Е.В. Троицкий - Дифференциальная геометрия и топология (1124100), страница 6
Текст из файла (страница 6)
¬¥¥¬ ki0 j 0 =ij(rT )ij00®ª § ²¥«¼±²¢®.°®¤¨´´¥°¥¶¨°³¥¬ ²®¦¤¥±²¢®@xi0 @xi00@xi00 @xk02xi00i0i002xi0m00@@x@x@@x0 = @xm0 @xk0 @xi00 + @xk0 @xm00 @xi00 @xm0 =25= ki00 ¯® xm0 :i0 0 0 + i0 0 0 :mkmk2¥®°¥¬ 7.3. i1 :::ipj1 :::jq ¯® ´®°¬³«¥T0 0p(rT )ij110 :::i:::jq0 ;m0 ´³ª¶¨¨M = Rn ®¯°¥¤¥«¥ ²¥§®° ¿ ®¯¥° ¶¨¿ r, ¤¥©±²¢³¾¹¥¥ ¯®«¥p0 :::i0sX@i0 :::i0p= @xm0 (Tj0 :::jq0 ) + Tji0 :::jq0s=111111r0 i0s+1 :::i0p i0sr 0 m0qXs=101 0:::ipTji0 :::js011r0r0 js0 +1 :::jq0 js0 m0 ;¯°¥®¡° §³¾²±¿ ¯® ¯° ¢¨«³i00 @xj 0 @xk0 0i00 @ 2xi0@x@xi= @xi0 @xj00 @xk00 j0 k0 + @xi0 @xj00 @xk00 :®ª § ²¥«¼±²¢®.
¢»© ¢¨¤ r ³±² ¢«¨¢ ¥²±¿ «®£¨·® ¢»ª« ¤ª ¬ ¤«¿ ¢¥ª²®°»µ ¨ ª®¢¥ª²®°»µ ¯®«¥©. ¤ · 7.4. °®¤¥« ©²¥ ½²³ ¢»ª« ¤ª³. ©¤¥¬ § ª® ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿ .i0r0 i00 0 ;rk0 T i0 := (rT )ik00 = @T+T0rk@xki00k0 @i00 0 ! @xr00 0 00@x@x@T0000 i00irrk00 T = @xk00 + T r00k00 = @xk00 @xk0 @xi0 T i + @xr0 T r ir00 k00 =00000k0 @xi00 @T i0@x0 @xk @ 2xi0 @xr i00ir= @xk00 @xi0 @xk0 + T @xk00 @xk0 @xi0 + T @xr0 r00 k00 : ¤°³£®© ±²®°®»,!k0 @xi00k0 @xi00 @T i0@x@x0000 i0iirrk00 T = @xk00 @xi0 rk0 T = @xk00 @xi0 @xk0 + T r0 k0 :®½²®¬³000000000 @xk @xi i00 @xk @ 2xi0 @xr i00rrrT @xk00 @xi0 r0k0 = T @xk00 @xk0 @xr0 + T @xr0 r00 k00 : ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼®±²¨ ¯®«¿ T i ¯®«³· ¥¬r0k0 i00@xr0 @xk0 @ 2xi00 :i0000 00 = i00 0 @x @x @xr kr k @xr00 @xk00 @xi0@xr00 @xk00 @xk0 @xr0 ª ¯®ª § ® ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ «¥¬¬» 7.2,@xr0 @xk0 @ 2xi00 = @ 2xk0 @xi00 = @ 2xi0 @xi00 : 2@xr00 @xk00 @xk0 @xr0 @xr00 @xk00 @xk0 @xr00 @xk00 @xi0¯°¥¤¥«¥¨¥ 7.5.
