А.А. Тужилин - Лекции по классической дифференциальной геометрии (второй семестр) (1124098), страница 4
Текст из файла (страница 4)
®«¥¥ ²®£®,; i ;e ^ : : : ^ eip ^ ej ^ : : : ^ ejq = ei ^ : : : ^ eip ^ ej ^ : : : ^ ejq(¤®ª ¦¨²¥).111113.2 ¥¸¥¥ ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥ ±±¬®²°¥»¥ ¢»¸¥ ®¯¥° ¶¨¨ ®¯°¥¤¥«¥» ª®°°¥ª²® ª ª ¤«¿ «£¥¡° ¨·¥±ª¨µ ²¥§®°®¢, ² ª ¨ ¤«¿ ²¥§®°»µ ¯®«¥©. ¤ ®¬ ° §¤¥«¥ ¬» ®¯°¥¤¥«¨¬®¯¥° ¶¨¾, µ ° ª²¥°³¾ ¨¬¥® ¤«¿ ²¥§®°»µ ¯®«¥©.³±²¼ T | ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼ ¿ k-´®°¬ , ¨ fTi ik g | ¥¥ ª®®°¤¨ ²®¥¯°¥¤±² ¢«¥¨¥ ¢ ¥ª®²®°®¬ ¡ §¨±¥ xi.
®±²°®¨¬ ¡®° ´³ª¶¨© f(dT )i ik g,®¯°¥¤¥«¥»© ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:kX+1@T ibq ik(dT)i ik = (;1)q+1 i @x;iqq=11111+1+1+1£¤¥ ibq ®§ · ¥², ·²® ¨¤¥ª± iq ¯°®¯³¹¥.¨¦¥ ¬» ¯®ª ¦¥¬, ·²® ¡®° ´³ª¶¨© dTi ik ®¡° §³¥² (k+1)-´®°¬³,ª®²®° ¿ §»¢ ¥²±¿ ¤¨´´¥°¥¶¨ «®¬ ´®°¬» T. ¯¥° ¶¨¿ d,±² ¢¿¹ ¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®© ´®°¬¥ T ¥¥ ¤¨´´¥°¥¶¨ « dT, §»¢ ¥²±¿ ¢¥¸¨¬ ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¥¬. °¨¢¥¤¥¬ ¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥°».³±²¼ T = f | 0-´®°¬ , ².¥. ´³ª¶¨¿. ®£¤ @f ;(df)i = @xi1+120¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ´®°¬» ¬®£®®¡° §¨¨².¥.
df | ¤¨´´¥°¥¶¨ « ´³ª¶¨¨. ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ k = 0 ¢¥¸¨©¤¨´´¥°¥¶¨ « k-´®°¬» ¤¥©±²¢¨²¥«¼® ¿¢«¿¥²±¿ (k + 1)-´®°¬®©.³±²¼ ²¥¯¥°¼ T = fTi g ¿¢«¿¥²±¿ 1-´®°¬®©, ².¥. ª®¢¥ª²®°»¬ ¯®«¥¬.®£¤ j @Ti(dT)ij = @T@xi ; @xj = ;(dT)ji : ª ¿ ´®°¬ dT · ±²® §»¢ ¥²±¿ °®²®°®¬ ª®¢¥ª²®°®£® ¯®«¿ T ., ª®¥¶, ¯³±²¼ T = fTij g. ®£¤ jk @Tik @Tij(dT )ijk = @T@xi ; @xj + @xk :¥®°¥¬ 3.1 ±«¨ T | ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼ ¿ k-´®°¬ , ²® dT | ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼ ¿ (k + 1)-´®°¬ . ª ª ª ¢»·¨±«¥¨¿ ¤®±² ²®·® £°®¬®§¤ª¨, ¯°®¢¥¤¥¬¤®ª § ²¥«¼±²¢®0 ¤«¿ k = 1 (¤«¿ k = 0 ²¥®°¥¬ ³¦¥ ¡»« ¤®ª § ¢»¸¥).³±²¼ xi ! xi | § ¬¥ ª®®°¤¨ ². ®£¤ j i 00@T@@x@@x@Tij(dT)i0 j 0 = @xi0 ; @xj 0 = @xi0 @xj 0 Tj ; @xj 0 @xi0 Ti =d2xj T ; d2xi T + @xi @xj @Tj ; @xj @xi @Ti =@xi0 @xj 0 j @xj 0 @xi0 i @xi0 @xj0 @xi @xj 0 @xi0 @xjd2xk T ; d2 xk T + @xi @xj @Tj ; @Ti = @xi @xj dT :@xi0 @xj 0 k @xj 0 @xi0 k @xi0 @xj 0 @xi @xj@xi0 @xj 0 ij®ª § ²¥«¼±²¢® § ª®·¥®. ¤¨¬ ¥¹¥ ®¤® ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¢¥¸¥£® ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¿ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ´®°¬, ª®²®°®¥ ®ª §»¢ ¥²±¿ ¡®«¥¥ ³¤®¡»¬ ¢® ¬®£¨µ ¢ ¦»µ±¨²³ ¶¨¿µ.
