А.А. Тужилин - Лекции по классической дифференциальной геометрии (второй семестр) (1124098), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

ƒ« ¤ª ¿ £®¬®²®¯¨¿ s ®²®¡° ¦¥­¨¿ : [a; b] ! M ­ §»¢ ¥²±¿£« ¤ª®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥© ¨«¨ ¢ °¨ ¶¨¥© ª°¨¢®© . ƒ®¢®°¿², ²® ¤¥´®°¬ ¶¨¿ s­¥¯®¤¢¨¦­ ­ ª®­¶ µ, ¥±«¨ s (a) = 0 (a) ¨ s (b) = 0 (b) ¤«¿ «¾¡®£® s 2[0; 1]. ®«¥¬ ¤¥´®°¬ ¶¨¨ ¨«¨ ¯®«¥¬ ¢ °¨ ¶¨¨ (t) ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«¥ ¢¤®«¼ª°¨¢®© (t), ®¯°¥¤¥«¿¾¹¥¥±¿ ¯® ¤¥´®°¬ ¶¨¨ s (t) ² ª: (t) = ds(t)=dss=0 .…±«¨ ¤¥´®°¬ ¶¨¿ ­¥¯®¤¢¨¦­ ­ ª®­¶ µ, ²® (a) = (b) = 0.³±²¼ | ­¥ª®²®° ¿ £« ¤ª ¿ ª°¨¢ ¿. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® « £° ­¦¨ ­L ¿¢«¿¥²±¿ £« ¤ª®© ´³­ª¶¨¥© ¢ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ ¯®¤­¿²¨¿ ~ ª°¨¢®©.

’®£¤ ¤«¿ «¾¡®© ¤®±² ²®·­® ¬ «®© ¤¥´®°¬ ¶¨¨ s ª°¨¢®© , ².¥. ² ª®©¤¥´®°¬ ¶¨¨, ·²® ¢±¥ ~s «¥¦ ² ¢ ®¡« ±²¨ £« ¤ª®±²¨ ´³­ª¶¨¨ L, ®¯°¥¤¥«¥­ £« ¤ª ¿ ´³­ª¶¨¿ L (s ) ¯ ° ¬¥²° s. Š°¨¢ ¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ½ª±²°¥¬ «¼¾´³­ª¶¨®­ « L, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ¤®±² ²®·­® ¬ «®© ¤¥´®°¬ ¶¨¨ s ½²®©ª°¨¢®©, ­¥¯®¤¢¨¦­®© ­ ª®­¶ µ, ¢»¯®«­¿¥²±¿d(s ) = 0:ds s=0‡ ¤ · ® ¯®¨±ª¥ ½ª±²°¥¬ «¥© ®¤­®¬¥°­®£® ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ´³­ª¶¨®­ « ­ §»¢ ¥²±¿ ª« ±±¨·¥±ª®© ¢ °¨ ¶¨®­­®© § ¤ ·¥©.¿¢«¿¥²±¿ ½ª±²°¥¬ «¼¾ ´³­ª¶¨®­ « L , ¥±«¨ ¨²®«¼ª® ¥±«¨ ¢¤®«¼¢»¯®«­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ±¨±²¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ³° ¢­¥­¨© ©«¥° {‹ £° ­¦ :’¥®°¥¬ 12.1 Š°¨¢ ¿„®ª § ²¥«¼±²¢®.@Ld @Ldt @ x_ i ; @xi = 0; i = 1; : : : ; n:‚»·¨±«¨¬ ¯°®¨§¢®¤­³¾ ¯® s ´³­ª¶¨¨ L (s ) ¢ ­ · «¼-«¥¬¥­²» ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿98­»© ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨. ˆ¬¥¥¬d Z b L;x (t); x_ (t); t dt = Z b d L;x (t); x_ (t); t dtssssds aa dsZ bi @L dx_ i @Ldxs+s dt=a @xi ds @ x_ i dsZ b@L dxis + d @L dxis ; d @L dxis dt=dt @ x_ i dsa @xi ds dt @ x_ i dsZ b@L ; d @L (t) dt + @L (t)b=@ x_ i aa @xi dt @ x_ iZ bd@L@L;(t) dt:=a @xi dt @ x_ i‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ ¤¥´®°¬ ¶¨¨ s , ¯®«¥ (t) ² ª¦¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¢»¡° ­® «¾¡»¬, § ­³«¿¾¹¨¬±¿ ­ ª®­¶ µ ®²°¥§ª [a; b], ¯®½²®¬³ ³±«®¢¨¥ ½ª±²°¥¬ «¼­®±²¨ ª°¨¢®© ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²®d@L@Li (t) = @xi ; dt @ x_ i = 0; i = 1; : : : ; n¢¤®«¼ ª°¨¢®© (¨­ ·¥, ¥±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤­® ¨§ ½²¨µ ³° ¢­¥­¨© ­¥ ° ¢­® ­³«¾¯°¨ ;­¥ª®²®°®¬ t = t0, ²® ¢ ª ·¥±²¢¥ (t) ¬®¦­® ¢§¿²¼ ¯®«¥ f(t)(t) =f(t) 1(t); : : : ; n(t) , £¤¥ f(t) | £« ¤ª ¿ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ° ¢­ ¿ 1 ¢ ²®·ª¥ t = t0 , ¨ ° ¢­ ¿ ­³«¾ ¢ ²®·ª µ a ¨ b: ¤«¿ ¤¥´®°¬ ¶¨¨ ±² ª¨¬ ¯®«¥¬ (t) ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ´³­ª¶¨¨ L (s ) ®²«¨·­ ®² ­³«¿ ¯°¨ s = 0).„®ª § ²¥«¼±²¢® § ª®­·¥­®.°¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥°».

