А.А. Тужилин - Лекции по классической дифференциальной геометрии (второй семестр) (1124098), страница 15

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’®£¤ R = 2 Rg1212 :82’¥­§®° ª°¨¢¨§­»10.4 ‘ª «¿°­ ¿ ª°¨¢¨§­ ¤¢³¬¥°­®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢ R3 ±±¬®²°¨¬ ®±®¡® ±«³· © ¤¢³¬¥°­®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ M ¢ R3 ¨ ±¨¬¬¥²°¨·­®©±¢¿§­®±²¨ r, ±®£« ±®¢ ­­®© ± ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®© ¬¥²°¨ª®©. Žª §»¢ ¥²±¿,±³¹¥±²¢³¥² ¥±²¥±²¢¥­­ ¿ ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ±ª «¿°­®© ¨ £ ³±±®¢®© ª°¨¢¨§­ ¬¨.’¥®°¥¬ 10.2 ³±²¼ M | ¤¢³¬¥°­ ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ¢ R3, R | ±ª «¿°-­ ¿ ª°¨¢¨§­ °¨¬ ­®¢®© ±¢¿§­®±²¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®©¬¥²°¨ª¥, ¨| £ ³±±®¢ ª°¨¢¨§­ . ’®£¤ . ‚ · ±²­®±²¨, £ ³±±®¢ ª°¨¢¨§­ § ¢¨±¨² «¨¸¼ ®² ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®© ¬¥²°¨ª¨ ¨ ­¥ § ¢¨±¨² ®²ª®­ª°¥²­®£® ¢¨¤ ¯®£°³¦¥­¨¿ ¯®¢¥°µ­®±²¨: ¨§®¬¥²°¨·­»¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢³¾ £ ³±±®¢³ ª°¨¢¨§­³ ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ²®·ª µ ¤«¿±°¥¤­¥© ª°¨¢¨§­» ½²® ­¥ ² ª .KR = 2K()„®ª § ²¥«¼±²¢®.

³±²¼ P 2 M | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª . Œ» ¤®ª ¦¥¬, ·²®¢ ²®·ª¥ P ( , §­ ·¨², ¨ ¢® ¢±¥µ ²®·ª µ) ²¥®°¥¬ ¢¥°­ . „«¿ ½²®£® ¢»¡¥°¥¬¢ R3 ¥¢ª«¨¤®¢» ª®®°¤¨­ ²» (x; y; z) = (x1; x2; x3) ² ª, ·²®¡» P = (0; 0; 0) ¨ª®®°¤¨­ ²­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ z = 0 ±®¢¯ ¤ « ± ¯«®±ª®±²¼¾ TP M. ’®£¤ ¯®¢¥°µ­®±²¼ M ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ P ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ £° ´¨ª ´³­ª¶¨¨z = f(x; y), ¯°¨·¥¬ f(0; 0) = 0 ¨ fx (0; 0) = fy (0; 0) = 0.ˆ­¤³¶¨°®¢ ­­ ¿ ­ M ¬¥²°¨ª G = (gij ) ¨¬¥¥² ¢¨¤:2G = 1f+ffx 1f+x ffy2 ;x yy¯°¨·¥¬ ¢ ²®·ª¥ (0; 0) ¬ ²°¨¶ G ¥¤¨­¨·­ ¿. ‚»·¨±«¨¬ ±¨¬¢®«» Š°¨±²®´´¥«¿ ¨ ¨µ ¯°®¨§¢®¤­»¥ ¢ ²®·ª¥ (0; 0). ˆ¬¥¥¬j + @gk ; @gjk :;ijk = 21 gi @g@xk @xj @xijŠ ª ¬» ³¦¥ ¯®ª §»¢ «¨, ¢ ²®·ª¥ (0; 0) ¢±¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ @g@xk ° ¢­» ­³«¾,i¯®½²®¬³ ¢ ½²®© ²®·ª¥ ;jk = 0 ¨@;ijk 1 i @ 2 gj @ 2 gk @ 2 gjk 1 @ 2 gji @ 2 gik @ 2 gjk @xl = 2 @xk @xl + @xj @xl ; @x @xl = 2 @xk @xl + @xj @xl ; @xi @xl : ¯®¬­¨¬, ·²®iil ; @;k + ;i ; ; ;i ; ;Rikl = @;k ll kk@x@xl¯®½²®¬³ 22 gil2 gl2 gi2 gik2 gk @g@@@@@1iiRkl = 2 @xl @xk + @x @xk ; @xi @xk ; @xk @xl ; @x @xl + @xi @xl 22 gk2 gik2 gl 1@g@@@il= 2 @x @xk + @xi @xl ; @x @xl ; @xi @xk ;83’¥­§®° ª°¨¢¨§­»®²ª³¤ @ 2 gil + @ 2 gli ; @ 2 gii ; @ 2 gllR = l Riil = Rilil = 12 @xl @xi @xi @xl @xl @xl @xi @xi2@ 2 gii = 2 @ 2 g12 ; @ 2 g11 ; @ 2 g22 := @x@ ig@xil l ; @xl @xl@x1@x2 @x2@x2 @x1@x1‚»·¨±«¨¬ ²¥¯¥°¼ ¢²®°»¥ · ±²­»¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ ª®¬¯®­¥­² ¬¥²°¨ª¨ ¢²®·ª¥ (0; 0).