³±²¼®ª § ²¥«¼±²¢®.T=Xi1 <<ikTi ik dxi ^ : : : ^ dxik11| ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼ ¿ k-´®°¬ . ®«®¦¨¬dT =Xi1 <<ikdT ^ dxi ^ : : : ^ dxik =1Xi0i1 <<ik@Ti ik dxi ^ dxi ^ : : : ^ dxik :@xi1010¯° ¦¥¨¥ 3.1 °®¢¥°¼²¥ ½ª¢¨¢ «¥²®±²¼ ¤¢³µ ®¯°¥¤¥«¥¨© ¢¥¸¥£®¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¿.²®°®¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¢¥¸¥£® ¤¨´´¥°¥¶¨°®¢ ¨¿ ¯®§¢®«¿¥² ¡®«¥¥ «¥£ª®¤®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¢ ¦®¥ ±¢®©±²¢® ½²®© ®¯¥° ¶¨¨.21¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ´®°¬» ¬®£®®¡° §¨¨¥®°¥¬ 3.2 «¿ «¾¡®©®ª § ²¥«¼±²¢®.k-´®°¬» T¬¥¥¬T=X¢»¯®«¿¥²±¿:d2T = 0.Ti ik dxi ^ : : : ^ dxik11i1 <<ik@Ti1 ik dxp ^ dxi1 ^ : : : ^ dxikdT =@xppi1 <<ikX @ 2 Ti i1k qpi1ikd2T =p @xq dx ^ dx ^ dx ^ : : : ^ dx :@xp;qi1 <<ikX»° ¦¥¨¥ @@xTpi @xiqk ±¨¬¬¥²°¨·® ¯® p ¨ q, ¢»° ¦¥¨¥ dxq ^ dxp ª®±®±¨¬¬¥²°¨·® ¯® p ¨ q, ¯®½²®¬³ ¨µ ±¢¥°²ª ¤ ¥² ²®¦¤¥±²¢¥»© ®«¼.
®ª § ²¥«¼±²¢® § ª®·¥®.21¯° ¦¥¨¥ 3.2 ®ª ¦¨²¥, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ´®°¬ |´®°¬»T° £ p ¨ ´®°¬» S ° £ q | ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¥¥ ° ¢¥±²¢®:d(T ^ S) = (dT) ^ S + (;1)p T ^ (dS):3.3 ²¥£°¨°®¢ ¨¥ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ´®°¬» ¥±²¥±²¢¥»¬ ®¡° §®¬ ®¡®¡¹ ¥²±¿ ®¯¥° ¶¨¿¢§¿²¨¿ ®¯°¥¤¥«¥®£® ¨²¥£° « ®² ´³ª¶¨¨, § ¤ ®© ®¡« ±²¨ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯°®±²° ±²¢ . ®«³·¥ ¿ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ®¯¥° ¶¨¿ §»¢ ¥²±¿ ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥¬ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ´®°¬.²¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ª®°°¥ª²®£® ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¨²¥£° « ®² ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®© n-´®°¬» ¯® ¬®£®®¡° §¨¾ M, ¬®£®®¡° §¨¥ M ¤®«¦® ¡»²¼ ®°¨¥²¨°³¥¬® ¨ ¨¬¥²¼ ° §¬¥°®±²¼ n. °®¬¥ ²®£®, ¥±«¨ ¬» µ®²¨¬, ·²®¡»¨²¥£° « ¡»« ª®°°¥ª²® ®¯°¥¤¥«¥ ¤«¿ «¾¡®© n-´®°¬», ¥®¡µ®¤¨¬® ¯®²°¥¡®¢ ²¼, ·²®¡» ¬®£®®¡° §¨¥ ¡»«® ª®¬¯ ª²®. ¤¥©±²¢¨²¥«¼®±²¨, ¬» µ®²¨¬ ®¡®¡¹¨²¼ ¬®£®®¡° §¨¿ ¨§¢¥±²»¥ ¨§ª³°± ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® «¨§ ´®°¬³«» °¨ , ²®ª± ¨ ±²°®£° ¤±ª®£®{ ³±± (±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© °¥§³«¼² ² ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¨ §»¢ ¥²±¿ ®¡¹¥© ²¥®°¥¬®© ²®ª± ).
