Е.В. Троицкий - Дифференциальная геометрия и топология (1124100), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

ƒ° ¤¨¥­² ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®© ´®°¬» ¢ ª®®°¤¨­ ² µ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ \­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­»¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥¬". ˆ¬¥­­®, ¥±«¨ ¬» § ¬¥²¨¬,·²® ®¡»·­»© ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ´³­ª¶¨¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¢­¥¸­¨¬, ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¥£®¬®¦­® ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ df , ­¥ ®¯ ± ¿±¼ ¯³² ­¨¶» (½²® 1-´®°¬ , ª®²®° ¿ ¢±¥£¤ (ª®±®)±¨¬¬¥²°¨·­ ), ²® ¤«¿X!=!i :::ik dxi ^ : : : ^ dxik11+1+1+1+111i1 <:::<ik11®¯°¥¤¥«¨¬XX X @ (!i :::ik ) ii ^ : : : ^ dxik :d! =d(!i :::ik ) ^ dxi ^ : : : ^ dxik =dx^dxi@xi <:::<iki <:::<ik i’®£¤ ½²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¤ ­­»¬ ¢»¸¥.‡ ¤ · 10.3. °®¢¥°¨²¼.‡ ¤ · 10.4.

„®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³:’¥®°¥¬ 10.5. ³±²¼ !(1) ¨ !(2) | ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¥ ´®°¬» ±²¥¯¥­¥© p ¨ q ±®®²111110100¢¥²±²¢¥­­®. ’®£¤ d(!(1) ^ !(2)) = d!(1) ^ !(2) + ( 1)p!(1) ^ d!(2):„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¢ ®¤­®© ¨§ ª °² ¤«¿ ´®°¬ ¢¨¤ (¢ ±¨«³«¨­¥©­®±²¨ ¯°®¢¥°¿¥¬®£® ° ¢¥­±²¢ )!(1) = f dxi ^ : : : ^ dxip ; !(2) = g dxj ^ : : : ^ dxjq :’®£¤ ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ § ¬¥· ­¨¾d(!(1) ^ !(2)) = d(fg dxi ^ : : : ^ dxip ^ dxj ^ : : : ^ dxjq ) =@f g dxk ^dxi ^: : :^dxip ^dxj ^: : :^dxjq +f @g dxk ^dxi ^: : :^dxip ^dxj ^: : :^dxjq == @xkk!@x @f dxk ^ dxi ^ : : : ^ dxip ^ g dxj ^ : : : ^ dxjq += @xk! i @g kpijjpq+( 1) f dx ^ : : : ^ dx ^ @xk dx ^ dx ^ : : : ^ dx == d!(1) ^ !(2) + ( 1)p!(1) ^ d!(2): 2‡ ¤ · 10.6. „®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³:11111111111441! ¨¬¥¥¬ d(d!) = 0.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘­®¢ ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¤«¿ ´®°¬» ¢¨¤ ! = f dxi ^ : : : ^dxip .

®«¥¥ ²®£®, ¥±«¨ ²¥®°¥¬ ¤®ª § ­ ¤«¿ !(1) ¨ !(2), ²® ®­ ¢¥°­ ¨ ¤«¿ ¨µ¢­¥¸­¥£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. „¥©±²¢¨²¥«¼­®,dd(!(1) ^ !(2)) = d(d!(1) ^ !(2) + ( 1)p!(1) ^ d!(2)) == dd!(1) ^ !(2) + ( 1)p+1d!(1) ^ d!(2) + ( 1)pd!(1) ^ d!(2) + ( 1)p+p!(1) ^ dd!(2) = 0:’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ®±² «®±¼ ¯°®¢¥°¨²¼ ¤«¿ f ¨ ¤«¿ dxi. ˆ¬¥¥¬2f2f !X @ 2f@@@fkiki ^ dxk = 0:d(df ) = d( @xk dx ) = @xi @xk dx ^ dx =dxikki@x @xi<k @x @x—²® ª ± ¥²±¿ dxi, ²® ¯°¨¬¥­¨¬ ¯°®¢¥¤¥­­³¾ ¢»ª« ¤ª³ ª f = xi:dd(dxi ) = d(ddxi ) = d(0) = 0: 2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.8. ‚­¥¸­¿¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­ ¿ ´®°¬ ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬ª­³²®©,¥±«¨ d! = 0, ². ¥.