£« ¤ª®¬ ¬®£®®¡° §¨¨ M § ¤ ®¯¥° ¶¨¿ ª®¢ °¨ ²®£®¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¿ (¨«¨ ´´¨ ¿ ±¢¿§®±²¼ ) r, ¥±«¨ ¤«¿ ª ¦¤®© ª °²» § ¤ ¡®° £« ¤ª¨µ ´³ª¶¨© ijk , ¯°¥®¡° §³¾¹¨µ±¿ ¯°¨ § ¬¥¥ ª®®°¤¨ ² ¯® ´®°¬³«¥i0000 00j ki00 0jki0 @xj @xk@x= @xi @xj0 @xk026i +jk@xi0 @ 2xi :@xi @xj0 @xk0®£¤ ¤¥©±²¢¨¥ r § ¤ ¥²±¿pqX:::ipp = @ (T i :::ip ) + X T i :::is ris :::ip isr(rT )ij :::iTji :::j:::jq ;m @xm j :::jqj :::jqrms rjs :::jq js m ;s=1s=1 ¬¥· ¨¥ 7.6. ª ¯®ª §»¢ ¾² ¯°®¢¥¤¥»¥ ¢»ª« ¤ª¨, ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»¥ \¢®¡° ²³¾ ±²®°®³", r ¿¢«¿¥²±¿ ²¥§®°®© ®¯¥° ¶¨¥©. ¬¥· ¨¥ 7.7.
³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ±¢¿§®±²¥© ¡³¤¥² ±«¥¤®¢ ²¼ ¨§ ²¥®°¥¬» ±³¹¥±²¢®¢ ¨¿ °¨¬ ®¢®© ±¢¿§®±²¨.¯°¥¤¥«¥¨¥ 7.8. ¥§®°®¬ ª°³·¥¨¿ ±¢¿§®±²¨ ijk §»¢ ¥²±¿ ²¥§®°, § ¤ ¢ ¥¬»© ¢ ª ¦¤®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ° ¢¥±²¢®¬ ijk = ijk ikj .111111¥¬¬ 7.9.1+1111+1 ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¿¢«¿¥²±¿ ²¥§®°»¬ ¯®«¥¬ ²¨¯ (1; 2). ¤ · 7.10. °®¢¥°¨²¼.¯°¥¤¥«¥¨¥ 7.11. ¢¿§®±²¼¥¬¬ 7.12. ¢¿§®±²¼ §»¢ ¥²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·®©, ¥±«¨ = 0.r ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢ ¬¨r «¨¥© ¤ R;®¯¥° ¶¨¿ r ²¥§®° ¿;1) ®¯¥° ¶¨¿2)3) ª®¢ °¨ ² ¿ ¯°®¨§¢®¤ ¿ ´³ª¶¨¨ (²¥§®° ³«¥¢®£® ° £ ) ±®¢¯ ¤ ¥² ±@f£° ¤¨¥²®¬:k@xk ;rf=4) ®¯¥° ¶¨¿r ¢¥ª²®°»µ ¨ ª®¢¥ª²®°»µ ¯®«¿µ ¨¬¥¥² ¢¨¤j irk T i = @T@xk + T jk ;i@Ti T j ;rk Ti = @xj ikkT ¨ S ¢»¯®«¿¥²±¿ ´®°¬³« ¥©¡¨¶ r(T S ) = (rT ) S + T (rS ):5) ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼»µ ²¥§®°»µ ¯®«¥©®ª § ²¥«¼±²¢®.¢¥ª²®°»µ ¯®«¥©.¢®©±²¢ ®·¥¢¨¤», ª°®¬¥ (5). °®¢¥°¨¬ ¥£®, ¯°¨¬¥° ¤«¿rk (T iS j ) = @x@ k (T iS j ) + T rS j ¤ · 7.13.i + T iS r jrkrk== ( @x@ k T i)S j + T i @x@ k (S j ) + T rS j irk + T iS r jrk =ijr i )S j + T i( @S + P r j ) == ( @T+Trkrk@xk@xkijij= (rk T )S + T (rk S ): 2°®¤¥« ²¼ ½²³ ¢»ª« ¤ª³ ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼»µ ¯®«¥©.27¥®°¥¬ 7.14.
