А.А. Тужилин - Лекции по классической дифференциальной геометрии (второй семестр) (1124098), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

«¥¦ ¹¨© ¢ TP @M,¨¬¥¥² ¢¨¤ (0; v2 ; : : : ; vn), ¯®½²®¬³ ¯°¨ q 6= 1 ­ ² ª®¬ vdq ^ ^ dxn(v) = 0:dx1 ^ ^ dxŽ²±¾¤ ¢»²¥ª ¥², ·²®! (v) =¯®½²®¬³nXq=1dq ^ ^ dxn (v) = T2ndx2 ^ ^ dxn(v);T1bqndx1 ^ ^ dx!j@M = T2n(0; x2; : : : ; xn) dx2 ^ ^ dxn;·²® ¨ ¤®ª §»¢ ¥² ° ¢¥­±²¢®ZK \@M! j@M =Z";"Z";"T2n (0; x2; : : : ; xn) dx2 dxn:’¥®°¥¬ ¤®ª § ­ .°¨¢¥¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ­¥ª®²®°»¥ ±«¥¤±²¢¨¿ ²¥®°¥¬» ‘²®ª± .Š ª ¡»«® ®²¬¥·¥­® ¢»¸¥, 1 | ½²® ´®°¬ ®¡º¥¬ . ˆ­²¥£° «®¬ ®²´³­ª¶¨¨ F ¯® ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¬³ª®¬¯ ª²­®¬³°¨¬ ­®¢³ ¬­®£®®¡° §¨¾RRM ­ §»¢ ¥²±¿ ¨­²¥£° «F1=F,².¥.,¢ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ MMR² µ xi, | ¨­²¥£° « F pg dx1 ^ ^ dxn.

‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ M | ®°¨¥­²¨°³¥¬®¥ ª®¬¯ ª²­®¥ ¯®¤¬­®£®®¡° §¨¥ °¨¬ ­®¢ ¬­®£®®¡° §¨¿ M, ¨F : MR !pR | ´³­ª¶¨¿ ­ M, ²® ¨­²¥£° « ®² F ¯® ¯®¤¬­®£®®¡° §¨¾ M |½²® F g dx1 ^ ^ dxn, £¤¥ g | ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ¬ ²°¨¶» ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®©­ M ¬¥²°¨ª¨.Ž²¬¥²¨¬, ·²®R¤«¿ ®°¨¥­²¨°³¥¬®£® ª®¬¯ ª²­®£® °¨¬ ­®¢ ¬­®£®®¡° §¨¿ M ¨­²¥£° « M 1 ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬ ·¨±«®¬ ¨ ­ §»¢ ¥²±¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡º¥¬®¬ ½²®£® ¬­®£®®¡° §¨¿.‚ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬ ­ «¨§¥ ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ²®«¼ª® ·²® ¨­²¥£° «» ®² ´³­ª¶¨© ­ §»¢ ¾² ¨­²¥£° « ¬¨ ¯¥°¢®£® °®¤ . ²¨ ¨­²¥£° «» § ¢¨±¿² ®² ¬¥²°¨ª¨, ² ª ª ª ¯°¨ ¨µ ¢»·¨±«¥­¨¨ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ´®°¬ ®¡º¥¬ ¯®¤¬­®£®®¡° §¨¿. ‚ ®²«¨·¨¥ ®² ² ª¨µ ¨­²¥£° «®¢, ¨­²¥£° «» ®² ®¡»·­»µ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ´®°¬ ­ §»¢ ¾² ¨­²¥£° « ¬¨ ¢²®°®£® °®¤ .30ˆ­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ´®°¬. ’¥®°¥¬ ‘²®ª± ‚ ª ·¥±²¢¥ ±«¥¤±²¢¨© ¨§ ²¥®°¥¬» ‘²®ª± , ¯®«³·¨¬ ª« ±±¨·¥±ª¨¥ ´®°¬³«» ƒ°¨­ , ‘²®ª± ¨ ƒ ³±± {Ž±²°®£° ¤±ª®£®, ² ª¦¥ ´®°¬³«³ ¢»·¥²®¢.4.1 ”®°¬³« ƒ°¨­ ³±²¼ ­ ¯«®±ª®±²¨ R2 § ¤ ­ °¥£³«¿°­ ¿ § ¬ª­³² ¿ª°¨¢ ¿ : [a; b] ! R2,;®£° ­¨·¨¢ ¾¹ ¿ ®¡« ±²¼ U, ¨ ¯³±²¼ (t) = x(t); y(t) | ª®®°¤¨­ ²­®¥¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¤«¿ (§¤¥±¼ (x; y) | ±² ­¤ °²­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ­ ¯«®±ª®±²¨).

