А.А. Тужилин - Лекции по классической дифференциальной геометрии (второй семестр) (1124098), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

ƒ®¢®°¿², ·²® ¤¥´®°¬ ¶¨¿ fs­¥¯®¤¢¨¦­ ­ ª° ¥, ¥±«¨ ²®·ª¨ ¨§ @ ®±² ¾²±¿ ­¥¯®¤¢¨¦­»¬¨.³±²¼ ²¥¯¥°¼ « £° ­¦¨ ­ L £« ¤®ª ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ®¡° § ¯®¤­¿²¨¿ f.~’®£¤ f ­ §»¢ ¥²±¿ ½ª±²°¥¬ «¼¾ ´³­ª¶¨®­ « L , ¥±«¨dL (fs ) = 0ds s=0¤«¿ «¾¡®© ¤¥´®°¬ ¶¨¨ fs ®²®¡° ¦¥­¨¿ f, ­¥¯®¤¢¨¦­®© ­ ª° ¥. Œ­®£®¬¥°­ ¿ ¢ °¨ ¶¨®­­ ¿ § ¤ · | ½²® § ¤ · ® ¯®¨±ª¥ ½ª±²°¥¬ «¥© ¬­®£®¬¥°­®£®¢ °¨ ¶¨®­­®£® ´³­ª¶¨®­ « .‘«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ­ «®£¨·­® ²¥®°¥¬¥ 12.1 (¯°®¢¥°¼²¥).f¿¢«¿¥²±¿ ½ª±²°¥¬ «¼¾ ´³­ª¶¨®­ « L ,¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ¢¤®«¼¢»¯®«­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ±¨±²¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨© ©«¥° {‹ £° ­¦ :’¥®°¥¬ 12.7 Ž²®¡° ¦¥­¨¥fmXd @L ; @L = 0; i = 1; : : : ; n:i@xi=1 du @y³±²¼ ®¡« ±²¼ «¥¦¨² ­ ¯«®±ª®±²¨ R2 ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ u1; u2,¨ f : ! R3 | ¯®£°³¦¥­¨¥.

³±²¼ x1 ; x2; x3 | ±² ­¤ °²­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢R3, ¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ f § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ½²¨µ ª®®°¤¨­ ² µ ²°¥¬¿ ´³­ª¶¨¿¬¨xi(u1 ; u2). Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ x(u1; u2) ° ¤¨³±-¢¥ª²®° ²®·ª¨ ¯®¢¥°µ­®±²¨ f± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ u1; u2. ’®£¤ ¨­¤³¶¨°®¢ ­­ ¿ ¬¥²°¨ª ¨¬¥¥² ¢¨¤ gij =hxui ; xuj i. Ž¯°¥¤¥«¨¬ ´³­ª¶¨®­ « (f) ² ª:Z1(f) = 2 (g11 + g22) du1du2:²®² ´³­ª¶¨®­ « ­ §»¢ ¥²±¿ ´³­ª¶¨®­ «®¬ ½­¥°£¨¨ ¨«¨ ´³­ª¶¨®­ «®¬„¨°¨µ«¥.  ©¤¥¬ ¥£® ½ª±²°¥¬ «¨. „«¿ ½²®£® § ¯¨¸¥¬ ³° ¢­¥­¨¿ ©«¥° {‹ £° ­¦ .

ˆ¬¥¥¬xiu u + xiu u = 0; i = 1; 2; 3:’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ª®®°¤¨­ ²» ° ¤¨³±-¢¥ª²®° ½ª±²°¥¬ «¨ ´³­ª¶¨®­ « „¨°¨µ«¥ ¿¢«¿¾²±¿ £ °¬®­¨·¥±ª¨¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨.  ¯®¬­¨¬, ·²® ² ª¨¥ ° ¤¨³±¢¥ª²®°» (¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨) ¿¢«¿¾²±¿ £ °¬®­¨·¥±ª¨¬¨. ˆ² ª,¬» ¤®ª § «¨ ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ².°¨¬¥°.112 2°¥¤«®¦¥­¨¥ 12.1 ª±²°¥¬ «¨ ´³­ª¶¨®­ « „¨°¨µ«¥ | £ °¬®­¨·¥±ª¨¥¯®¢¥°µ­®±²¨.«¥¬¥­²» ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿103‚ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ¯°¨¬¥°¥ § ¬¥­¨¬ ´³­ª¶¨®­ « „¨°¨µ«¥ ­ ´³­ª¶¨®­ « ¯«®¹ ¤¨:Z q2 du1du2:g11g22 ; g12(f) = 21Žª §»¢ ¥²±¿, ½ª±²°¥¬ «¨ ½²®£® ´³­ª¶¨®­ « | ½²® ¬¨­¨¬ «¼­»¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨, ².¥. ¯®¢¥°µ­®±²¨ ­³«¥¢®© ±°¥¤­¥© ª°¨¢¨§­» (¤®ª ¦¨²¥).°¨¬¥°.«¥¬¥­²» ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿104‡ ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 12‡ ¤ · 12.1 „®ª ¦¨²¥, ·²® ½ª±²°¥¬ «¼­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ¬­®£®¬¥°­®¬³ ¢ °¨ ¶¨®­­®¬³ ´³­ª¶¨®­ «³ ° ¢­®±¨«¼­ ¢»¯®«­¥­¨¾ ±¨±²¥¬» ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨© ©«¥° {‹ £° ­¦ .

R2, f : ! R3 | ¯®£°³¦¥­¨¥, ¨ vol2 ®¡®§­ · ¥²´³­ª¶¨®­ « ¯«®¹ ¤¨. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ¤¥´®°¬ ¶¨¨ fs ®²®¡° ¦¥­¨¿ f , ­¥¯®¤¢¨¦­®© ­ £° ­¨¶¥ @, ¢»¯®«­¿¥²±¿d vol2 (fs ) = ; Z h; H i;ds s=0£¤¥ | ¯®«¥ ¢ °¨ ¶¨¨ fs , H | ¢¥ª²®° ±°¥¤­¨© ª°¨¢¨§­» ¯®¢¥°µ­®±²¨f , ².¥. ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ±°¥¤­¥© ª°¨¢¨§­» ­ ¥¤¨­¨·­³¾ ­®°¬ «¼.‡ ¤ · 12.2 ³±²¼.

Характеристики

Список файлов лекций