Е.В. Троицкий - Дифференциальная геометрия и топология (1124100), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Ž²±¾¤ !dxk @ i + i r = 0;rkdt @xkd2xi + i dxr dxk = 0; i = 1; : : : ; n:(6)rk dt dtdt2‹¥¬¬ 8.7. ³±²¼ P 2 M , v 2 TP M . ’®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ¯°¨²®¬ ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿£¥®¤¥§¨·¥±ª ¿ (t), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿ ³±«®¢¨¿¬ (0) = P ¨ _ (t) = v . °¨ ½²®¬°¥¸¥­¨¥ £« ¤ª® § ¢¨±¨² ®² ­ · «¼­»µ ¤ ­­»µ.®±«¥ § ¯¨±¨ ¢ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨P § ¤ · ­ µ®¦¤¥­¨¿ £¥®¤¥§¨·¥±ª®© ±¢®¤¨²±¿ ª °¥¸¥­¨¾ ±¨±²¥¬» n ®¡»ª­®¢¥­­»µ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ± ­ · «¼­»¬¨ ³±«®¢¨¿¬¨ ­ §­ ·¥­¨¿ °¥¸¥­¨¿ ¨ ­ §­ ·¥­¨¿ ¥£® ¯°®¨§¢®¤­®© ¢ 0, ° §°¥¸¥­­ ¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ±² °¸¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ. Š ª ¨§¢¥±²­®, ² ª®¥ °¥¸¥­¨¥ «®ª «¼­® ±³¹¥±²¢³¥², ¥¤¨­±²¢¥­­®¨ £« ¤ª® § ¢¨±¨² ®² ­ · «¼­»µ ¤ ­­»µ.

2‡ ¤ · 8.8. …±«¨ ¤¢¥ £¥®¤¥§¨·¥±ª¨¥ ±®¯°¨ª ± ¾²±¿ ¢ ­¥ª®²®°®© ²®·ª¥, ²® ®­¨±®¢¯ ¤ ¾².‡ ¤ · 8.9. °¨ ¯ ° ««¥«¼­®¬ ¯¥°¥­¥±¥­¨¨ ¢¥ª²®° ¢¤®«¼ £¥®¤¥§¨·¥±ª®© °¨¬ ­®¢®© ±¢¿§­®±²¨ ³£®« ¬¥¦¤³ ­¨¬ ¨ ª ± ²¥«¼­»¬ ¢¥ª²®°®¬ ®±² ¥²±¿ ¯®±²®¿­­»¬.„®ª § ²¥«¼±²¢®.(£¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« ±¨¬¢®«®¢ Š°¨±²®´´¥«¿) „«¿ ¡ §¨±­»µ ¢¥ª@ ¤ ­­®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¢»¯®«­¥­® r (e ) = r e (° §²®°­»µ ¯®«¥© ei := @xei jiji r‹¥¬¬ 8.10.«®¦¥­¨¥ ¢¥ª²®° ¯® ¡ §¨±³). ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯°¨ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®¬ ¯ ° ««¥«¼­®¬¯¥°¥­¥±¥­¨¨ °¥¯¥° ± ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨„®ª § ²¥«¼±²¢®.e ¯® i{¬³ ­ ¯° ¢«¥­¨¾ ®¡° §» ° §«®¦ ²±¿ ¯® ¨±µ®¤­®¬³ °¥¯¥°³.i® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾(rei (ej))r= (ei)s (rs(ej))k= is31@ (ej )k +@xsk (e )rrs j!=!@ (jk ) k rs k r = k :+=2rsjirsjji@xs‡ ¤ · 8.11.