®«¥¥ ²®£®, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¯°¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¯® ª°¨¢®© ®¡« ±²¼ U®±² ¥²±¿ ±«¥¢ , ².¥. ®°¨¥­² ¶¨¿ ª°¨¢®© ² ª®¢ , ·²® °¥¯¥° (N; _ ) ¨¬¥¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ®°¨¥­² ¶¨¾ (¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ±² ­¤ °²­®© ®°¨¥­² ¶¨¨ ¯«®±ª®±²¨). ‡¤¥±¼ N | ¯®«¥ ¢­¥¸­¨µ ­®°¬ «¥© ª ®¡« ±²¨ U ¢¤®«¼ ¥¥ £° ­¨¶»,².¥. ¢¤®«¼ ª°¨¢®© , _ | ¢¥ª²®° ±ª®°®±²¨ ª°¨¢®© .³±²¼ P (x; y) ¨ Q(x; y) | £« ¤ª¨¥ ´³­ª¶¨¨, ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­ § ¬»ª ­¨¨®¡« ±²¨ U. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ X = (P; Q) ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥.’®£¤ ®¯°¥¤¥«¥­ ¨­²¥£° «ZP(x; y) dx + Q(x; y) dy ==Zbha;;iP x(t); y(t) x(t)_ + Q x(t); y(t) y(t)_ dt =­ §»¢ ¥¬»© ¶¨°ª³«¿¶¨¥© ¢¥ª²®°­®£®±ª ¿ ´®°¬³« ƒ°¨­ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²®Z¯®«¿¢¤®«¼ ª°¨¢®©Z bXZbahX; _ i dt;.

Š« ±±¨·¥-; @PhX; _ i dt = @Q@y@x dxdy:aU®ª ¦¥¬, ·²® ½² ´®°¬³« ¿¢«¿¥²±¿ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ²¥®°¥¬» ‘²®ª± . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ®¡« ±²¼ U ª ª ¬­®£®®¡° §¨¥ ± ª° ¥¬, ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¥ ± ¯®¬®¹¼¾ ±² ­¤ °²­®© ®°¨¥­² ¶¨¨ ¯«®±ª®±²¨: ¢ ª ¦¤®¬ ª ± ²¥«¼­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ § ¤ ­ ±² ­¤ °²­ ¿ ®°¨¥­² ¶¨¿. ’®£¤ | ½²®ª° © @U ¬­®£®®¡° §¨¿ U. Š ­®­¨·¥±ª ¿ ®°¨¥­² ¶¨¿ ª° ¿ | ½²® ¢»¡®°²®£® ¨§ ¤¢³µ ­ ¯° ¢«¥­¨© ª ± ²¥«¼­»µ ª ¢¥ª²®°®¢ v, ¯°¨ ª®²®°®¬ (N; v)| ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®°¨¥­²¨°®¢ ­­»© °¥¯¥° ­ ¯«®±ª®±²¨, £¤¥ N | ¢­¥¸­¿¿­®°¬ «¼ ª U. Ž¤­ ª® ½² ®°¨¥­² ¶¨¿ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ®°¨¥­² ¶¨¨ ª°¨¢®© ¢¥ª²®° ¬¨ ±ª®°®±²¥© ,_ ² ª ª ª ¯°¨ ®¡µ®¤¥ ª°¨¢®© (².¥. ¯°¨ ¨§¬¥­¥­¨¨¯ ° ¬¥²° t ®² a ¤® b) ®¡« ±²¼ U ®±² ¥²±¿ ±«¥¢ .³±²¼! = P(x; y) dx + Q(x; y) dy | ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­ ¿ 1-´®°¬ .

