С.В. Петров - Лекции (1124220), страница 9
Текст из файла (страница 9)
|n i, . . . . h ν|ν i = µ h µ|µ i ⇒ â− |n i = n|n − 1 i (|µ i îðòîíîðìèðîâàííàÿ√ñòåìà âåêòîðîâ). Ââîäÿ |τ i = â+ |µ i, íàõîäèì h τ |τ i = (µ+1) h µ|µ i, â+ |n i = n + 1|n+1 i .11Òàêèì îáðàçîì, |n i = √ ân+ |0 i, N |n i = n|n i, λ = n + .2n!35Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïåðåéòèîñöèëëÿòîðå, ðàññìîòðèìH0 =r ê çàäà÷å î ãàðìîíè÷åñêîìmωp̂211p̂, Q =q̂.  ýòîì ñëó÷àå H0 =+ mω 2 x è En = ~ω n +, ÷òî~ω H, P = √~2m2mω~ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì â 2.4.Ìåæäó òåì, âîçìîæíà è ñîâåðøåííî èíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîé çàäà÷è: ïóñòü âåêòîð |n iîïèñûâàåò ñîñòîÿíèå n òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ýíåðãèþ ~ω. Âýòîì ñëó÷àå âåêòîð |0 i ñëåäóåò òðàêòîâàòü êàê ñîñòîÿíèå âàêóóìà, õàðàêòåðèçóþùååñÿ1ýíåðãèåé ~ω; â− óìåíüøàåò ÷èñëî ÷àñòèö íà åäèíèöó, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì óíè2÷òîæåíèÿ, òîãäà êàê â+ îïåðàòîð ðîæäåíèÿ, à îïåðàòîð N c ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè n îïåðàòîðîì ÷èñëà ÷àñòèö.4.8.Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.Ðàññìîòðèì ñâîáîäíîå (òî åñòü íå ñîäåðæàùåå íè òîêîâ, íè çàðÿäîâ) ýëåêòðîìàãíèòíîå1∂Aïîëå.
Ââåä¼ì åãî ïîòåíöèàëû ϕ è A; òîãäà E = −∇ϕ−, H = rot A . Ñêàëÿðíûé ïîòåíc ∂t1 ∂2 ϕöèàë óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ ∆ϕ − 2= 0 ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîc ∂ t21∂ϕ1∂A; div A +=âèÿìè, òî åñòü òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå E = −c ∂tc ∂tdiv A = 0 ëîðåíöåâñêîå óñëîâèå êàëèáðîâêè ïîòåíöèàëîâ. Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A òàêæå1 ∂ A24πóäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ ∆ A − 2=j = 0, ðåøåíèå êîòîðîãî ìîæåò2c ∂tcáûòü çàïèñàíî â âèäå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ ïëîñêèõ âîëí (òî åñòü âîëí, â êîòîðûõíàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ E è H ïîñòîÿííû):XXA(r, t) =ek α Ak α (t)ei k r + A∗k α (t)e−i k r ,αkãäå k âîëíîâîé âåêòîð, ek α åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ ïîëÿðèçàöèè, α èíäåêñèðóåòíàïðàâëåíèÿ ïîëÿðèçàöèè A.XXi ek α Ak α (t) k ei k r − A∗k α (t) k e−i k r = 0div A =αk äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ òðåáóåòñÿ, ÷òîáû (ek α , k) = 0, íàïðàâëåíèÿ ïîëÿðèçàöèè áûëè ïåðïåíäèêóëÿðíû ê âîëíîâîìó âåêòîðó: ñóùåñòâóþò äâà íåçàâèñèìûõ âçàèìíîïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîìó òðåáîâàíèþ, òî åñòü èíäåêñ αïðîáåãàåò äâà çíà÷åíèÿ.Çàìåòèì, ÷òî ñ ñàìîãî íà÷àëà ïî k ïðîèçâîäèëîñü ñóììèðîâàíèå, à íå èíòåãðèðîâàíèå ìû çàðàíåå ñ÷èòàåì âîëíîâîé âåêòîð êâàíòîâàííûì; óäîáíî ïîëîæèòü, ÷òî ïîòåíöèàë Aïîñòîÿíåí íà ãðàíÿõ êóáà ñ ð¼áðîì L : A(x, y, z, t) = A(x + L, y, z, t) = A(x, y + L, z, t) =A(x, y, z + L, t); èìåÿ â âèäó, ÷òî k r = xkx + yky + zkz , ïîëó÷èì eikx L = eiky L = eikz L = 1 ⇒2πnβ , β = x, y, z; nβ ∈ Z.kβ =LÏîäñòàâèì ïîëó÷åííûé ïîòåíöèàë â âîëíîâîå óðàâíåíèå; î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîå ñëàãàåìîå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ýòîìó óðàâíåíèþ, ïîýòîìó, ñîêðàùàÿ ek α è ñêëàäûâàÿ ÷ëåíûïðè îäèíàêîâûõ ýêñïîíåíòàõ, ïîëó÷èì A00k α (t) + k2 c2 Ak α (t) = 0 èëè A00k α + ωk2 Ak α = 0, ãäåωk = c| k | = ck.