³±²¼ gij | °¨¬ ­®¢ ¬¥²°¨ª , ¨L(x1; ; xn; x_ 1; ; x_ n; t) = 12 gij x_ ix_ j| « £° ­¦¨ ­, § ¤ ¾¹¨© ´³­ª¶¨®­ « ½­¥°£¨¨. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ´³­ª¶¨¿ L£« ¤ª ¿ ¢¥§¤¥.  ©¤¥¬ ½ª±²°¥¬ «¨ ½²®£® ´³­ª¶¨®­ « .  ¯¨¸¥¬ ±¨±²¥¬³³° ¢­¥­¨© ©«¥° {‹ £° ­¦ . ˆ¬¥¥¬:d @L ; @L = d ;g x_ j ; 1 @gij x_ i x_ jdt @ x_ @x dt j2 @xj x_ i x_ j ; 1 @gij x_ ix_ j= gj xj + @g@xi2 @xj @gi @gij i j= gj xj + 21 @g@xi + @xj ; @x x_ x_ = 0; = 1; : : : ; n:‘¢®° ·¨¢ ¿ ½²³ ±¨±²¥¬³ ± gk, ¯®«³· ¥¬1@g@g@gjiijkki jkk i jx + 2 g@xi + @xj ; @x x_ x_ = x + ;ij x_ x_ = 0; k = 1; : : : ; n;99«¥¬¥­²» ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ½²® | ±¨±²¥¬ ³° ¢­¥­¨©, § ¤ ¾¹ ¿ £¥®¤¥§¨·¥±ª¨¥.