’®£¤ @Q@Pd! = @y ; @x dx ^ dy. ® ²¥®°¥¬¥ ‘²®ª± , ¨¬¥¥¬Z ½²® ¨ ¥±²¼ ´®°¬³« ƒ°¨­ .!=ZUd!;ˆ­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ´®°¬. ’¥®°¥¬ ‘²®ª± 31‡ ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 4X ¢¤®«¼ ª°¨¢®© ,(r; '; ): X = (er cos ; 2 cos '; '),‡ ¤ · 4.1 ‚»·¨±«¨²¼ ¶¨°ª³«¿¶¨¾ ¢¥ª²®°­®£® ¯®«¿§ ¤ ­­»µ ¢ ±´¥°¨·¥±ª¨µ ª®®°¤¨­ ² µ. = fr = 1; ' = 0; 0 g‡ ¤ · 4.2 ³±²¼f: M ! N| £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ £« ¤ª¨µ ¬­®£®®¡° §¨©.

„«¿ «¾¡®© ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®© -´®°¬»­ ®¯°¥¤¥«¨¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­³¾ -´®°¬³ ­ ¥¥ §­ ·¥­¨¿¬¨ ­ ¯°®¨§¢®«¼­®© ±®¢®ª³¯­®±²¨ ª ± ²¥«¼­»µ ¢¥ª²®°®¢ i ¨§ P:kf (!)kM T M!;Nf (!)(1 ; : : : ; k ) = ! df(1 ); : : : ; df(k ) ;£¤¥dff| ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ®²®¡° ¦¥­¨¿ .°®¢¥°¨²¼, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® £« ¤ª®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿£« ¤ª¨µ¬­®£®®¡° §¨© ¨ «¾¡»µ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ´®°¬¨¢»¯®«­¿¥²±¿:! f: M !Nd(f !) = f (d!); f (! ^ ) = (f !) ^ (f ):‡ ¤ · 4.3 ³±²¼ F : M [0; 1] ! N | £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥, ft (x) =F(x; t), ! | ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­ ¿ ´®°¬ ­ M , d! = 0.

„®ª § ²¼, ·²®f0 (!) ; f1 (!) = d ¤«¿ ¯®¤µ®¤¿¹¥© ´®°¬» ­ M .32‘«¥¤±²¢¨¿ ²¥®°¥¬» ‘²®ª± ‹¥ª¶¨¿ 5.‘«¥¤±²¢¨¿ ²¥®°¥¬» ‘²®ª±  ¯°®¸«®¬ § ­¿²¨¨ ¬» ®¯°¥¤¥«¨«¨ ¨­²¥£° « ®² ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®© ´®°¬»¨ ¤®ª § «¨ ®¡¹³¾ ´®°¬³«³ ‘²®ª± ¤«¿ £« ¤ª®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ ± £« ¤ª¨¬ª° ¥¬. ’ ª¦¥ ¡»«¨ ¢¢¥¤¥­» ¨­²¥£° «» ¯¥°¢®£® ¨ ¢²®°®£® °®¤ ¨ ¤®ª § ­ ´®°¬³« ƒ°¨­ , ¿¢«¿¾¹ ¿±¿ · ±²­»¬ ±«³· ¥¬ ®¡¹¥© ´®°¬³«» ‘²®ª± ,¯°¨¬¥­¥­­®© ª ¯«®±ª¨¬ ®¡« ±²¿¬.