¢®©±²¢ ¢ ¨¥.(1 { 5) ®¤®§ ·® § ¤ ¾² ª®¢ °¨ ²®¥ ¤¨´´¥°¥¶¨°®-®·¥¥, ©¤³²±¿ ¥¤¨±²¢¥»¬ ®¡° §®¬ ´³ª¶¨¨§ ª®³ ¨§¬¥¥¨¿ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ±¢¿§®±²¨, ¤¥©±²¢¨¥¡³¤¥² § ¤ ¢ ²¼±¿ ´®°¬³«®© ¨§ ²®£® ¦¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¿.i ,jk³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥r ¯°®¨§¢®«¼®¬ ¯®«¥¡®§ ·¨¬ ei = @x@ i ¨ ej = d xj . ®£¤ ´³ª¶¨¨ ijk ¤®«¦»®¤®§ ·® ®¯°¥¤¥«¿²¼±¿ ¨§ ´®°¬³«rkei = jik ej ; rk ei = ijk ej :(4)®°¬³«» ¥ ¯°®²¨¢®°¥· ² ¤°³£ ¤°³£³, ² ª ª ª ¨§ ±¢®©±²¢ (1 { 5) ¯®«³· ¥¬, ·²®rk (T iTi) = (rk T i)Ti + T i(rk Ti) =!!i@T@Tij= @xk + ijk T j Ti + @xk ~ ik Tj T i == rk (T iTi) + ijk T j Ti ~jik Tj T i;|{z}0¨ ¢ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼®±²¨ ¯®«¥© ijk ~ jik = 0. ¬¥²¨¬, ·²® ¯°¨ ¢»¢®¤¥ § ª® ¨§¬¥¥¨¿ ijk ¢ ²¥®°¥¬¥ 7.3 ¬» ¯®«¼§®¢ «¨±¼²®«¼ª® ±®®²®¸¥¨¥¬ ¢¨¤ ¨§ ¯.
4, ² ª ·²® ¤®±«®¢®¥ ¯®¢²®°¥¨¥ ½²®© ¢»ª« ¤ª¨¤ ¥² ¨±ª®¬»© § ª® ¨§¬¥¥¨¿.±² «®±¼ ¢»¢¥±²¨ ´®°¬³«³ ¤«¿ ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¿ ¯°®¨§¢®«¼»µ ¯®«¥©. ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ¯®«¿ ²¨¯ (1; 1). ³±²¼ «®ª «¼®T = Tji ei ej :®£¤ rk Tml = (rT )lm;k = (r(Tji ei ej ))lm;k =l= (rTji) ei ej + Tji(rei) ej + Tjiei (rej ) m;k =l ij er )l =m + T i ( r e ) ej l= @TTe(rij ikjrkmm@xklmi ll j= @T@xk + Tm ik Tj mk : 2 ¤ · 7.15.
°®¢¥±²¨ ¢»ª« ¤ª³ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥.¯°¥¤¥«¥¨¥ 7.16. ´´¨ ¿ ±¨¬¬¥²°¨· ¿ ±¢¿§®±²¼ r °¨¬ ®¢®¬ ¬®£®®¡° §¨¨ (M; g) §»¢ ¥²±¿ °¨¬ ®¢®© (¨«¨ ±®£« ±®¢ ®© ± ¬¥²°¨ª®© ) ¥±«¨ rg = 0. ¤ · 7.17. ½²®¬ ±«³· ¥ r ª®¬¬³²¨°³¥² ± ®¯¥° ¶¨¿¬¨ ¯®¤¿²¨¿ ¨ ®¯³±ª ¨¿¨¤¥ª±®¢.¥®°¥¬ 7.18. °¨¬ ®¢®¬ ¬®£®®¡° §¨¨ (M; g ) ±³¹¥±²¢³¥², ¯°¨·¥¬ ¥¤¨®ª § ²¥«¼±²¢®.±²¢¥ ¿, °¨¬ ®¢ ±¢¿§®±²¼. °¨ ½²®¬ ¥¥ ª®½´´¨¶¨¥²» (±¨¬¢®«» °¨±²®´´¥«¿) ° ¢»ijkkr @gjr= 12 gir @g@xj + @xk28!@gjk :@xr(5)®ª ¦¥¬, ·²® ±¨¬¢®«» °¨±²®´´¥«¿ °¨¬ ®¢®© ±¢¿§®±²¨ ®¡¿§ » ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ (5).
