А.А. Тужилин - Лекции по классической дифференциальной геометрии (второй семестр) (1124098), страница 17

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Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ V ®¡« ±²¼ U n [iBi , ¨®¯°¥¤¥«¨¬ ­ V ®²®¡° ¦¥­¨¥ N, ¯®«®¦¨¢ N(P) = X(P)=jX(P )j. ±±¬®²°¨¬ ­ S 1 ´®°¬³ ¤«¨­» d. ’ ª ª ª ´®°¬ d § ¬ª­³² , ²®1-´®°¬ N d ­ V ² ª¦¥ § ¬ª­³² , ¯®½²®¬³ ¯® ´®°¬³«¥ ‘²®ª± „®ª § ²¥«¼±²¢®.Z@UXN d =iZ@BiN d;£¤¥ ª°¨¢»¥ @U ¨ @Bi ®°¨¥­²¨°®¢ ­» ¢ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨. ‘¤°³£®© ±²®°®­»,ZZ®²ª³¤ @U@BiN d = 2 deg N j@U = 2 ind X;N d = 2 deg N j@Bi = 2 indPi X;ind X =XiindPi X;·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.°¨¢¥¤¥¬ ¥¹¥ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢ ¯°¨«®¦¥­¨¿ ±²¥¯¥­¨ ®²®¡° ¦¥­¨¿.‘«¥¤±²¢¨¥ 11.3 (’¥®°¥¬ ° ³½° ® ­¥¯®¤¢¨¦­®© ²®·ª¥) ‚±¿ª®¥ £« ¤-D2 ­ ±¥¡¿ ¨¬¥¥² ­¥¯®¤¢¨¦­³¾ ²®·ª³.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

°¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢­®¥, ².¥. ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' : D2 ! D2 , ³ ª®²®°®£® ­¥² ­¥¯®¤¢¨¦­»µ ²®·¥ª. ’®£¤ ­ D2 ¨¬¥¥²±¿ ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ X ¡¥§ ®±®¡»µ ²®·¥ª, ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ ² ª: X(P ) ='(P ) ; P. ˆ­¤¥ª± ¯®«¿ X ° ¢¥­ ­³«¾, ² ª ª ª ³ X ­¥² ®±®¡»µ ²®·¥ª.‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¯®«¥ X, ®£° ­¨·¥­­®¥ ­ S 1 = @D2 , ­¨£¤¥ ­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­³«¼ ¨ ­ ¯° ¢«¥­® ¢­³²°¼ ¤¨±ª D2 , ¯®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² £®¬®²®¯¨¿,¯¥°¥¢®¤¿¹ ¿ ¯®«¥ X jS ¢ ¯®«¥ ¢­³²°¥­­¨µ ¥¤¨­¨·­»µ ­®°¬ «¥© ª ®ª°³¦­®±²¨ S 1 .

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨­¤¥ª± ¯®«¿ X ±®¢¯ ¤ ¥² ±® ±²¥¯¥­¼¾ ®²®¡° ¦¥­¨¿®ª°³¦­®±²¨ S 1 ­ ±¥¡¿, ±² ¢¿¹¥£® ª ¦¤®© ²®·ª¥ ¨§ S 1 ¤¨ ¬¥²° «¼­® ¯°®²¨¢®¯®«®¦­³¾ ²®·ª³. ® ³ ¯®±«¥¤­¥£® ®²®¡° ¦¥­¨¿ ±²¥¯¥­¼ ° ¢­ 1. ²®¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¨ § ª ­·¨¢ ¥² ¤®ª § ²¥«¼±²¢®.³±²¼ M R3 | ®°¨¥­²¨°³¥¬ ¿ ¤¢³¬¥°­ ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ¢ R3, ¨ ¯³±²¼N | ¯®«¥ ¥¤¨­¨·­»µ ­®°¬ «¥© ª ¯®¢¥°µ­®±²¨ M.

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’®£¤ K d = 4;94‘²¥¯¥­¼ £« ¤ª®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿³±²¼ N : M ! S 2 | £ ³±±®¢® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨ M. Š ª ¨ ¢»¸¥, ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ K £ ³±±®¢³ ª°¨¢¨§­³ ¤«¿ M, ·¥°¥§d ¨ | ´®°¬» ¯«®¹ ¤¨ ­ M ¨ S 2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ’®£¤ „®ª § ²¥«¼±²¢®.ZMK d =ZMN = (deg N)®«®¦¨¢ = deg N, ¯®«³·¨¬ ²°¥¡³¥¬®¥.ZS2 = 4 deg N:‘²¥¯¥­¼ £« ¤ª®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿95‡ ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 11f : S2 ! S2, S2 = C [kf : z 7! z , k 2 Z, £¤¥ z = u+iv | ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿‡ ¤ · 11.1 ‚»·¨±«¨²¼ ±²¥¯¥­¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿f1g, § ¤ ­­®£® ² ª:ª®¬¯«¥ª±­ ¿ ª®®°¤¨­ ² .S 2n ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ­¥¢»°®¦¤¥­­®£® ª ± ²¥«¼­®£® ¢¥ª²®°­®£® ¯®«¿ v(x), ².¥.

² ª®£® ª ± ²¥«¼­®£® ¯®«¿v(x), ·²® v(x) 6= 0 ­¨ ¯°¨ ª ª®¬ x 2 S 2n .‡ ¤ · 11.2 „®ª § ²¼, ·²® ­ ±´¥°¥f : S 2n ! S 2n | £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿. „®ª § ²¼,·²® ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª x 2 S 2n , ·²® ¨«¨ f(x) = x, ¨«¨ f(x) = ;x.‡ ¤ · 11.3 ³±²¼f : S n ! S n ° ¢­ 2k + 1. „®ª § ²¼, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ²®·ª x 2 S n , ¤«¿ ª®²®°®© f(x) = ;f(;x).‡ ¤ · 11.4 ³±²¼ ±²¥¯¥­¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿S 2p;1 ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ·¥²­®£® ª ± ²¥«¼­®£® ¯®«¿ v(x) ¡¥§ ®±®¡¥­­®±²¥© (².¥. ¯®«¿ v(x), ² ª®£® ·²® v(x) =v(;x) ¨ v(x) 6= 0 ­¨ ¯°¨ ª ª®¬ x 2 S 2p;1 ).‡ ¤ · 11.5 „®ª § ²¼, ·²® ­ ±´¥°¥‡ ¤ · 11.6 „®ª § ²¼, ·²® ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ ¢ Rn, ­¨£¤¥ ­¥ ª ± ¾¹¥¥±¿±´¥°» n;1 , ®¡« ¤ ¥² µ®²¿ ¡» ®¤­®© ®±®¡®© ²®·ª®© ¢­³²°¨ ¸ ° , ®£° ­¨·¥­­®£® ½²®© ±´¥°®©.S96«¥¬¥­²» ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿‹¥ª¶¨¿ 12.«¥¬¥­²» ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤»¤³¹¨µ § ­¿²¨¿µ ¬» ®¯°¥¤¥«¨«¨ £¥®¤¥§¨·¥±ª¨¥ ª ª ª°¨¢»¥ ± ¯ ° ««¥«¼­»¬ ¯®«¥¬ ±ª®°®±²¥©.

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