! 2 Ker d, ¨ ²®·­®©, ¥±«¨ ! = d!1 ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ´®°¬» !1, ². ¥.! 2 Im d.® ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥ (®·¥¢¨¤­®, «¨­¥©­®¥) ®²®¡° ¦¥­¨¥ d ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬Im d Ker d. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ ª ¦¤®£® k ®¯°¥¤¥«¥­® ´ ª²®°¯°®±²° ­±²¢® k¬¥°­»µ § ¬ª­³²»µ ´®°¬ ¯® k-¬¥°­»¬ ²®·­»¬ ´®°¬ ¬. ²® «¨­¥©­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®H k (M ) ­ §»¢ ¥²±¿ £°³¯¯®© k-¬¥°­»µ ª®£®¬®«®£¨© ¤¥  ¬ ¬­®£®®¡° §¨¿ M .¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯®«³· ¥¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.’¥®°¥¬ 10.9. ³±²¼ 2 k (M ).

 ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥d! = :(11)1) “° ¢­¥­¨¥ (11) ¨¬¥¥² °¥¸¥­¨¥ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ § ¬ª­³² ¨ª« ±± ª®£®¬®«®£¨© [] = 0 2 H k (M ).2) ‹¾¡»¥ ¤¢ °¥¸¥­¨¿ !1 ¨ !2 ³° ¢­¥­¨¿ (11) ®²«¨· ¾²±¿ ­ § ¬ª­³²³¾ ´®°¬³:d(!1 !2) = 0. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ °¥¸¥­¨© ¿¢«¿¥²±¿ ª« ±±®¬ ±¬¥¦­®±²¨ «¾¡®£®°¥¸¥­¨¿ ! ¯® ¯°®±²° ­±²¢³ § ¬ª­³²»µ k -´®°¬.’¥®°¥¬ 10.7. „«¿ «¾¡®© ´®°¬»13) °®±²° ­±²¢® ¢±¥µ § ¬ª­³²»µ ´®°¬ ¨§®¬®°´­® ¯°¿¬®© ±³¬¬¥ ¯°®±²° ­±²¢ k²®·­»µ ´®°¬ ±²¥¯¥­¨¨. ²®² ¯³­ª² ­¥ ®²­®±¨²±¿ ª ³° ¢­¥­¨¾k H (M ) ((11).)2® ­ «®£¨¨ ± ®¡° ²­»¬ ®¡° §®¬ ¡¨«¨­¥©­®© ´®°¬» ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ®¡° ²­»© ®¡° § ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®© ´®°¬».Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.10.