¥¬ ± ¬»¬ ¡³¤¥² ¤®ª § ¥¤¨±²¢¥®±²¼. ® ®¯°¥¤¥«¥¨¾,ijrr0 = rk gij = @g@xk grj ik gir jk :¯³±²¨¢ ¨¤¥ª± ijk := gir rjk ¨ ¶¨ª«¨·¥±ª¨ ¯¥°¥±² ¢«¿¿ ¨¤¥ª±», ¯®«³·¨¬@gij = + ;@xk jik ijk@gki = + ;ikjkij@xj@gjk = + :kjijki@xi«®¦¨¬ ¯¥°¢»¥ ¤¢ ° ¢¥±²¢ ¨ ¢»·²¥¬ ¨§ ¨µ ²°¥²¼¥. ®«³·¨¬, ± ³·¥²®¬ ±¨¬¬¥²°¨¨ ijk = ikj , ·²®@gij + @gki @gki = + + +jikijkikjkijkjijki =@xk @xj @xj= jki + ijk + ijk + kji kji jki = 2 ijk = 2gir rjk¨, ³¬®¦ ¿ ®¡° ²³¾ ¬ ²°¨¶³ ª gij ,!r = 1 g ir @gij + @gki @gki :jk 2@xk @xj @xj«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ±³¹¥±²¢®¢ ¨¿ ¤®±² ²®·® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ª®½´´¨¶¨¥²» ±¢¿§®±²¨ ± ¯®¬®¹¼¾ ´®°¬³« (5) (¯°®¢¥°¼²¥ § ª® ¨§¬¥¥¨¿ !).2¯°¥¤¥«¥¨¥ 7.19.
¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¥¢ª«¨¤®¢ ± ²®·ª¨ §°¥¨¿ ¬¥²°¨ª¨, ¥±«¨gij ¢ ¥© ¯®±²®¿» (¨ ±«¥¤®¢ ²¥«¼®, § ¬¥®© ª®®°¤¨ ² ¯°¨¢®¤¿²±¿ ª ij ).¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² ¥¢ª«¨¤®¢ ± ²®·ª¨ §°¥¨¿ ±¢¿§®±²¨, ¥±«¨ ¢ ¥© ijk 0. ¤ · 7.20. ®ª § ²¼ ½ª¢¨¢ «¥²®±²¼ ½²¨µ ²°¥¡®¢ ¨©.®ª § ²¥«¼±²¢®.8. ° ««¥«¼®¥ ¯¥°¥¥±¥¨¥ ¨ £¥®¤¥§¨·¥±ª¨¥ ° ««¥«¼®¥ ¯¥°¥¥±¥¨¥ | ±¯®±®¡ ±° ¢¥¨¿ ª ± ²¥«¼»µ ¢¥ª²®°®¢ ¢ ° §»µ²®·ª µ. ¯«®±ª®±²¨ | \¯®±²®¿±²¢® ª®®°¤¨ ²", ².
¥. ° ¢¥±²¢® ³«¾ ¨µ · ±²»µ¯°®¨§¢®¤»µ. ±²¥±²¢¥® ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ¯®²°¥¡®¢ ²¼ ° ¢¥±²¢® ³«¾ ª®¢ °¨ ²®© ¯°®¨§¢®¤®©. ²® ±«¨¸ª®¬ ¦¥±²ª®¥ ²°¥¡®¢ ¨¥. °¨µ®¤¨²±¿ ®±³¹¥±²¢«¿²¼ ¯¥°¥®±, ². ¥. ²°¥¡®¢ ²¼ ª®¢ °¨ ²®£® ¯®±²®¿±²¢ ª®¬¯®¥² ¯®«¿ \¢¤®«¼ ª°¨¢®©".°¨ ½²®¬ °¥§³«¼² ², ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, § ¢¨±¨² ®² ª°¨¢®©, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ª®¶» ®¡¹¨¥.¥°¥©¤¥¬ ª ²®·»¬ ®¯°¥¤¥«¥¨¿¬.³±²¼ ¬®£®®¡° §¨¨ M § ¤ ´´¨ ¿ ±¢¿§®±²¼ r. ³±²¼ ²®·ª¨ P ¨ Q M ±®¥¤¨¥» £« ¤ª®© ª°¨¢®© : [0; 1] ! M , (0) = P , (1) = Q.