¤ ª® ¢ ½²¨µ ´®°¬³« µ ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥ ¯°®¨§¢®¤¨²¼±¿¥ ¯® ¬®£®®¡° §¨¿¬, ¯® ¥±ª®«¼ª® ¡®«¥¥ ®¡¹¨¬ ®¡º¥ª² ¬: ª ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ¬®£®®¡° §¨¿¬ (®¡« ±²¨ ¯«®±ª®±²¨ ¨«¨ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥, ¯®¢¥°µ®±²¨ ¢ ¯°®±²° ±²¢¥) ¤®¡ ¢«¿¾²±¿ £° ¨·»¥ ²®·ª¨. ®½²®¬³, ·²®¡»¯®±²°®¨²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ®¡®¡¹¥¨¥, ¬» ·¥¬ ± ®¯°¥¤¥«¥¨¿ «®£ ®¡« ±²¨ ± £° ¨¶¥©, ª®²®°»© §»¢ ¥²±¿ ¬®£®®¡° §¨¥¬ ± ª° ¥¬.¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ´®°¬» ¬®£®®¡° §¨¨3.3.122®£®®¡° §¨¿ ± ª° ¥¬³±²¼ N | £« ¤ª®¥ ¬®£®®¡° §¨¥.
¬»ª ¨¥ ®²ª°»²®£® ¯®¤¬®¦¥±²¢ M ¨§ N §»¢ ¥²±¿ ¬®£®®¡° §¨¥¬ ± ª° ¥¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ £« ¤ª ¿ ´³ª¶¨¿ f : N ! R, ·²® M = fx 2 N j f(x) 0g, ¨ ¤¨´´¥°¥¶¨ «´³ª¶¨¨ f ¢® ¢±¥µ ²®·ª µ x, £¤¥ f(x) = 0, ®²«¨·¥ ®² ³«¿. ½²®¬ ±«³· ¥ ¬®¦¥±²¢® ²®·¥ª, £¤¥ f(x) = 0, §»¢ ¥²±¿ ª° ¥¬ ¬®£®®¡° §¨¿ M ¨®¡®§ · ¥²±¿ ·¥°¥§ @M. §¬¥°®±²¼¾ ¬®£®®¡° §¨¿ M ± ª° ¥¬ @M §»¢ ¥²±¿ ° §¬¥°®±²¼ ¬®£®®¡° §¨¿ N.²¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ª° © @M ¯³±², ²® M ¿¢«¿¥²±¿ ®¡»·»¬ ¬®£®®¡° §¨¥¬, ª®²®°®¥ ¬» ®¯°¥¤¥«¿«¨ ¢ ¯°®¸«®¬ ±¥¬¥±²°¥.