Ðåøàÿ ýòî îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà,∂ Ak αíàõîäèì Ak α = Bk e−iωk t , òî åñòü= −iωkv Ak α (â äàííîì ñëó÷àå äëÿ óäîáñòâà äàëü∂t36íåéøèõ âûêëàäîê ñîõðàíåíà âñåãî îäíà êîíñòàíòà, õîòÿ àíàëîãè÷íûå ïîñòðîåíèÿ âîçìîæíû è â ñëó÷àå îáùåãî ðåøåíèÿ). Îïðåäåëèì íàïðÿæ¼ííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãîïîëåé:E=−XX−i XX1∂A=ωk ek α Ak α ei k r − A∗k α e−i k r = ik ek α Ak α ei k r − A∗k α e−i k r ,c ∂t−c α kαkXXikr∗H = rot A = i[k ek α ] Ak α e− Ak α e−i k r .αkÈìåÿ â âèäó, ÷òîZZ0i(k − k0 ) r3edV = L δk k0 ,ei(k + k ) r dV = 0, à [k ek α ][k ek α0 ] = k2 δαα0 ,DDãäå D êóá ñ ðåáðîì L3 , íàéä¼ì ýíåðãèþ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âíóòðè DZ1L3 X X 2W =(E2 + H2 )dV =k (Ak α A∗k α + A∗k α Ak α ) .8π4π αkDÂâîäÿ ak α =kL32π~c12Ak α , çàïèøåìW =1X~ωk (ak α a∗k α + a∗k α ak α ).2 α,kÒåïåðü ëåãêî ïåðåéòè ê êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîìó îïèñàíèþ çàäà÷è; ââîäÿ îïåðàòîðû âk α èòðåáóÿ âûïîëíåíèÿ äëÿ íèõ êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé++[âk α , âk0 α0 ] = [â+k α , âk0 α0 ] = 0, [âk0 α0 , âk α ] = δαα0 δk k0 ,íàõîäèì ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìûX11X∗∗+~ωk (âk α âk α + âk α âk α ) =~ωk âk α âk α +H=.2 α,k2α,kÒàêèì îáðàçîì, ìû ïðèøëè ê îáîáù¼ííîé çàäà÷åîñöèëëÿòîðå; îêàçûâà î ãàðìîíè÷åñêîìP1 çäåñü èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ såòñÿ, ÷òî ýíåðãèÿ ïîëÿ êâàíòîâàíà: W = ~ωs ns +2sçàìåíÿåò k, α.Âåëè÷èíà ~ωs íàçûâàåòñÿ êâàíòîì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èëè ôîòîíîì ÷àñòèöåé,ïåðåìåùàþùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, à ïîòîìó îáëàäàþùåé íóëåâîé ìàññîé ïîêîÿ.