³±²¼ f : M ! N | £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ £« ¤ª¨µ ¬­®£®®¡° §¨©, ! 2 k (N ) | ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­ ¿ ´®°¬ . Ž¡° ²­»¬ ®¡° §®¬ f ! ½²®©´®°¬» ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«¨«¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¢¥ª²®°­»µ ¯®«¥© ­ M :f !(~v1; : : :;~vk ) := !(dP f (~v1); : : : ; dP f (~vk )); ~vi 2 TP M:‡ ¤ · 10.11. °®¢¥°¨²¼, ·²® ¯®«³·¨«¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­³¾ ´®°¬³.45(x1; : : : ; xm) | «®ª «¼­ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ¢ ®ª°¥±²­®±²¨P 2 M , (y1; : : : ; yn) | ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ f (P ) 2 N , ² ª ·²® «®ª «¼­® f : M ! N‹¥¬¬ 10.12. ³±²¼§ ¤ ¥²±¿ ±¨±²¥¬®© ´³­ª¶¨©y1 = f 1 (x1; : : :; xm); : : : ; yn = f n (x1; : : : ; xm); ´®°¬ !|X!=i1 <:::<ik!i :::ik (y1; : : : ; yn)dyi ^ : : : ^ dyik :11’®£¤ ®¡° ²­»© ®¡° § «®ª «¼­® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©f (!) =Xi1 <:::<ik!i :::ik (y1(x1; : : : ; xm); : : :; yn(x1; : : : ; xm))1 df i (x1; : : :; xm) ^ : : : ^ df ik (x1; : : : ; xm):1„®ª § ²¥«¼±²¢®.f (!)(~v1; : : : ;~vk ) = !(dP f (~v1); : : :; dP f (~vk )) = !(dP f (~v1); : : :; dP f (~vk )) =10X=@!i :::ik (y1; : : : ; yn)dyi ^ : : : ^ dyik A (dP f (~v1); : : :; dP f (~vk )) =i <:::<iknoX=!i :::ik (y1; : : :; yn) Alt[i ;:::;ik] dyi (dP f (~v1)) : : : dyik (dP f (~vk )) =i <:::<ik( i)ikX@f@f1n[i;:::;i]jj=!i :::ik (y ; : : :; y ) Alt k @xj (~v1) : : : @xjk (~v1) k =i <:::<iknoX=!i :::ik (y1; : : :; yn) Alt[i ;:::;ik ] df i (~v1) : : : df ik (~v1) =i <:::<ik01X=@!i :::ik (y1; : : : ; yn)df i ^ : : : ^ df ik A (~v1; : : : ;~vk ): 211111111111111111i1 <:::<ik11’¥®°¥¬ 10.13.

Ž¡° ²­»© ®¡° § ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨.f : M ! N ¨ g : N ! K ¢»¯®«­¿¥²±¿ (gf ) = f g;f dN = dM f ;f (Ker dN ) Ker dM , f ¯®°®¦¤ ¥² ®²®¡° ¦¥­¨¥ ª®£®¬®«®£¨©1) ¤«¿2)3)f : H k (N ) ! H k (M ):46(12)¥°¢®¥ ±®®²­®¸¥­¨¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬». „®ª ¦¥¬¢²®°®¥.

ˆ§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬», ²¥®°¥¬ 10.7 ¨ 10.5 ¨ § ¬¥· ­¨¿ 10.2 ¯®«³· ¥¬0 011Xf (d!) = f @d @!i :::ik (y1; : : :; yn)dyi ^ : : : ^ dyik AA =i <:::<ik10n @!XXi :::ik 1n siik A= f @@ys (y ; : : :; y )dy ^ dy ^ : : : ^ dy =„®ª § ²¥«¼±²¢®.11111i1 <:::<ik s=1n @!X Xi :::ik 1 1mn 1msiiks (f (x ; : : : ; x ); : : :; f (x ; : : :; x ))df ^ df ^ : : : ^ df =@yi <:::<ik s=1X=d(!i :::ik (f 1 (x1; : : :; xm); : : : ; f n(x1; : : :; xm)) ^ df i ^ : : : ^ df ik =i <:::<ik01X= d@!i :::ik (f 1(x1; : : : ; xm); : : :; f n (x1; : : :; xm))df i ^ : : : ^ df ik A = df (!):=111111i1 <:::<ik11„ «¥¥, ¥±«¨ d! = 0, ²® df ! = f d! = 0, ¥±«¨ !(1) !(2) = d!, ²®f (!(1)) f (!(2)) = f (!(1) !(2)) = f d! = df !: 2‡ ¤ · 10.14. ‚»¢¥±²¨ ®²±¾¤ , ·²® £°³¯¯» ª®£®¬®«®£¨© ¤¨´´¥®¬®°´­»µ ¬­®£®®¡° §¨© ±®¢¯ ¤ ¾².Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.15.