¥£ª® ¯°®¢¥°¿¥²±¿, ·²®ª° © ¬®£®®¡° §¨¿ M ¤¥«¿¥²±¿ ¥±²¥±²¢¥»¬ ®¡° §®¬ ±²°³ª²³°®© £« ¤ª®£® ¬®£®®¡° §¨¿ (¡¥§ ª° ¿), ¥±«¨ ¢ ª ·¥±²¢¥ ª °² ° ±±¬®²°¥²¼ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ª °² ¬®£®®¡° §¨¿ N ± ª° ¥¬ @M. ±«¨ ° §¬¥°®±²¼ ¬®£®®¡° §¨¿ M° ¢¿¥²±¿ n, ²® ° §¬¥°®±²¼ ¥£® ª° ¿ @M ° ¢ n ; 1. ª ·¥±²¢¥ ¯°¨¬¥° ¬®£®®¡° §¨¿ ± ª° ¥¬ ¬®¦® ° ±±¬®²°¥²¼ «¾¡³¾®¡« ±²¼ ¢ Rn, £° ¨¶ ª®²®°®© § ¤ ¥¿¢® £« ¤ª®© ´³ª¶¨¥© ¢ ¢¨¤¥f(x) = 0, ¯°¨·¥¬ df 6= 0 ½²®©P£° ¨¶¥; ¢ · ±²®±²¨, ¬®£®®¡° §¨¥¬ ±ª° ¥¬ ¿¢«¿¥²±¿ § ¬ª³²»© ¸ ° i (xi )2 ; R2 0.¯° ¦¥¨¥ 3.3 ®ª ¦¨²¥, ·²® ¯®«®²®°¨©, ®£° ¨·¥»© ²®°®¬, ¯®-z ®ª°³¦®±²¨ ° ¤¨³± r ¢ ¯«®±ª®±²¨(R; 0; 0) 0 < r < R, ¿¢«¿¥²±¿ ¬®£®®¡° §¨¥¬ ±«³·¥»¬ ¯°¨ ¢° ¹¥¨¨ ¢®ª°³£ ®±¨± ¶¥²°®¬ ¢ ²®·ª¥,ª° ¥¬.xz°³£®¥ ½ª¢¨¢ «¥²®¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¬®£®®¡° §¨¿ ± ª° ¥¬ ¯®«³· ¥²±¿,¥±«¨ ¥¬®£® ¯®¤¯° ¢¨²¼ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ¬®£®®¡° §¨¿. ¨¬¥®, µ ³±¤®°´®¢® ²®¯®«®£¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ±²¢® §»¢ ¥²±¿ ¬®£®®¡° §¨¥¬ ± ª° ¥¬, ¥±«¨¥£® ¬®¦® ¯®ª°»²¼ ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²»¬ ±¥¬¥©±²¢®¬ ®²ª°»²»µ ¬®¦¥±²¢,ª ¦¤®¥ ¨§ ª®²®°»µ £®¬¥®¬®°´®¥ª®²®°®¬³®²ª°»²®¬³ ¯®¤¬®¦¥±²¢³ ¢¯®«³¯°®±²° ±²¢¥ Rn+ = (x1; : : : ; xn) j x1 0 . ª ¦¤®¬ ª®ª°¥²®¬ ±«³· ¥ ³¤®¡® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ²® ®¤¨¬, ²® ¤°³£¨¬¨§ ½²¨µ ®¯°¥¤¥«¥¨©. ±«¨ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯¥°¢»¬ ®¯°¥¤¥«¥¨¥¬ ¬®£®®¡° §¨¿ M, ²® ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®© ´®°¬®© M §®¢¥¬ ®£° ¨·¥¨¥ M ¯°®¨§¢®«¼®© ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®© ´®°¬», § ¤ ®© N M.
°¨ ¨±¯®«¼§®¢ ¨¨ ¢²®°®£®®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¬®£®®¡° §¨¿ M ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ´®°¬» M § ¤ ¾²±¿² ª ¦¥, ª ª ¨ £« ¤ª®¬ ¬®£®®¡° §¨¨.