Ž¯¨± ²¼ ®¯¥° ¶¨¾ ¯ ° ««¥«¼­®£® ¯¥°¥­¥±¥­¨¿ ¢ °¨¬ ­®¢®© ±¢¿§­®±²¨ ­ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ ²¥°¬¨­ µ (¯°®¥ª²¨°®¢ ­¨¥).= is’¥®°¥¬ 8.12. ³±²¼M(M; g) | °¨¬ ­®¢® ¬­®£®®¡° §¨¥.U">0„«¿ ª ¦¤®© ²®·ª¨P0 2­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ®ª°¥±²­®±²¼¨ ·¨±«®, ·²® «¾¡»¥ ¤¢¥ ²®·ª¨ ®ª°¥±²­®±²¨±®¥¤¨­¿¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ £¥®¤¥§¨·¥±ª ¿ ¤«¨­» ¬¥­¼¸¥ . °¨ ½²®¬ £¥®¤¥§¨-U·¥±ª ¿ £« ¤ª® § ¢¨±¨² ®² ±¢®¨µ ª®­¶®¢."® «¥¬¬¥ 8.7 ¬®¦­® ¤«¿ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ V ²®·ª¨ (P0; 0)¢ ¬­®£®®¡° §¨¨ «¨­¥©­»µ ½«¥¬¥­²®¢ TM , ¨¬¥¾¹¥© ¢¨¤„®ª § ²¥«¼±²¢®.V = f(P; v) 2 TM j P 2 U; kvk < "g¤«¿ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ U ²®·ª¨ P0, ®¯°¥¤¥«¨²¼ £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥E : V ! M M; (P; v) 7! (P; expP (v));£¤¥ expP ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¢¥ª²®°³ v §­ ·¥­¨¥ (1) ¥¤¨­±²¢¥­­®© £¥®¤¥§¨·¥±ª®©, ¢»µ®¤¿¹¥© ¨§ P ¯® ­ ¯° ¢«¥­¨¾ v.

‚ ±¨«³ «®ª «¼­®±²¨, ¤® 1 ¯°®¤®«¦ ¾²±¿£¥®¤¥§¨·¥±ª¨¥ (°¥¸¥­¨¿ ±¨±²¥¬» ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨©) ± ¬ «®© ¤«¨­®© v.‚»·¨±«¨¬ ¿ª®¡¨ ­ E ¢ (P0; 0).„«¿ ½²®£® ­ °¿¤³ ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨1n1n(x ; : : :; x ; v ; : : : ; v ) ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ (P0; 0) ¢ TM , £¤¥ v = vi @x@ i , ° ±±¬®²°¨¬ ª®®°¤¨­ ²» (x11; : : : ; xn1 ; x12; : : :; xn2 ) ¢ U U M M . „«¿ ª ± ²¥«¼­®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿dE ¨¬¥¥¬:@xi1 = i ;@xi1 = 0; d exp ([v t]) = dv = vPP@xj j@vjdt 0¢ ±¬»±«¥ ¢²®°®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿! ª ± ²¥«¼­®£® ¢¥ª²®° .

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬ ²°¨¶ IŸª®¡¨ dP E ° ¢­ 0 I £¤¥ I | ¥¤¨­¨·­ ¿ ¬ ²°¨¶ , ¿ª®¡¨ ­ ¢ ³ª § ­­»µª®®°¤¨­ ² µ ° ¢¥­ 1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ­¥¿¢­®© ´³­ª¶¨¨, E ¤¨´´¥®¬®°´­® ®²®¡° ¦ ¥² ­¥ª®²®°³¾ ®ª°¥±²­®±²¼ V 0 ²®·ª¨ (P0; 0) 2 TM ­ ®ª°¥±²­®±²¼W 0 ²®·ª¨ (P0; P0) ¢ M M . ¥°¥µ®¤¿ ª ¬¥­¼¸¨¬ ®ª°¥±²­®±²¿¬, ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼,·²® W 0 = U 0 U 0, ¯°¨·¥¬ U 0 ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢­³²°¨ ¸ ° ¤¨ ¬¥²° " ®²­®±¨²¥«¼­® g,². ¥. ­¨¦­¿¿ £° ­¼ ¤«¨­ ª°¨¢»µ, ±®¥¤¨­¿¾¹¨µ ¶¥­²° ¸ ° P0 ± «¾¡®© ¥£® ²®·ª®©¬¥­¼¸¥ "=2.

