîäÿêîïåðàòîðàì,ïîëó÷èìp̂=p̂+rr2r2r2p̂r îáîçíà÷åíà ðàäèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îïåðàòîðà èìïóëüñà (î÷åâèäíî, âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ÿâëÿåòñÿ óãëîâîé, ïîñêîëüêó îïåðàòîð ˆl2 äåéñòâóåò òîëüêî íà óãëîâûå ïåðåìåííûåϕ, θ (ýòî áóäåò ïîêàçàíî íèæå).

Характеристики

Список файлов лекций