ˆ² ª, ¬» ¤®ª § «¨±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³.’¥®°¥¬ 12.2 Š°¨¢ ¿ ­ °¨¬ ­®¢®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ £¥®¤¥§¨·¥±ª®© ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ®­ | ½ª±²°¥¬ «¼ ´³­ª¶¨®­ « ½­¥°£¨¨.p³±²¼ ²¥¯¥°¼ L(x1 ; ; xn; x_ 1; ; x_ n; t) = gij x_ i x_ j | « £° ­¦¨ ­ ´³­ª¶¨®­ « ¤«¨­». Ž²¬¥²¨¬, ·²® ´³­ª¶¨¿ L £« ¤ª ¿ ¢¥§¤¥, £¤¥ (x_ 1; ; x_ n) 6=0. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, « £° ­¦¨ ­ L ¿¢«¿¥²±¿ £« ¤ª®© ´³­ª¶¨¥© ¢ ­¥ª®²®°®©®ª°¥±²­®±²¨ ¯®¤­¿²¨¿ ª°¨¢®© , ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ | °¥£³«¿°­ ¿ ª°¨¢ ¿. ©¤¥¬ ³±«®¢¨¥ ½ª±²°¥¬ «¼­®±²¨ °¥£³«¿°­®© ª°¨¢®© . ‡ ¯¨¸¥¬ ³° ¢­¥­¨¿ ©«¥° {‹ £° ­¦ .

ˆ¬¥¥¬:!@gij x_ ix_ jd @L ; @L = d pgj x_ j ; p@x= 0; = 1; : : : ; n:ijdt @ x_ @x dtgij x_ x_2 gij x_ i x_ j…±«¨ ª°¨¢ ¿ ¯ ° ¬¥²°¨§®¢ ­ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­® ­ ²³° «¼­®¬³ ¯ ° ¬¥²°³, ²® ³±«®¢¨¥ ½ª±²°¥¬ «¼­®±²¨ ° ¢­®±¨«¼­® ­ ¯¨± ­­®¬³ ¢»¸¥ ³±«®¢¨¾½ª±²°¥¬ «¼­®±²¨ ª°¨¢®© ¤«¿ ´³­ª¶¨®­ « ½­¥°£¨¨, ².¥. ³±«®¢¨¾ ²®£®, ·²®ª°¨¢ ¿ | £¥®¤¥§¨·¥±ª ¿. ˆ² ª, ¤®ª § ­ ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ .’¥®°¥¬ 12.3 ¥£³«¿°­ ¿ ª°¨¢ ¿ , ¯ ° ¬¥²°¨§®¢ ­­ ¿ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®­ ²³° «¼­®¬³ ¯ ° ¬¥²°³, ¿¢«¿¥²±¿ ½ª±²°¥¬ «¼¾ ´³­ª¶¨®­ « ¤«¨­», ¥±«¨¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ®­ | £¥®¤¥§¨·¥±ª ¿.‡ ¬¥²¨¬, ·²® ² ª ª ª ´³­ª¶¨®­ « ¤«¨­» ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨,²® ¬» ²¥¬ ± ¬»¬ ¯®«­®±²¼¾ ®¯¨± «¨ ¥£® ½ª±²°¥¬ «¨. € ¨¬¥­­®,‘«¥¤±²¢¨¥ 12.1 ¥£³«¿°­ ¿ ª°¨¢ ¿ (t) ¿¢«¿¥²±¿ ½ª±²°¥¬ «¼¾ ´³­ª¶¨®­ « ¤«¨­», ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ¯®±«¥ ¯¥°¥¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨; t(s) , ¯°¥¢° ¹ ¾¹¥© ¯ ° ¬¥²° t ¢ ­ ²³° «¼­»© ¯ ° ¬¥²° s, ª°¨¢ ¿ t(s) | £¥®¤¥-§¨·¥±ª ¿.°¨¢¥¤¥¬ ¥¹¥ ®¤¨­ ¯°¨¬¥°.