°¨¢¥¤¥¬ ¥¹¥ ­¥ª®²®°»¥ ±«¥¤±²¢¨¿ ¨§²¥®°¥¬» ‘²®ª± , ¨¬¥­­®, ¯®«³·¨¬ ª« ±±¨·¥±ª¨¥ ´®°¬³«» ƒ ³±± {Ž±²°®£° ¤±ª®£®(¤«¿ ®¡« ±²¨ ¢ R3), ‘²®ª± (¤«¿ ¤¢³¬¥°­®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢ R3), ² ª¦¥ ´®°¬³«³ ¢»·¥²®¢.5.1 ”®°¬³« ƒ ³±± {Ž±²°®£° ¤±ª®£® ¯®¬­¨¬ ­³¦­»¥ ­ ¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ¨§¢¥±²­»¥ ¨§ ª³°± ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ­ «¨§ .³±²¼ xi | ±² ­¤ °²­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢ R3, X | ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ ­ ®¡« ±²¨ R3, X i | ª®®°¤¨­ ²» ¯®«¿ X. ’®£¤ ´³­ª¶¨¿div X =3X@X iii=1 @x­ §»¢ ¥²±¿ ¤¨¢¥°£¥­¶¨¥© ¯®«¿ X.„ «¥¥, ¯³±²¼ N | ¯®«¥ ¢­¥¸­¨µ ¥¤¨­¨·­»µ ­®°¬ «¥© ª £° ­¨¶¥ M = @®¡« ±²¨ . ‚ ª ¦¤®© ²®·ª¥ P 2 M ®°¨¥­²¨°³¥¬ ª ± ²¥«¼­³¾ ¯«®±ª®±²¼TP M ¡ §¨±®¬ e1 ; e2 ² ª, ·²®¡» ²°®©ª (N; e1 ; e2) ¡»« ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®°¨¥­²¨°®¢ ­ (¬» ¯°¥¤¯®« £ ¥¬, ·²® ¢ R3 ¨¬¥¥²±¿ ±² ­¤ °²­»© ¡ §¨±, § ¤ ¾¹¨© ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ®°¨¥­² ¶¨¾ ¯°®±²° ­±²¢ R3).

‚ ª ¦¤®© ²®·ª¥P 2 M ¢»·¨±«¨¬ ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢¥ª²®°®¢ X(P ) ¨ N(P). ®«³· ¥¬ £« ¤ª³¾ ´³­ª¶¨¾ hX; N i ­ M.  ¯®¢¥°µ­®±²¨ M ®¯°¥¤¥«¥­ ¨­¤³¶¨°®¢ ­­ ¿ ¬¥²°¨ª , ¯°¥¢° ¹ ¾¹ ¿ M ¢ °¨¬ ­®¢® ¬­®£®®¡° §¨¥. ®½²®¬³ ®¯°¥¤¥«¥­ ¨­²¥£° « ®² «¾¡®© ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨ ­ M (­ ¯®¬­¨¬, ·²® ¨­²¥£° « ®² ´³­ª¶¨¨ ¯® °¨¬ ­®¢³ ¬­®£®®¡° §¨¾ | ½²® ¨­²¥£° « ®² ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®© ´®°¬», ¯®«³·¥­­®© ³¬­®¦¥­¨¥¬ ´®°¬» ®¡º¥¬ ­ ½²³ ´³­ª¶¨¾).ˆ­²¥£° « ®² ´³­ª¶¨¨ hX; N i ¯® ¯®¢¥°µ­®±²¨ M ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®²®ª®¬ ¢¥ª²®°­®£® ¯®«¿ X ·¥°¥§ ¯®¢¥°µ­®±²¼ M.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.…±«¨ ui | «®ª «¼­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ­ M, ¢ ª®²®°»µ M § ¤ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© °¥£³«¿°­®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ r(u1; u2), ¯°¨·¥¬ ru ;N = jrru u ru j121233‘«¥¤±²¢¨¿ ²¥®°¥¬» ‘²®ª± ¨ (gij ) | ¬ ²°¨¶ ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®© ¬¥²°¨ª¨, g = det(gij ), ²® ¯®²®ª ¯®«¿X ·¥°¥§ M § ¤ ¥²±¿ ¨­²¥£° «®¬ZMhX; N i pg du1 ^ du2:’¥®°¥¬ 5.1 (”®°¬³« ƒ ³±± {Ž±²°®£° ¤±ª®£®) ®²®ª ¢¥ª²®°­®£®XM = @ ®¡« ±²¨ ° ¢¥­ ¨­²¥£° «³ ¯® ®¡« ±²¨ X .