”®°¬ ±²¥¯¥­¨ k ­ M I ­¥ § ¢¨±¨² ®² dt, ¥±«¨ ¥¥§­ ·¥­¨¥ ­ «¾¡®© ±¨±²¥¬¥ ¢¥ª²®°®¢ ¢¨¤ ( dt@ ;~v1; : : :;~vk 1) ° ¢­® 0.‹¥¬¬ 10.16. ‹®ª «¼­® ½²® ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® ¢ ° §«®¦¥­¨¨ ¯® ±² ­¤ °²i1ik ®²±³²±²¢³¾² ±« £ ¥¬»¥,­®¬³ ¡ §¨±³ ¨§ ¢­¥¸­¨µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨©dx ^ : : : ^ dxdt.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¤¥©±²¢¨¿ ´®°¬» ­ ¢¥ª²®°.2‹¥¬¬ 10.17. ‹¾¡ ¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­ ¿ ´®°¬ ­ M I ®¤­®§­ ·­® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ = (1) + (2) ^ dt, £¤¥ (1) ¨ (2) ­¥ § ¢¨±¿² ®² dt.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

³±²¼ «¥¬¬ ¤®ª § ­ ¤«¿ ´®°¬ ± ­®±¨²¥«¥¬ ¢ ®¤­®© ª °²¥.’®£¤ ° ±±¬®²°¨¬ ° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶» f'g ­ M ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ \¶¨«¨­¤°¨·¥±ª®¥" ° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶» '0(x; t) = 'a(x) ­ M I . ’®£¤ ! X!XXX 0 = ' = ((1;) + (2;) ^ dt) =(1;) +(2;) ^ dt±®¤¥°¦ ¹¨¥ ¢­¥¸­¨¥ ±®¬­®¦¨²¥«¨| ¨±ª®¬®¥ ° §«®¦¥­¨¥. „«¿ ´®°¬ ¦¥ ± ­®±¨²¥«¥¬ ¢ ®¤­®© ª °²¥ ¤®±² ²®·­® § ¯¨± ²¼¢ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¨ ±£°³¯¯¨°®¢ ²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ·«¥­».Ž¤­®§­ ·­®±²¼ ² ª¦¥ ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¢ ®¤­®© ª °²¥. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨! = 01 +02 ^ dt = 1 +2 ^ dt ¨ 01 = 1, 02 = 2 ¤«¿ «¾¡®© ´³­ª¶¨¨ ¨§° §¡¨¥­¨¿ ¥¤¨­¨¶», ²®, ±³¬¬¨°³¿, ¯®«³· ¥¬ 01 = 1 ¨ 02 = 2. ‹®ª «¼­® ¦¥ 1 ¨2 ¢ ±¨«³ «¥¬¬» 10.16 ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ²®«¼ª® ®¤­®§­ ·­® | ®²¤¥«¨²¼ ±« £ ¥¬»¥¢ ° §«®¦¥­¨¨ ¯® ¡ §¨±³ ±®¤¥°¦ ¹¨¥ ¨ ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨¥ dt.247f fM ¢ N £®¬®²®¯­».

’®£¤ 1®²®¡° ¦¥­¨¥ D : (N ) ! (M ), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥¥ ¤«¿‹¥¬¬ 10.18. ³±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿ 0 ¨ 1 ¬­®£®®¡° §¨¿±³¹¥±²¢³¥² «¨­¥©­®¥«¾¡®©! ±®®²­®¸¥­¨¾(f0 f1)(!) = (dM D DdN )(!):„®ª § ²¥«¼±²¢®.(13)³±²¼ £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ F ®±³¹¥±²¢«¿¥² £®¬®²®¯¨¾ f0 ¨ f1:F : M I ! N;F (P; 0) = f0(P ); F (P; 1) = f1(P ) 8P 2 M:„«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ! ­ N ° §«®¦¨¬ F (!) = 1 + 2 ^ dt ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥.®«®¦¨¬Z1D(!) := 2(t)dt:(14)0‚ ±¨«³ ®¤­®§­ ·­®±²¨ ° §«®¦¥­¨¿ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥ D ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¥­. ®±ª®«¼ª³ f0 = '0F , f1 = '1F , £¤¥'0 : M ! M I; '0(P ) = (P; 0);'1 : M ! M I; '1(P ) = (P; 1);²®f0(!) = 1(0); f1(!) = 1(1)(15)(¢ F ¯®¤±² ¢«¿¥¬ dt = 0 ¨ t = 0 ¨«¨ t = 1). „ «¥¥,@ (t) ^ dt + d ^ dtF dN ! = dM I F ! = dM I (1 + 2 ^ dt) = dM 1 @t1M 2¨!Z1 @Z1DdN (!) = @t 1(t) + dM 2(t) dt = (1(1) (0)) + dM 2(t) dt: (16)00‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿Z1dM D(!) = dM 2(t)dt:ˆ§ (15), (16) ¨ (17) ¯®«³· ¥¬ (13).2ff’¥®°¥¬ 10.19.