 ±±¬®²°¨¬ ¬¥µ ­¨·¥±ª³¾ ±¨±²¥¬³, ±®±²®¿¹³¾ ¨§ ¬ ²¥°¨ «¼­®© ²®·ª¨ ¬ ±±» m, ¤¢¨¦³¹¥©±¿ ¯®¤ ¤¥©±²¢¨¥¬ ¯®«¿ª®­±¥°¢ ²¨¢­»µ ±¨« f. ®±«¥¤­¥¥ ®§­ · ¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ´³­ª¶¨¿U(x), ­ §»¢ ¥¬ ¿ ¯®²¥­¶¨ «®¬, ·²® f = ; grad U. Š¨­¥²¨·¥±ª ¿ ½­¥°£¨¿ T§ ¤ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ m2x_ , ¯®«­ ¿ ½­¥°£¨¿ H ° ¢­ T +U. “° ¢­¥­¨¥ ¼¾²®­ ,®¯¨±»¢ ¾¹¥¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ½²®© ¬ ²¥°¨ «¼­®© ²®·ª¨, ¨¬¥¥² ¢¨¤ f = mx. °¨½²®¬ ¢»¯®«­¿¥²±¿ § ª®­ ±®µ° ­¥­¨¿ ½­¥°£¨¨: ¢¤®«¼ ²° ¥ª²®°¨¨ ¤¢¨¦¥­¨¿½­¥°£¨¿ H ¯®±²®¿­­ .Žª §»¢ ¥²±¿, ²° ¥ª²®°¨¨ ¤¢¨¦¥­¨¿ ¬ ²¥°¨ «¼­®© ²®·ª¨ ¢ ½²®© ±¨±²¥¬¥¬®¦­® ®¯¨±»¢ ²¼ ª ª ½ª±²°¥¬ «¨ ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ´³­ª¶¨®­ « L, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® « £° ­¦¨ ­³ L = T ; U.

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ³° ¢­¥­¨¿ ©«¥° {‹ £° ­¦ ¨¬¥¾² ¢¨¤:d _ + grad U = 0;dt (mx)2«¥¬¥­²» ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿100·²® ½ª¢¨¢ «¥­²­® ³° ¢­¥­¨¿¬ ¼¾²®­ . ‡¤¥±¼ f = ; grad U = @L=@x § ¤ ¥² ¯®«¥ ±¨«, mx_ = @L=@ x_ | ¨¬¯³«¼± ¬ ²¥°¨ «¼­®© ²®·ª¨. „ «¥¥,¯®«­³¾ ½­¥°£¨¾ H ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥H = T + U = mx_ 2 ; (T ; U) = @L@ x_ x_ ; L:®±«¥¤­¨¥ ±®®¡° ¦¥­¨¿ ¯°¨¢®¤¿² ª ±«¥¤³¾¹¥¬³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¾.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ L | ¯°®¨§¢®«¼­»© « £° ­¦¨ ­. ‚¥«¨·¨­ p = @L=@ x_­ §»¢ ¥²±¿ ¨¬¯³«¼±®¬, ¢¥«¨·¨­ H = @L@ x_ x_ ; L | ¯®«­®© ½­¥°£¨¥©.Žª §»¢ ¥²±¿, § ª®­ ±®µ° ­¥­¨¿ ½­¥°£¨¨ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ ±³¹¥±²¢¥­­® ¡®«¥¥ ®¡¹¥© ±¨²³ ¶¨¨.’¥®°¥¬ 12.4 (‡ ª®­ ±®µ° ­¥­¨¿ ½­¥°£¨¨) ³±²¼ L | ¯°®¨§¢®«¼­»©« £° ­¦¨ ­, ¿¢­® ­¥ § ¢¨±¿¹¨© ®² ¯ ° ¬¥²° t.