ª°¨¢®©¢®§¨ª ¥² ¢¥ª²®°®¥ ¯®«¥ ±ª®°®±²¥© (¢±¯®¬¨¬ ²°¥²¼¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ª ± ²¥«¼®£®¢¥ª²®° ).29T ²¨¯ (p; q)¢¤®«¼ ª°¨¢®© §»¢ ¥²±¿ ²¥§®°®¥ ¯®«¥ r_ (T ), ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ª ª ±¢¥°²ª ²¥§®°®£® ¯°®¨§¢¥¤¥¨¿ ª ± ²¥«¼®£® ¯®«¿ ± ª®¢ °¨ ²®© ¯°®¨§¢®¤®© T :¯°¥¤¥«¥¨¥ 8.1.®¢ °¨ ²®© ¯°®¨§¢®¤®© ²¥§®°®£® ¯®«¿i ;:::;ippk(r_ (T ))ij ;:::;i;:::;jq := rk Tj ;:::;jq :1111¥ª²®°®¥ ¯®«¥ T §»¢ ¥²±¿ ¯ ° ««¥«¼»¬ ¢¤®«¼ ²¥«¼® r, ¥±«¨ r_ (T ) 0. ¯¨¸¥¬ ½²¨ ³° ¢¥¨¿ ¢ «®ª «¼»µ ª®®°¤¨ ² µ (x1; : : :; xn). ±«¨¯°¥¤¥«¥¨¥ 8.2. (t) = (x1(t); : : :; xn(t));²® ³° ¢¥¨¿ ¯°¨¬³² ¢¨¤k rkTi =®²®±¨-k = dxdt(t) ;dxk (t) @T i + T rdt @xkkirk!= 0;dxk (t) @T i + T r i dxk (t) = dT i + T r i dxk (t) = 0:rk dtrk dtdt @xkdt¯°¥¤¥«¥¨¥ 8.3.
®±«¥¤¥¥ ° ¢¥±²¢® §»¢ ¥²±¿ ³° ¢¥¨¥¬ ¯ ° ««¥«¼®£® ¯¥°¥¥±¥¨¿ ¢¥ª²®° ¢¤®«¼ ª°¨¢®©. ¤ · ¯ ° ««¥«¼®£® ¯¥°¥¥±¥¨¿ ¢»£«¿¤¨² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ¤ £« ¤ª ¿ ª°¨¢ ¿ , ±®¥¤¨¿¾¹ ¿ ²®·ª¨ P ¨ Q ¬®£®®¡° §¨¨ M ±® ±¢¿§®±²¼¾ r, ¨¢¥ª²®° v 2 TP M . ¤® ©²¨ ² ª®© ¢¥ª²®° w 2 TQM , ·²® ¨¬¥¥²±¿ ª®¢ °¨ ²®¯®±²®¿®¥ ¢¥ª²®°®¥ ¯®«¥ V (t), ¯°¨·¥¬ V (0) = v ¨ V (1) = w. ®±ª®«¼ª³ § ¤ ·³¬®¦® °¥¸ ²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼® ¤«¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼»µ ª³±ª®¢ , ª ¦¤»© ¨§ ª®²®°»µ«¥¦¨² ¢ ¯°¥¤¥« µ ¤¥©±²¢¨¿ ®¤®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ², ²® ¬®¦® ±·¨² ²¼, ·²® ª°¨¢ ¿«¥¦¨² ¢ ®¤®© ª®®°¤¨ ²®© ®ª°¥±²®±²¨.®§¨ª ¥² § ¤ · °¥¸¥¨¿ ±¨±²¥¬» ®¡»ª®¢¥»µ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ³° ¢¥¨© ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª ®²®±¨²¥«¼® ´³ª¶¨© V i(t) ± · «¼»¬ § ·¥¨¥¬ V i(0) = vi,° §°¥¸¥®© ®²®±¨²¥«¼® ¯°®¨§¢®¤»µ.