³±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿ 0 ¨ 1 ¬­®£®®¡° §¨¿£¤ f = f01¢ ª®£®¬®«®£¨¿µ.(17)0M ¢ N £®¬®²®¯­».’®-³±²¼ § ¬ª­³² ¿ ´®°¬ ! ­ N ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ª« ±± ª®£®¬®«®£¨©[!]. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, dN ! = 0. „«¿ ®²®¡° ¦¥­¨¿ D ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬»„®ª § ²¥«¼±²¢®.(f0 f1)(!) = (dM D DdN )(!) = dM (D!)¨ ¤ ¥² 0 ¢ ª®£®¬®«®£¨¿µ.

2‡ ¤ · 10.20. ‚»·¨±«¨²¼ ª®£®¬®«®£¨¨ ¤¥  ¬ ¬­®£®®¡° §¨©48ˆ­²¥°¢ « (a; b).Žª°³¦­®±²¨ S 1.…¢ª«¨¤®¢ ¯°®±²° ­±²¢ Rn .‘´¥°» S 2.«®±ª®±²¨ R2 ± ®¤­®© ¢»ª®«®²®© ²®·ª®©.«®±ª®±²¨ R2 ± ¤¢³¬¿ ¢»ª®«®²»¬¨ ²®·ª ¬¨.‡ ¤ · 10.21. „®ª § ²¼ «¥¬¬³ ³ ­ª °¥ : «¾¡ ¿ § ¬ª­³² ¿ ´®°¬ ­ «¾¡®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ «®ª «¼­® ²®·­®©.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.22. ³±²¼ ­ £« ¤ª®¬ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M ,dim M = n, § ¤ ­ ´®°¬ ! ¬ ª±¨¬ «¼­®© ±²¥¯¥­¨ (². ¥. deg ! = n) ± ª®¬¯ ª²­»¬ ­®±¨²¥«¥¬ ¢ ®¤­®© ª °²¥ (U; ') ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ (x1; : : :; xn). ‡¤¥±¼ ¨ ¤ «¥¥,¥±«¨ ­¥ ®£®¢®°¥­® ¯°®²¨¢­®¥, ¯®¤ ª °²®© ¢±¥£¤ ¯®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿ ª °² ¨§ ®°¨¥­²¨°³¾¹¥£® ²« ± .

Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¨­²¥£° « ®² ! ¯® U ´®°¬³«®©ZZ! :=!12 :::n dx1 : : : dxn:(18)1)2)3)4)5)6)U' (U )Rn‹¥¬¬ 10.23. ˆ­²¥£° « ®¯°¥¤¥«¥­ ª®°°¥ª²­®, ². ¥. ¯° ¢ ¿ · ±²¼®² ¢»¡®° «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² ¢ ¯°¥¤¥« µU.(18) ­¥ § ¢¨±¨²³±²¼ (U; ' ) | ¤°³£ ¿ ª °² ­ U ± «®ª «¼­»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨’®£¤ ¯® ¯° ¢¨«³ § ¬¥­» ª®®°¤¨­ ² ¢ ª° ²­®¬ ¨­²¥£° «¥ ¨ «¥¬¬¥ 6.30¢ ±¨«³ ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®±²¨ ®¡¥¨µ ª °² i ZZ@x1n!12:::n dx : : :dx =!12:::n det j dx1 : : :dxn =@x' (U )Rn' (U )Rn i ZZ@x 1n=!12:::n det j dx : : :dx =!12 :::n dx1 : : : dxn: 2@xnn„®ª § ²¥«¼±²¢®.(x1 ; : : :; xn).'(U )R' (U )R10.24. ³±²¼ M | £« ¤ª®¥ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥,dim M = n, ´®°¬ ! ¬ ª±¨¬ «¼­®© ±²¥¯¥­¨ (².

Характеристики

Список файлов лекций