’®£¤ ¯®«­ ¿ ½­¥°£¨¿ H¯®±²®¿­­ ¢¤®«¼ ½ª±²°¥¬ «¥© ´³­ª¶¨®­ « L .„®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²®dH=dt = 0 ¢¤®«¼ ½ª±²°¥¬ «¥©. ‡ ¯¨¸¥¬ ¯®±«¥¤­¥¥ ³±«®¢¨¥. ˆ¬¥¥¬:dH = d @L x_ ; L = d @L x_ + @L x ; @L x_ ; @L xdt dt @ x_dt @ x_@ x_@x@ x_ d @L ; @L x_ = 0;= dt@ x_@x£¤¥ ¯®±«¥¤­¥¥ ° ¢¥­±²¢® ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ ±¨«³ ³° ¢­¥­¨© ©«¥° {‹ £° ­¦ .„®ª § ²¥«¼±²¢® § ª®­·¥­®.’¥®°¥¬ 12.5 (‡ ª®­ ±®µ° ­¥­¨¿ ¨¬¯³«¼± ) ³±²¼ « £° ­¦¨ ­ L ­¥§ ¢¨±¨² ¿¢­® ®² ¯¥°¥¬¥­­®© xi. ’®£¤ i- ¿ ª®¬¯®­¥­² pi ¨¬¯³«¼± p¯®±²®¿­­ ¢¤®«¼ ½ª±²°¥¬ «¥© ´³­ª¶¨®­ « L .„®ª § ²¥«¼±²¢®.

ˆ§ ³° ¢­¥­¨© ©«¥° {‹ £° ­¦ ¢»²¥ª ¥², ·²®d @L = 0;dt @ x_ i·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ±±¬®²°¨¬ ®¤­® ¨­²¥°¥±­®¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ±´®°¬³«¨°®¢ ­­»µ ²¥®°¥¬.³±²¼ M | ¤¢³¬¥°­ ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ¢ R3, ¯®«³·¥­­ ¿ ¢° ¹¥­¨¥¬ ¢®ª°³£®±¨ z ­¥ª®²®°®© ª°¨¢®©, «¥¦ ¹¥© ¢ ¯«®±ª®±²¨ xz ¨ ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¥© ®±¼ z. ¯®¬­¨¬, ·²® ª°¨¢»¥, ¯®«³·¥­­»¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥¬ ¯®¢¥°µ­®±²¨ M ± ¯«®±ª®±²¿¬¨, ¯°®µ®¤¿¹¨¬¨ ·¥°¥§ ®±¼ z, ­ §»¢ ¾²±¿ ¬¥°¨¤¨ ­ ¬¨, ± ¯«®±ª®±²¿¬¨, ¯ ° ««¥«¼­»¬¨ ¯«®±ª®±²¨ xy | ¯ ° ««¥«¿¬¨.

³±²¼ (t) | £¥®¤¥§¨·¥±ª ¿ ­ M, ¨ (t) | ³£®« ¬¥¦¤³ £¥®¤¥§¨·¥±ª®© ¢ ²®·ª¥ (t) ¨ ¯ ° ««¥«¼¾, ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ ½²³ ²®·ª³. ³±²¼ r(t) | ° ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨(t) ¤® ®±¨ z. ’®£¤ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ².101«¥¬¥­²» ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿’¥®°¥¬ 12.6 (Š«¥°®) ‚ ±¤¥« ­­»µ ¢»¸¥ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ, ¢¥«¨·¨­ r(t) cos (t)¯®±²®¿­­ ¢¤®«¼ £¥®¤¥§¨·¥±ª®© (t).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ­ ¯®¢¥°µ­®±²¨¢° ¹¥­¨¿ « £° ­¦¨ ­,p§ ¤ ¾¹¨© ´³­ª¶¨®­ « ¤«¨­», ¨¬¥¥² ¢¨¤ L = (1 + rz2(z))z_2 + r2 (z)'_ 2 , ².¥.L ¿¢­® ­¥ § ¢¨±¨² ®² ', ¯®½²®¬³ ¨¬¥¥² ¬¥±²® § ª®­ ±®µ° ­¥­¨¿ ¨¬¯³«¼± @L = r2 '_ = const , r2'_ = const;@ '_ L ½²® ° ¢­®±¨«¼­® ³²¢¥°¦¤¥­¨¾ ²¥®°¥¬» (¯°®¢¥°¼²¥).