‚ ª®®°¤¨­ ² µ :¯®«¿·¥°¥§ £° ­¨¶³®² ¤¨¢¥°£¥­¶¨¨ ¯®«¿ZMhX; N i pg du1 ^ du2 =Zdiv X dx1 ^ dx2 ^ dx3:®ª ¦¥¬, ·²® ²¥®°¥¬ Ž±²°®£° ¤±ª®£®{ƒ ³±± ¿¢«¿¥²±¿ · ±²­»¬ ±«³· ¥¬ ®¡¹¥© ´®°¬³«» ‘²®ª± . „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ¯®±²°®¨²¼ ² ª³¾ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­³¾ 2-´®°¬³ ! ­ , ·²® ¥¥ ®£° ­¨·¥­¨¥ ­ M ±®¢¯ ¤ ¥² (¢ª®®°¤¨­ ² µ u1, u2) ± hX; N i pg du1 ^ du2, ¥¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ « d! ¨¬¥¥² ¢¨¤div X dx1 ^ dx2 ^ dx3. ±±¬®²°¨¬ 1-´®°¬³ T ­ R3, ¯®«³·¥­­³¾ ¨§ ¯®«¿ X ®¯³±ª ­¨¥¬ ¨­¤¥ª±®¢. ’®£¤ ¢ ª ·¥±²¢¥ ´®°¬» ! ¬®¦­® ¢§¿²¼ T . °®¢¥°¨¬, ·²® ! |¨±ª®¬ ¿ 2-´®°¬ .³±²¼ X i | ª®®°¤¨­ ²» ¯®«¿ X, ²®£¤ Ti = X i , ¨!=Xi<j!ij dxi ^ dxj = X 1 dx2 ^ dx3 + X 2 dx3 ^ dx1 + X 3 dx1 ^ dx2;¯®½²®¬³@X i dx1 ^ dx2 ^ dx3 = div X dx1 ^ dx2 ^ dx3:ii @x ¬ ®±² «®±¼ ¤®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.d! =X“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 5.1 ³±²¼T1! = T:| ½²® -´®°¬ ­ , ¯®«³· ¾¹ ¿±¿ ¨§ ¯®«¿®¯³±ª ­¨¥¬ ¨­¤¥ª±®¢, .

’®£¤ ®£° ­¨·¥­¨¥M ´®°¬» ­ ¯®¢¥°µ­®±²¼§ ¤ ¥²±¿ ² ªXM„®ª § ²¥«¼±²¢®.!j!jM = hX; N ipg du1 ^ du2@xki duk , ²®’ ª ª ª dxi = @u@xi @xj duk ^ dul = @xi @xj ; @xi @xj du1 ^ du2:dxi ^ dxj = @uk @ul@u1 @u2 @u2 @u1®«®¦¨¬@xi @xj ; @xi @xj :Aij = @u1 @u2 @u2 @u1!34‘«¥¤±²¢¨¿ ²¥®°¥¬» ‘²®ª± ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,!jM = (X 1 A23 + X 2 A31 + X 3 A12) du1 ^ du2:„ «¥¥, ij k @x@x @x = (A23 ; A31; A12):ru ru = @u @u@u 121231112@x32@u@x@u2@x@u21 ¯®¬­¨¬, ·²® (g(ij)) | ½²® ¬ ²°¨¶ ƒ° ¬ ±¨±²¥¬» ¢¥ª²®°®¢ ru , ru .‹¥¬¬ 5.1 ³±²¼ a ¨ b | ¤¢ ¢¥ª²®° ¢ Rn, G | ¨µ ¬ ²°¨¶ ƒ° ¬ ,¨ g = det G. ’®£¤ ¯«®¹ ¤¼ S ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ , ­ ²¿­³²®£® ­ (a; b),p° ¢­ g.„®ª § ²¥«¼±²¢®. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ ' | ³£®« ¬¥¦¤³ a ¨ b. ’®£¤ det G = a2b2 ; ha; bi2 = a2b2 ; a2b2 cos2 ' = a2 b2 sin2 ' = S 2 ;·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.ˆ§ «¥¬¬» 5.1 ¢»²¥ª ¥², ·²® jru ru j = pg, ¯®½²®¬³ ru ru = pg N.‚ ¨²®£¥ ¯®«³· ¥¬!jM = hX; ru ru i du1 ^ du2 = hX; N i pg du1 ^ du2;·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.111122225.2 ”®°¬³« ‘²®ª± ¤«¿ ¯®¢¥°µ­®±²¥© ¢ R3³±²¼ 0 R2 | ­¥ª®²®° ¿ ®¡« ±²¼, ¨ 0 | § ¬ª­³² ¿ ª®¬¯ ª²­ ¿®¡« ±²¼ ± £« ¤ª®© £° ­¨¶¥© @, ±®±²®¿¹¥© ¨§ ª®­¥·­®£® ·¨±« °¥£³«¿°­»µ ª°¨¢»µ.