ˆ¬¥¥¬®²ª³¤ @ 2 g12 = (f f + f f ) = f f + f fxx yx yx yxx yyxy xy@x@y@ 2 g11 = (2f f ) = 2f fx xy yxy xy@y@y@ 2 g22 = (2f f ) = 2f f ;y xy xxy xy@x@xR = 2(fxx fyy + fxy fxy ) ; 2fxy fxy ; 2fxy fxy = 2(fxx fyy ; fxy fxy ): ¯®¬­¨¬, ·²® ¬ ²°¨¶ ¢²®°®© ´³­¤ ¬¥­² «¼­®© ´®°¬» ¢ ²®·ª¥ (0; 0)¨¬¥¥² ¢¨¤ffxxxyQ= f f;xyyy¨ £ ³±±®¢ ª°¨¢¨§­ K ° ¢­ det Q= det G = fxx fyy ; fxy fxy , ¯®½²®¬³ R =2K, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.84’¥­§®° ª°¨¢¨§­»‡ ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 10‡ ¤ · 10.1 ‚»·¨±«¨²¼ ±ª «¿°­³¾ ª°¨¢¨§­³ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨, ±² ­¤ °²­®© ¤¢³¬¥°­®© ±´¥°» ° ¤¨³± r, ¯«®±ª®±²¨ ‹®¡ ·¥¢±ª®£®.‡ ¤ · 10.2 „®ª § ²¼, ·²® § ¬ª­³²®¥ ¤¢³¬¥°­®¥ °¨¬ ­®¢® ¬­®£®®¡° §¨¥ ± ®²°¨¶ ²¥«¼­®© ±ª «¿°­®© ª°¨¢¨§­®© ­¥«¼§¿ ¨§®¬¥²°¨·­® ¯®£°³§¨²¼¢ R3.‡ ¤ · 10.3 „®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ °¨¬ ­®¢®© ±¢¿§­®±²¨r ¨ ¢¥ª²®°­»µ ¯®-X , Y ¨ Z ¢»¯®«­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ±®®²­®¸¥­¨¥:2hrX Y; Z i = X hY; Z i + Y hX; Z i ; Z hX; Y i; hX; [Y; Z]i ; hY; [X; Z]i + hZ; [X; Y ]i:«¥©‡ ¤ · 10.4 ®ª § ²¼, ·²® ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ²°¥µ¬¥°­®£® °¨¬ ­®¢ ¬­®-R£®®¡° §¨¿ ²¥­§®° ª°¨¢¨§­» ijkl ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© °¨¬ ­®¢®© ±¢¿§­®±²¨­¥ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ¡®«¼¸¥ ¸¥±²¨ ° §«¨·­»µ ­¥­³«¥¢»µ ª®¬¯®­¥­².

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