„®ª § ²¥«¼±²¢® § ª®­·¥­®.‡ ¬¥· ­¨¥.  ± ¬®¬ ¤¥«¥, § ª®­» ±®µ° ­¥­¨¿ ½­¥°£¨¨ ¨ ¨¬¯³«¼± ¯®§¢®«¿¾² ¯®«­®±²¼¾ ¯°®¨­²¥£°¨°®¢ ²¼ ³° ¢­¥­¨¥ £¥®¤¥§¨·¥±ª¨µ ­ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢° ¹¥­¨¿ M R3 (±¤¥« ©²¥ ½²®).°¨¢¥¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ¯°¨¬¥° ¬­®£®¬¥°­®© ¢ °¨ ¶¨®­­®© § ¤ ·¨, ².¥. § ¬¥­¨¬ ª°¨¢³¾, ­ ª®²®°®© ¢»·¨±«¿«±¿ ¢ °¨ ¶¨®­­»© ´³­ª¶¨®­ «, ­ ­¥ª®²®°³¾ ¯®¢¥°µ­®±²¼, ¯°¥¤±² ¢«¿¾¹³¾ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ®£° ­¨·¥­­®© ®¡« ±²¨ Rm ¢ ¬­®£®®¡° §¨¥ M. „«¿ ¯°®±²®²» ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, £° ­¨¶ @ | ­¥±¢¿§­®¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ª®­¥·­®£® ·¨±« £« ¤ª¨µ ¬­®£®®¡° §¨© ° §¬¥°­®±²¨ m ; 1, ².¥.

| £« ¤ª®¥ ª®¬¯ ª²­®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ ± ª° ¥¬.‚ ª ·¥±²¢¥ ¯°®±²° ­±²¢ , ­ ª®²®°®¬ ¡³¤¥² § ¤ ­ « £° ­¦¨ ­, ° ±±¬®²°¨¬ ¤¥ª °²®¢® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ W = [P 2M T| P M {z TP M}m ° §­ Rm. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ­ W ±²°³ª²³° £« ¤ª®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ ¢¢®¤¨²±¿ ­ «®£¨·­® ²®¬³, ª ª ½²® ¡»«® ±¤¥« ­® ¤«¿ ª ± ²¥«¼­®£® ° ±±«®¥­¨¿ T M.‹ £° ­¦¨ ­®¬ L ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ­¥¯°¥°»¢­³¾ ´³­ª¶¨¾ ­ W Rm. …±«¨u | ±² ­¤ °²­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢ Rm , xi | «®ª «¼­»¥ ª®®°¤¨­ ²»­ M, ¯®°®¦¤ ¾¹¨¥ ª®®°¤¨­ ²» yi ­ -®¬ ½ª§¥¬¯«¿°¥ TP M, ²® ¢ ª®®°¤¨­ ² µ « £° ­¦¨ ­ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ² ª: L(x; y; u), £¤¥ x = (x1; : : : ; xn),y = (y1 ; : : : ; ym ), y = (y1 ; : : : ; yn), u = (u1 ; : : : ; um ).…±«¨ f : ! M | £« ¤ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥, ²® ¯®¤­¿²¨¥¬ f~ ­ §®¢¥¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¨§ ¢ W Rm, § ¤ ­­®¥ ² ª:~ = f(u); @f (u); u :f(u)@uŒ­®£®¬¥°­»¬ ¢ °¨ ¶¨®­­»¬ ´³­ª¶¨®­ «®¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ « £° ­¦¨ ­³·¨±«®L, ­ §®¢¥¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥, ª®²®°®¥ ª ¦¤®¬³ f ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥L(f) =Z;~ du:L f(u)«¥¬¥­²» ¢ °¨ ¶¨®­­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿102„¥´®°¬ ¶¨¥© ¨«¨ ¢ °¨ ¶¨¥© ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ £« ¤ª ¿ £®¬®²®¯¨¿ fs ½²®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿, ¯®«¥¬ ¢ °¨ ¶¨¨ | ¢¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ (u) ¢¤®«¼f, ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ ² ª: (u) = dfs =ds(u)js=0.

Характеристики

Список файлов лекций