³±²¼ u1 , u2 | ±² ­¤ °²­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢ R2 0 ,¨ r: 0 ! R3 | °¥£³«¿°­ ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼. Ž£° ­¨·¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ r ­ ­ §»¢ ¥²±¿ °¥£³«¿°­®© ¯®¢¥°µ­®±²¼¾ ± ª° ¥¬ r: @ ! R3, ®¡« ±²¼ | ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© ®¡« ±²¼¾ ¯®¢¥°µ­®±²¨. …±«¨ r ¿¢«¿¥²±¿ ¢«®¦¥­¨¥¬,²® ¬®¦­® ®²®¦¤¥±²¢¨²¼ ² ª³¾ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ± ¥¥ ®¡° §®¬ ¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼¯®¢¥°µ­®±²¼ ª ª ¯®¤¬­®£®®¡° §¨¥ ± ª° ¥¬, «¥¦ ¹¥¥ ¢ R3. ‚ ¤ «¼­¥©¸¥¬,¤«¿ ¯°®±²®²», ¬» ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® r | ¢«®¦¥­¨¥.ˆ² ª, ¯³±²¼ M | °¥£³«¿°­ ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ¢ R3 ± ª° ¥¬ @M, § ¤ ­­ ¿¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ¢ ¢¨¤¥;r(u1 ; u2) = x1(u1 ; u2); x2(u1; u2); x3(u1; u2) ;£¤¥ (x1 ; x2; x3) | ±² ­¤ °²­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢ R3, (u1; u2) | ª®®°¤¨­ ²»­ ¯®¢¥°µ­®±²¨ M (²®·­¥¥ £®¢®°¿, ¢ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© ®¡« ±²¨ R2 ½²®©¯®¢¥°µ­®±²¨).35‘«¥¤±²¢¨¿ ²¥®°¥¬» ‘²®ª± Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ N ª ­®­¨·¥±ª®¥ ¯®«¥ ¥¤¨­¨·­»µ ­®°¬ «¥© ª ¯®¢¥°µ­®M, ¯®«³·¥­­®¥ ² ª: ru ;N = jrru r j±²¨12u1u2³±²¼ gij = hrui ; ruj i | ª®¬¯®­¥­²» ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®© ­ M ¬¥²°¨ª¨, g |®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ¬ ²°¨¶» (gij ). ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ X ¢ R3.

 ¯®¬­¨¬, ·²® °®²®°®¬ rot X ¯®«¿ X ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ ­ R3, ¨¬¥¾¹¥¥ ¢ ±² ­¤ °²­»µ ª®®°¤¨­ ² µ x1, x2, x3 ±«¥¤³¾¹¨© ¢¨¤i j k @X 2 @X 3 @X 3 @X 1 @X 1 @X 2 rot X = @x@ @x@ @x@ = @x3 ; @x2 ; @x1 ; @x3 ; @x2 ; @x1 : X1 X2 X3 123’ ª ¦¥, ª ª ¨ ¢»¸¥, ¯®²®ª ¢¥ª²®°­®£® ¯®«¿ rot XM ° ¢¥­ ¨­²¥£° «³ ®² ´³­ª¶¨¨ hrot X; N i ¯® M:ZMhrot X; N i =ZM·¥°¥§ ¯®¢¥°µ­®±²¼hrot X; N ipg du1 ^ du2:„ «¥¥, ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ i °¥£³«¿°­»¥ § ¬ª­³²»¥ ª°¨¢»¥ ¢ R3 (®¤­®¬¥°­»¥ ¯®¤¬­®£®®¡° §¨¿), ¿¢«¿¾¹¨¥±¿ ±¢¿§­»¬¨ ª®¬¯®­¥­² ¬¨ ª° ¿ @M.‚ ª ± ²¥«¼­®© ¯«®±ª®±²¨ TP M ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ P 2 i ¢»¡¥°¥¬ ¥¤¨­¨·­»© ¢¥ª²®° n, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»© i ¨ ­ ¯° ¢«¥­­»© ­ °³¦³ ¯®¢¥°µ­®±²¨M.

Характеристики

Список файлов лекций