Îïåðàòîðû âk α è â+k α ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ ôîòîíîâ ñîîòâåòñòâåííî.1PÑîñòîÿíèå âàêóóìà õàðàêòåðèçóåòñÿ ýíåðãèåé ε0 =~ωs , òî åñòü âàêóóì íå ÿâëÿåòñÿ2 sñîâñåì "ïóñòûì"; âçàèìîäåéñòâèå ñ âàêóóìîì íàáëþäàëîñü ýêñïåðèìåíòàëüíî ïî ñäâèãóëèíèé â ñïåêòðå àòîìà âîäîðîäà äàííûé ýôôåêò íàçûâàåòñÿ ëýìáîâñêèì ñäâèãîì ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé.4.9.Îïèñàíèå äèíàìè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïëîòíîñòè.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äàëåêî íå âñÿêîå ñîñòîÿíèå ìîæåò áûòü îïèñàíî ñ ïîìîùüþ âîëíîâîé ôóíêöèè; ýòî íå ïðîòèâîðå÷èò ïîñòóëàòó î âîëíîâîé ôóíêöèè, ïîñêîëüêó ââåäåíèå37ôóíêöèè ψ ïî-ïðåæíåìó âîçìîæíî, îäíàêî îíà áóäåò çàâèñåòü íå òîëüêî îò r êîîðäèíàòñèñòåìû.
Íàïðèìåð, íåîáõîäèìî îïèñàòü ïîäñèñòåìó (õàðàêòåðèçóþùóþñÿ êîîðäèíàòàìèr), ÿâëÿþùóþñÿ ÷àñòüþ áîëüøîé ñèñòåìû (êîîðäèíàòû R), ñ êîòîðîé îíà ïîñòîÿííî âçàèìîäåéñòâóåò.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ââåñòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ψ(r, R), íî ïðåäñòàâèòüå¼ â âèäå Ψ(r, R) = ψ(r)ϕ(R) óæå íåëüçÿ, ÷òî ïðèíöèïèàëüíî óñëîæíÿåò âñå âû÷èñëåíèÿ.Ïîäîáíûå ñîñòîÿíèÿ íàçâàíû ñìåøàííûìè â îòëè÷èå îò ÷èñòûõ äîïóñêàþùèõ îïèñàíèåñ ïîìîùüþ ψ(r).Äëÿ îïèñàíèÿ òàêèõ ñîñòîÿíèé èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìóþ ìàòðèöó ïëîòíîñòè.Ïåðåéä¼ì ê îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ: x êîîðäèíàòà èññëåäóåìîé ïîäñèñòåìû, q ñîâîêóïíîñòü Rêîîðäèíàò äðóãèõ ÷àñòåé ñèñòåìû.
Îïðåäåëèì êîìïîíåíòó ìàòðèöû ïëîòíîñòèρ(x, x0 ) = Ψ∗ (q, x0 )Ψ(q, x)dq = (Ψ, Ψ)q ; î÷åâèäíî, ÷òî ââåä¼ííàÿ òàêèì îáðàçàì "ìàòðèöà"ÿâëÿåòñÿ "ýðìèòîâîé": ρ∗ (x0 , x) = ρ(x, x0 ). Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòûïëîòíîñòèR ìàòðèöû2çàäàþò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ ïîäñèñòåìû, òî åñòü ρ(x, x) = |ψ(q, x)| dq, ïîýòîìó∀ x 0 ≤ ρ(x, x) ≤ 1, tr ρ = 1. Îïðåäåëèì ñðåäíåå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû F äëÿïîäñèñòåìû, òî åñòü ïðåäïîëîæèì,÷òî îïåðàòîðRF äåéñòâóåò íà ïåðåìåííûå x è íå äåéñòâóRR ∗Ψ (q, x) F Ψ(q, x)dqdx = (F ρ(x, x0 ))x0 =x dx, ÷òî ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîìåò íà q : òîãäà F =âû÷èñëåíèÿ ñëåäà ìàòðèöû Fρ.Òàêèì îáðàçîì, ìû ââåëè ïðåäñòàâëåíèå äèíàìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåì, ÿâëÿþùååñÿáîëåå îáùèì ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäñòàâëåíèåì ÷åðåç âîëíîâûå ôóíêöèè.