’®£¤ U 0 | ¨±ª®¬ ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ P0 . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ P ¨ Q| ¤¢¥ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ²®·ª¨ U 0.  ±±¬®²°¨¬ £¥®¤¥§¨·¥±ª³¾ , ¢»µ®¤¿¹³¾ ¨§ ²®·ª¨P 0 ¯® ­ ¯° ¢«¥­¨¾ ¢¥ª²®° v, £¤¥ (P 0; v) = E 1(P; Q). ’®£¤ , ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ E ,¨¬¥¥¬ P 0 = P ¨ (1) = Q. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ²®·ª¨ P ¨ Q ±®¥¤¨­¥­» £¥®¤¥§¨·¥±ª®© .Ž¯°¥¤¥«¥­­ ¿ ² ª¨¬ ®¡° §®¬ £¥®¤¥§¨·¥±ª ¿, ¯® ³ª § ­­®© ²¥®°¥¬¥, £« ¤ª® § ¢¨±¨²®² ±¢®¨µ ª®­¶®¢ P ¨ Q. Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¥¥ ¤«¨­³.

‚ ±¨«³ ¤®ª § ­­®© ¢»¸¥ «¥¬¬», ¤«¨­ ª ± ²¥«¼­®£® ¢¥ª²®° ª £¥®¤¥§¨·¥±ª®© ¯®±²®¿­­ , ¯®½²®¬³ ¯ ° ¬¥²° ®²«¨· ¥²±¿ ®²­ ²³° «¼­®£® ­ ¯®±²®¿­­»© ¬­®¦¨²¥«¼, ¢ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥ ° ¢­»© kvk. ’®£¤ ¤«¨­ ª°¨¢®© ®² 0 ¤® 1 ° ¢­ 1 kvk < ". Ž±² «®±¼ ¯°®¢¥°¨²¼ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼. ³±²¼¨§ P ¢ Q ¯°®¢¥¤¥­ £¥®¤¥§¨·¥±ª ¿ ¤«¨­» ¬¥­¼¸¥ ".

’®£¤ ®­ ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬00320±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© § ¤ ·¨ ± ­ · «¼­»¬¨ ³±«®¢¨¿¬¨ ¨ ¯®²®¬³ ¥¤¨­±²¢¥­­ , ² ª ª ª¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¤«¨­ ª ± ²¥«¼­®£® ¢¥ª²®° ¢ ­ · «¥ ¬¥­¼¸¥ " t, £¤¥ (t) = Q, ¨®²±³²±²¢¨¥ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¯°®²¨¢®°¥·¨«® ¡» ¡¨¥ª²¨¢­®±²¨ E .2‡ ¤ · 8.13. ®ª § ²¼, ·²® ¢ ª®®°¤¨­ ² µ, § ¤ ­­»µ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬ exp, ¢±¥ ijk®¡° ¹ ¾²±¿ ¢ P0 ¢ ­³«¼.9. ’¥­§®° ª°¨¢¨§­» ¨¬ ­ •®²¥«®±¼ ¡» ®¯¨± ²¼ ­ ²¥­§®°­®¬ ¿§»ª¥ ®²«¨·¨¥ °¥§³«¼² ² ¯ ° ««¥«¼­®£® ¯¥°¥­¥±¥­¨¿ ±­ · « ¯® i-¬³ ­ ¯° ¢«¥­¨¾, ¯®²®¬ ¯® j -¬³ ®² ¯¥°¥­¥±¥­¨¿ ¢ ¤°³£®¬¯®°¿¤ª¥. Š®­¥·­® ª®­²³° ­¥ § ¬ª­³², ¯®½²®¬³ ª®­²³° ³±²°¥¬«¿¥¬ ª ­³«¾.

Žª §»¢ ¥²±¿, °¥§³«¼² ² ±¢¿§ ­ ± ¥¢ª«¨¤®¢®±²¼¾ ¬¥²°¨ª¨ (¢ °¨¬ ­®¢®¬ ±«³· ¥).‚±¾¤³ ¢ ½²®¬ ¯ ° £° ´¥ ±¢¿§­®±²¼ ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®©.  ±±¬®²°¨¬ ¢ ¯°¥¤¥« µ ¤¥©±²¢¨¿ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² (x1; : : :; xn) ¤¥©±²¢¨¥ rk rl rlrk ­ ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ T i (² ª ·²® °¥§³«¼² ² | ²¥­§®° ²¨¯ (1,2)). ®«³· ¥¬r irlT i = @T@xl + T rl ;i!!isi@@T@Ti + T r rl + ir ssr irllk @xs + T rs ;@xk sk @xl + T rl(rk rl rlrk) T i =!@ irk + @T r i @T r i + @T s i @T s i + T r i s T r i s =sk rlsl rk@xl@xk rl @xl rk @xl sk @xk sl!ii@@rkrlisisr= T @xk @xl + sk rl sl rk :2 irrk rlT i = @x@kT@xl + @T@xki= T r @@xrlkŽ¡®§­ · ¿¯®«³·¨¬, ·²®@ iRiq;kl := @xqlk@ iqk@xl +i ssk qli s ;sl qk(7)(rk rl rlrk ) T i = T q Riq;kl:‹¥¬¬ 9.1.

”³­ª¶¨¨ Riq;kl ®¡° §³¾² ²¥­§®° ²¨¯ (1; 3).„®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®°­®£® ¯®«¿ T ´³­ª¶¨¨ (rk rlrlrk ) T i, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ T q Riq;kl, ®¡° §³¾² ²¥­§®°­®¥ ¯®«¥ ²¨¯ (1; 2). ®±ª®«¼ª³ Riq;kl =(eq )s Ris;kl, ²®@xl @xi0 = (e 0 )s0 @xs Ri @xk @xl @xi0 =q@xl0 @xi@xs0 s;kl @xk0 @xl0 @xi0s @xk @xl @xi0q @xk @xl @xi0@x@x0 @xs i @xk @xl @xisii= q0 @xs0 Rs;kl @xk0 @xl0 @xi = Rs;kl @xq0 @xk0 @xl0 @xi = Rq;kl @xq0 @xk0 @xl0 @xi : 2Riq00;k0l0= (eq0 )s0 Ris00 ;k0l0@xk= (eq0 )s Ris;kl @xk033” ª², ¯®«³·¥­­»© ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥, ¬®¦¥² ¡»²¼ ±´®°¬³«¨°®¢ ­ ¢ ¡®«¥¥ ®¡¹¥¬ ¢¨¤¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ª®½´´¨¶¨¥­²» «¨­¥©­®© § ¢¨±¨¬®±²¨²¥­§®°®¢ ®¡° §³¾² ²¥­§®°.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.3. ’¥­§®° Riq;kl ­ §»¢ ¥²±¿ ²¥­§®°®¬ ª°¨¢¨§­» ¨¬ ­ ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®© ±¢¿§­®±²¨ r.‡ ¬¥· ­¨¥ 9.2.‹¥¬¬ 9.4.

³±²¼ ¢ ­¥ª®²®°®© ²®·ª¥ ( §­ ·¨², ¨ ¢ ¥¥ ®ª°¥±²­®±²¨) ¬­®£®®¡° §¨¿M ²¥­§®° ª°¨¢¨§­» ¨¬ ­ ­¥ª®²®°®© ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®© ±¢¿§­®±²¨ ®²«¨·¥­ ®²­³«¿. ’®£¤ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­¥«¼§¿ ¢¢¥±²¨ ¥¢ª«¨¤®¢» ª®®°¤¨­ ²» ¤ ­­®© ±¢¿§­®±²¨.…±«¨ ¡» ² ª¨¥ ª®®°¤¨­ ²» ±³¹¥±²¢®¢ «¨ ¡», ²® ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾¢ ­¨µ ®¡­³«¿«¨±¼ ¡» ±¨¬¢®«» Š°¨±²®´´¥«¿, §­ ·¨², ¨ ²¥­§®° ¨¬ ­ . 2¥°¥©¤¥¬ ª ¨­¢ °¨ ­²­®¬³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ R.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.5. Š®¬¬³² ²®°®¬ ¢¥ª²®°­»µ ¯®«¥© X ¨ Y ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®°­®¥¯®«¥kki @X :Y[X; Y ]k := X i @Y@xi@xi„«¿ ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®© ±¢¿§­®±²¨!!kk@X@YkkijkijkrX Y rY X = X @xi + Y ji Y @xi + X ji = [X; Y ]k ; (8)¢ · ±²­®±²¨, ®¯¥° ¶¨¿ ²¥­§®°­ ¿.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.6. Ž¯°¥¤¥«¨¬ ®¯¥° ²®° ª°¨¢¨§­»„®ª § ²¥«¼±²¢®.R(X; Y )Z := rX rY (Z ) rY rX (Z ) r[X;Y ](Z ):Ž­ ±®¯®±² ¢«¿¥² ²°¥¬ ¢¥ª²®°­»¬ ¯®«¿¬ X , Y ¨ Z ­¥ª®²®°®¥ ·¥²¢¥°²®¥ ¢¥ª²®°­®¥¯®«¥. ‚¢¨¤³ ¿¢­®£® ­¥° ¢­®¯° ¢¨¿ ²°¥²¼¥£® °£³¬¥­² ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ¯¥°¢»¬¤¢³¬, ¬» ¯¨¸¥¬ R(X; Y )Z , ­¥ R(X; Y; Z ).’¥®°¥¬ 9.7.