ª ¨§¢¥±²®, °¥¸¥¨¥ ² ª®© ±¨±²¥¬» ±³¹¥±²¢³¥², ¥¤¨±²¢¥® ¨ ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ¤® Q, ². ¥. t = 1.®®²¢¥²±²¢¥®, ¢¥ª²®° w = V (1) 2 TQM §»¢ ¥²±¿ ¯ ° ««¥«¼»¬ v 2 TP M¢¤®«¼ .¥¬¬ 8.4. ³±²¼(M; g)| °¨¬ ®¢® ¬®£®®¡° §¨¥. ¨¬¬¥²°¨·¥±ª ¿ ´´¨ ¿±¢¿§®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ °¨¬ ®¢®© ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¯ ° ««¥«¼®¥ ¯¥°¥¥±¥¨¥ ±®µ° ¿¥² ±ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ª²®°®¢r¯® ®²®¸¥¨¾ ªMg.®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ r | °¨¬ ®¢ , h:; :; i | ±ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥, ¯®°®¦¤¥®¥ g, V (t) ¨ W (t) | ¢¥ª²®°»¥ ¯®«¿, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ³° ¢¥¨¾ ¯ ° ««¥«¼®£® ¯¥°¥¥±¥¨¿ ¢¤®«¼ : [0; 1] ! M .
¤® ¯®ª § ²¼, ·²® dtd hV (t); W (t)i 0.d hV (t); W (t)i = r hV (t); W (t)i = k r g V iW j =_k ijdt30= k (rk gij )V iW j + k gij (rk V i)W j + k gij V i(rk W j ) == k 0 V i W j + gij (r_ V i)W j + gij V i(r_ W j ) = 0:¡° ²®, ¥±«¨ ½²® ±®®²®¸¥¨¥ ¢»¯®«¥® ¤«¿ ¯ ° ««¥«¼»µ ¯®«¥© ¢¤®«¼ ª°¨¢®©,²® ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼»µ ¢¥ª²®°®¢ , V ¨ W ¢»¯®«¿¥²±¿ k V iW j rk gij = 0 ®²ª³¤ (¡¥°¿¡ §¨±»¥ ¢¥ª²®° ) rk gij = 0: 2 ¬¥· ¨¥ 8.5. ° ««¥«¼®¥ ¯¥°¥¥±¥¨¥ ¬®¦® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¤«¿ ª³±®·®{£« ¤ª¨µ ª°¨¢»µ ª ª ª®¬¯®§¨¶¨¾ ¯¥°¥¥±¥¨© ¯® £« ¤ª¨¬ ´° £¬¥² ¬.¯°¥¤¥«¥¨¥ 8.6. °¨¢ ¿ ¬®£®®¡° §¨¨ M ± ´´¨®© ±¢¿§®±²¼¾ r §»¢ ¥²±¿ £¥®¤¥§¨·¥±ª®©, ¥±«¨ ¢¥ª²®°®¥ ¯®«¥ ¥¥ ±ª®°®±²¥© ¯ ° ««¥«¼® ¢¤®«¼ ½²®©ª°¨¢®©: r_ (_ ) = 0. «®ª «¼»µ ª®®°¤¨ ² µ (x1; : : :; xn) ¯®«³· ¥¬ ³° ¢¥¨¿dxk r i = 0; i = 1; : : : ; n;dt k£¤¥ i = dxdti .