×èñòûì ñîñòîÿíèÿì ñîîòâåòñòâóþò ìàòðèöû ïëîòíîñòè ρ(x, x0 ) = Ψ∗ (x0 )Ψ(x). Ïîñòðîèì ìàòðèöó ïëîòíîñòè â ôîðìàëèçìå Äèðàêà: ïóñòü {|n i}n ïîëíûé îðòîíîðìèðîâàííûéP íàáîð âåêòîðîâñîñòîÿíèé, |a i ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå. Êàê èçâåñòíî èç 4.1, |a i =h n|a i |n i, h a| =nPPPPh a|n i h n| F |m i h m|a i = h n| F ||m i h m| |a i h a|n i =h a|n i h n|, F = h a| F |a i =m,nnmnPPh n| F |a i h a|n i = h n| F ρ̂|n i, ãäå ââåä¼í îïåðàòîð ρ̂ = |a i h a|, íàçûâàåìûé ñòàòèñòèn÷åñêèì îïåðàòîðîì.nÌàòðèöà ρ ýòîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïëîòíîñòè è çàâèñèòîò âûáðàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, à ñðåäíåå çíà÷åíèå F âû÷èñëÿåòñÿ êàê F = tr(Fρ) ñëåäìàòðèöû èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîýòîìó èíâàðèàíòû èñðåäíèå çíà÷åíèÿ âñåõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.Ñâîéñòâà ìàòðèöû ïëîòíîñòè: îïðåäåëèì ýëåìåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñòè; ïóñòü {|n i}nP áàçèñíàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ; ρ̂|m i = |a i h a|n i =h n|a i h a|m i |n i ⇒ ρmn = h n|a i h a|m i .nÒåïåðü íåñëîæíî ïîëó÷èòü ðÿä ñâîéñòâ ìàòðèöû ïëîòíîñòè.1. Ýðìèòîâîñòü: ρmn = ρ∗nm .2.
ρnn ≥ 0 ∀ n (çàìåòèì,÷òî ρnn = h n|a i h a|n i = | h n|a i |2 ≥ 0).P3. tr ρ = 1 (tr ρ = | h n|a i |2 = 1 êàê ñóììà êâàäðàòîâ ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ ðàçëînæåíèÿ |a i ïî áàçèñó âåêòîðîâ |n i).|a i ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ, à ïîòîìó óäîâëåòâîðÿåò íåñòàöèîíàðíîìó óðàâíåíèþ∂ |a i∂ |a i= H |a i; äîìíîæèì ýòî óðàâíåíèå íà h a| ñëåâà: i~h a| = H |a i h a|,Øðåäèíãåðà i~∂t∂tà çàòåì ñîïðÿæ¼ì êîìïëåêñíî è ñëîæèì ñ ïðåäûäóùèì:∂ |a i∂ h a|∂ ρ̂i~h a| + |a i= H |a i h a| − |a i h a| H ⇔ i~= [H, ρ̂]∂t∂t∂t óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå èçìåíåíèå ìàòðèöû ïëîòíîñòè âî âðåìåíè.38Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü3j -êîýôôèöèåíòû, 34δ -ôóíêöèÿ Äèðàêà, 3Àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå, 25, 26Áîçîíû, 33Áðà-âåêòîð, 27Âàðèàöèîííàÿ òåîðåìà, 24Âàðèàöèîííûå ìåòîäû, 24Âàðèàöèîííûé ïðèíöèï, 24Âåêòîðíîãî ñëîæåíèÿ êîýôôèöèåíòû, 34Âåðîÿòíîñòèïëîòíîñòü, 4, 8, 9ïîòîê, 9óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè, 9ÂÊÁ ïðèáëèæåíèå, 19Âîäîðîäà àòîì, 1214Âîçìóùåíèé òåîðèÿíåñòàöèîíàðíàÿ, 22ñòàöèîíàðíàÿ, 20âûðîæäåííûé ñëó÷àé, 21íåâûðîæäåííûé ñëó÷àé, 20, 21Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, 4èìïóëüñà, 5Âîë÷îêàñèììåòðè÷íûé, 35ñèììåòðè÷íûé, 35øàðîâîé, 35Âðàùàòåëüíûé ìóëüòèïëåò, 35Âûðîæäåíèÿ ìàòðèöà, 21Ãàìèëüòîíà-ßêîáè óðàâíåíèå, 15Ãàìèëüòîíèàí, 8Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîðäâóõìåðíûé, 12îäíîìåðíûé, 11òð¼õìåðíûé, 12Ãåéçåíáåðãàïðåäñòàâëåíèå, 17óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, 17Ãåëèÿ àòîì, îñíîâíîå ñîñòîÿíèå, 21Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, 2Äå-Áðîéëÿâîëíû, 4ãèïîòåçà, 4Äèñïåðñèÿ, 6Çååìàíà ýôôåêò, 32Èíäåêñïðåäñòàâëåíèÿ, 27ñîñòîÿíèÿ, 27Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ, 9Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðîèáëèæåíèå, 19Êâàíòîâîå ÷èñëîàòîìíîåãëàâíîå, 14ìàãíèòíîå, 13ìàãíèòíîå ñïèíîâîå, 30îðáèòàëüíîå, 13ðàäèàëüíîå, 14ñïèíîâîå, 30Êåò-âåêòîð, 27Êëåáøà-Ãîðäàíà êîýôôèöèåíòû, 34Êîììóòàòîð, 3ñâîéñòâà, 3Êðîíåêåðîâñêîå ïðîèçâåäåíèå, 28Ìàãíåòîí Áîðà, 32Ìàòåðèè âîëíû, 4Ìàòðèöàîïåðàòîðà, 28óíèòàðíàÿ, 2ýðìèòîâà, 2ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííàÿ, 2Ìîìåíòìàãíèòíûé, 32óãëîâîé, 28ñëîæåíèå, 33Ìîìåíòà óãëîâîãî îïåðàòîð, 28ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, 7, 28Íàáëþäàåìàÿ, 5Íåîïðåäåë¼ííîñòåé ñîîòíîøåíèå, 6Íåîïðåäåë¼ííîñòè ïðèíöèï, 4Íåïðåðûâíîñòè óðàâíåíèå, 9, 16Íüþòîíà âòîðîé çàêîí, 16Îïåðàòîðóíèòàðíûé, 2ýðìèòîâ, 2ñâîéñòâà ñïåêòðà, 2ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííûé, 2Îïåðàòîðàìàòðèöà, 28ñïåêòð, 2äèñêðåòíûé, 2íåïðåðûâíûé, 2ôóíêöèÿ, 3Îïåðàòîðîâ êîììóòèðóþùèõ ñïåêòð, 2Ïàóëèìàòðèöû, 3039óðàâíåíèå, 32Ïåðåñòàíîâêè îïåðàòîð, 32Ïëîòíîñòè ìàòðèöà, 38Ïîëÿ ñâîáîäíîãî êâàíòîâàíèå, 36, 37Ïîñòóëàòèçìåðåíèÿ, 5î âîëíîâîé ôóíêöèè, 4ïîëíîòû, 5ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, 5ñóïåðïîçèöèè, 4Ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà, 10Ïðåäñòàâëåíèå, 16Ïðîåêòîð, 27ïîëíûé, 27Ðèòöà ìåòîä, 24Ðîæäåíèÿ îïåðàòîð, 36Ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ ïðèáëèæåíèå, 25Ñèììåòðèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, 33Ñîáñòâåííûé äèôôåðåíöèàë, 7Ñîñòîÿíèåâàêóóìà, 36îñíîâíîå, 12ñìåøàííîå, 38ñòàöèîíàðíîå, 9÷èñòîå, 38Ñîñòîÿíèå ñïèíîâîé ñèñòåìûñèíãëåòíîå, 34òðèïëåòíîå, 34Ñïèí, 29Ñïèíîâàÿ ôóíêöèÿ, 30Ñïèíîð, 31Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå, 28Òîæäåñòâåííûå ÷àñòèöû, 32ïðèíöèï íåðàçëè÷èìîñòè, 32Óíè÷òîæåíèÿ îïåðàòîð, 36Ôàçîâûõ èíòåãðàëîâ ìåòîä, 19Ôåðìèîíû, 33Ôîòîí, 37Õàðòðè ìåòîä, 24×èñëà ÷àñòèö îïåðàòîð, 36Øðåäèíãåðàïðåäñòàâëåíèå, 17óðàâíåíèåêëàññè÷åñêèé ïðåäåë, 15íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, 9íåñòàöèîíàðíîå, 8ñòàöèîíàðíîå, 9Øòàðêà ýôôåêò, 22Ýâîëþöèè îïåðàòîð, 17ßêîáè òîæäåñòâî, 340.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