®£®®¡° §¨¥ M ± ª° ¥¬ §»¢ ¥²±¿ ®°¨¥²¨°³¥¬»¬, ¥±«¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¬®£®®¡° §¨¥ N ®°¨¥²¨°³¥¬®. ¯°¥¤¥«¥¨¥ ®°¨¥²¨°³¥¬®±²¨¬®£®®¡° §¨¿ ± ª° ¥¬ ¢ ²¥°¬¨ µ ª °² | ² ª®¥ ¦¥, ª ª ¨ ¤«¿ ®¡»·»µ¬®£®®¡° §¨©. ²¬¥²¨¬, ·²® ª° © ®°¨¥²¨°³¥¬®£® ¬®£®®¡° §¨¿ ®°¨¥²¨°³¥¬. § ª«¾·¥¨¥ ½²®£® ° §¤¥« ®²¬¥²¨¬, ·²® ¨²¥£°¨°®¢ ¨¥ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼»µ ´®°¬ ¬» ¡³¤¥¬ ®¯°¥¤¥«¿²¼ ¬®£®®¡° §¨¿µ ± ª° ¥¬.23¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ´®°¬» ¬®£®®¡° §¨¨3.4 §¡¨¥¨¥ ¥¤¨¨¶»¡¹ ¿ ¨¤¥¿ ®¯°¥¤¥«¥¨¿ ¨²¥£° « ®² ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®© ´®°¬» ±®±²®¨² ¢²®¬, ·²® ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼³¾ ´®°¬³ ! ± · « § ¯¨±»¢ ¾² ª ª ±³¬¬³ ´®°¬!, ª ¦¤ ¿ ¨§ ª®²®°»µ ®¯°¥¤¥«¥ ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ª °²¥ (U ; ') (¢¥½²®© ª °²» ! ° ¢ ³«¾), § ²¥¬ ®¯°¥¤¥«¿¾² ¨²¥£° « ®² ! ª ª ±³¬¬³¨²¥£° «®¢ ®² ª ¦¤®© ¨§ ¯®«³·¥»µ ´®°¬ !.²®¡» ° §«®¦¨²¼ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼³¾ ´®°¬³ ! ¢ ±³¬¬³ ´®°¬ ! , ¬¯® ¤®¡¨²±¿ ² ª §»¢ ¥¬®¥ ° §¡¨¥¨¥ ¥¤¨¨¶». ¯®¬¨¬, ·²® ®±¨²¥«¥¬ ´³ª¶¨¨ §»¢ ¥²±¿ § ¬»ª ¨¥ ¬®¦¥±²¢ ²¥µ ²®·¥ª, ¢ ª®²®°»µ ´³ª¶¨¿ ¥ ° ¢ ³«¾.
®«¥¥ ®¡¹®, ®±¨²¥«¥¬²¥§®°®£® ¯®«¿ (¢ · ±²®±²¨, ®±¨²¥«¥¬ ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®© ´®°¬» ) §»¢ ¥²±¿ § ¬»ª ¨¥ ¬®¦¥±²¢ ²¥µ ²®·¥ª, ¢ ª®²®°»µ ²¥§®°®¥ ¯®«¥ ¥®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ³«¼.¥¬¥©±²¢® ´³ª¶¨© 0 ' 1 £« ¤ª®¬ ¬®£®®¡° §¨¨M (± ª° ¥¬ ¨«¨ ¡¥§) §»¢ ¥²±¿ ° §¡¨¥¨¥¬ ¥¤¨¨¶», ¯®¤·¨¥»¬ ¥ª®²®°®¬³ ª®¥·®¬³ ¯®ª°»²¨¾ A = fU g, ¥±«¨ ®±¨²¥«¼ supp ' ´³ª¶¨¨P' «¥¦¨² ¢ U ¤«¿ «¾¡®£® , ¨ ' (x) 1 ¤«¿ ¢±¥µ x 2 M.¯°¥¤¥«¥¨¥.¯°¥¤¥«¥¨¥ ° §¡¨¥¨¿ ¥¤¨¨¶» ¤®±«®¢® ¯¥°¥®±¨²±¿ «¾¡®¥ «®ª «¼® ª®¥·®¥ ¯®ª°»²¨¥, ².¥.
² ª®¥ ¯®ª°»²¨¥, ·²® «¾¡ ¿ ²®·ª ¬®£®®¡° §¨¿ ®¡« ¤ ¥² ®ª°¥±²®±²¼¾, ¯¥°¥±¥ª ¾¹¥©±¿ «¨¸¼ ± ª®¥·»¬·¨±«®¬ ½«¥¬¥²®¢ ½²®£® ¯®ª°»²¨¿. ¬¥· ¨¥.¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨© ±² ¤ °²»© ²¥µ¨·¥±ª¨© °¥§³«¼² ², ª®²®°»©¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ .¥®°¥¬ 3.3 (±³¹¥±²¢®¢ ¨¥ ° §¡¨¥¨¿ ¥¤¨¨¶») «¿ «¾¡®£® £« ¤-()(ª®£® ¬®£®®¡° §¨¿ ± ª° ¥¬ ¨«¨ ¡¥§ ¨ «¾¡®£® ¥£® ª®¥·®£® ¨«¨ «®ª «¼®ª®¥·®£® ¯®ª°»²¨¿ ±³¹¥±²¢³¥² ° §¡¨¥¨¥ ¥¤¨¨¶», ¯®¤·¨¥®¥ ½²®¬³¯®ª°»²¨¾.) ¤ «¼¥©¸¥¬ ¤«¿ ¯°®±²®²» ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® ¬®£®®¡° §¨¥ Mª®¬¯ ª²®.