Ž²®¡° ¦¥­¨¥§®° ²¨¯ (1; 3).R ²°¨«¨­¥©­®.‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®­® ®¯°¥¤¥«¿¥² ²¥­-…±«¨ R | ²°¨«¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ®² ¢¥ª²®°­»µ ¯®«¥© ±®§­ ·¥­¨¿¬¨ ¢ ¢¥ª²®°­»µ ¯®«¿µ, ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥Te(X; Y; Z ; !) := !(T (X; Y; Z ))„®ª § ²¥«¼±²¢®.¡³¤¥² 4-«¨­¥©­»¬ ®² 3 ¢¥ª²®°­»µ ¨ 1 ª®¢¥ª²®°­®£® ¯®«¿ ±® §­ ·¥­¨¿¬¨ ¢ ´³­ª¶¨¿µ.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢²®° ¿ · ±²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ²¥®°¥¬» ±«¥¤³¥² ¨§ ¯¥°¢®©.’°¨«¨­¥©­®±²¼ ¢ ²®·ª¥ ®·¥¢¨¤­ . ¥®¡µ®¤¨¬® ¤®ª § ²¼ ª®¬¬³²¨°®¢ ­¨¥ ± ³¬­®¦¥­¨¥¬ ­ £« ¤ª¨¥ ´³­ª¶¨¨. „®ª ¦¥¬, ·²® R(X; Y )(fZ ) = f R(X; Y )Z :rX rY (fZ ) rY rX (fZ ) r[X;Y ](fZ ) == rX ((rY f )Z ) + rX (f rY Z ) rY ((rX f )Z ) rY (f rX Z ) r[X;Y ](f )Z f r[X;Y ]Z =34= (rX rY f )Z + rY f rX Z + rX (f )rY Z + f (rX rY Z ) (rY rX f )Z rX f rY ZrY f rX Z f (rY rX Z ) r[X;Y ](f )Z f r[X;Y ]Z == rX rY f rY rX f r[X;Y ](f ) Z + f (rX rY Z ) (rY rX Z ) r[X;Y ]Z == f R(X; Y )Z;² ª ª ª ¯¥°¢ ¿ ±ª®¡ª ®¡­³«¿¥²±¿, ¯®±ª®«¼ª³rX rY f rY rX f rrX Y f + rrY X f =2@f + X i Y k @ 2fi r X k @fiX k @ f= X iriY k @xYYik@xi @xk@xk@xi @xk@f + (Y ir X )k @f = 0:(X iriY )k @xik@xk°®¢¥°¨¬ ²¥¯¥°¼ ±®®²­®¸¥­¨¥ R(fX; Y )Z = f R(X; Y )Z .

‡ ¬¥²¨¬, ·²®(rfX )T = (fX )k rk T = f X k rkT = f rX T;rfX = f rX¨[fX; Y ] = rfX YrY (fX ) = f rX Y (rY f ) X f rY X = f [X; Y ] (rY f ) X:®«³· ¥¬, ·²®R(fX; Y )Z = rfX rY Z rY rfX Z r[fX;Y ]Z == f rX rY Z rY (f rX Z ) rf [X;Y ]Z + r(rY f )X Z == f rX rY Z rY (f )rX Z f (rY rX Z ) f r[X;Y ]Z + (rY f ) rX Z = f R(X; Y )Z:€­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® R(X; fY )Z = f R(X; Y )Z . 2‹¥¬¬ 9.8. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­».„®ª § ²¥«¼±²¢®.„«¿ ¡ §¨±­»µ ¯®«¥© ei = @x@ i ¨¬¥¥¬R(ei ; ej )Z k = rei rej Z k rej rei Z k + r[ei;ej ]Z k = rirj Z k rj riZ k ;¯®±ª®«¼ª³ rei Z k = (ei)mrmZ k = imrmZ k = riZ k ,riej rj ei = ljiel lij el = 0;rX Y k rY X k = [X; Y ]k ;¯® (8) ² ª ª ª ±¢¿§­®±²¼ ±¨¬¬¥²°¨·­ . ® «¨­¥©­®±²¨ ¯®«³· ¥¬ °¥§³«¼² ².’¥®°¥¬ 9.9.(±¨¬¬¥²°¨¨ ²¥­§®° ¨¬ ­ )35(9)(10)2X ¨ Y:R(X; Y )Z + R(Y; X )Z = 0;1) ª®± ¿ ±¨¬¬¥²°¨¿ ¯® ¯®«¿¬¨«¨Rij;kl + Rij;lk = 0;2) ²®¦¤¥±²¢® Ÿª®¡¨:R(X; Y )Z + R(Y; Z )X + R(Z; X )Y = 0;¨«¨Rij;kl + Rik;lj + Ril;kj = 0;3) ¤«¿ ²¥­§®° ¨¬ ­ °¨¬ ­®¢®© ±¢¿§­®±²¨hR(X; Y )Z; W i + hR(X; Y )W; Z i = 0;¨«¨ ¢ ª®®°¤¨­ ² µRij;kl + Rji;kl = 0;£¤¥Rij;kl = gir Rrj;kl ;4) ¤«¿ ²¥­§®° ¨¬ ­ °¨¬ ­®¢®© ±¢¿§­®±²¨hR(X; Y )Z; W i = hR(Z; W )X; Y i;¨«¨ ¢ ª®®°¤¨­ ² µ„®ª § ²¥«¼±²¢®.Rij;kl = Rkl;ij :³­ª² 1) ±«¥¤³¥² ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ²¥­§®° ¨-¬ ­ .2).

‚ ±¨«³ «¨­¥©­®±²¨ ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¤«¿ (ª®¬¬³²¨°³¾¹¨µ) ¡ §¨±­»µ¯®«¥©. ® (9,10) ¤«¿ ¡ §¨±­»µ ¯®«¥©R(ei; ej )ek + R(ej ; ek )ei + R(ek ; ei)ej = rei rej ek rej rei ek r[ei;ej ]ek ++rej rek ei rek rej ei r[ej ;ek ]ei + rek rei ej rei rek ej r[ek;ei ]ej == rei [ej ; ek ] rej [ei; ek ] rek [ej ; ei] = 0:¥°¿ ª®®°¤¨­ ²³ ½²®£® ¢¥ª²®°­®£® ° ¢¥­±²¢ , ¯®«³· ¥¬ ´®°¬³«³ ¢ ª®®°¤¨­ ² µ.3). „«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´®°¬» B ²®¦¤¥±²¢® ¯®«¿°¨§ ¶¨¨B (u + v; u + v) = B (u; u) + B (u; v) + B (v; u) + B (v; v)¯®ª §»¢ ¥², ·²® ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼ ° ¢­®±¨«¼­ ¢»¯®«­¥­¨¾ ³±«®¢¨¿ B (w; w) = 0¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®° w. ‚¬¥±²¥ ± ­ ¸¨¬ ±² ­¤ °²­»¬ ° ±±³¦¤¥­¨¥¬ ® «¨­¥©­®±²¨ ½²® ±¢®¤¨² § ¤ ·³ ª ¯°®¢¥°ª¥ ¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®°­®£® ¯®«¿ Z ° ¢¥­±²¢ hR(ei ; ej )Z; Z i = 0.

Характеристики

Список файлов лекций