А.А. Тужилин - Лекции по классической дифференциальной геометрии (второй семестр) (1124098), страница 8

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’ ª ª ª, ¯® ¤®ª § ­­®© ²¥®°¥¬¥, d2 = 0, ²® B k = imdk;1 ker dk = Z k , ¯®½²®¬³ ª®°°¥ª²­®®¯°¥¤¥«¥­® ¢¥ª²®°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® H k = Z k =B k . ‚¥ª²®°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®B k ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®±²° ­±²¢®¬ ²®·­»µ k-´®°¬ , ¨ ¢±¥ ´®°¬» ¨§ B k ­ §»¢ ¾²±¿ ²®·­»¬¨; ¯°®±²° ­±²¢® Z k ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®±²° ­±²¢®¬ § ¬ª­³²»µk-´®°¬, ¢±¥ ´®°¬» ¨§ Z k ­ §»¢ ¾²±¿ § ¬ª­³²»¬¨; ­ ª®­¥¶, ¯°®±²° ­±²¢® H k ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®±²° ­±²¢®¬ k-»µ ª®£®¬®«®£¨© ¤¥  ¬ ¨«¨, ª®°®·¥,¯°®±²° ­±²¢®¬ k-»µ ª®£®¬®«®£¨©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, k-´®°¬ ! ¿¢«¿¥²±¿ § ¬ª­³²®©, ¥±«¨ d! = 0, ¨ ²®·­®©, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² (k ; 1)-´®°¬ , ² ª ¿·²® ! = d.°®±²° ­±²¢ ª®£®¬®«®£¨© ¿¢«¿¾²±¿ ¨­¢ °¨ ­² ¬¨ ¬­®£®®¡° §¨©.

‚· ±²­®±²¨, ¥±«¨ ¬­®£®®¡° §¨¿ ¤¨´´¥®¬®°´­», ²® ¨µ ¯°®±²° ­±²¢ ª®£®¬®«®£¨© ¨§®¬®°´­». ²® ­ ¡«¾¤¥­¨¥ ¯®§¢®«¿¥² ¤®ª §»¢ ²¼ ­¥¤¨´´¥®¬®°´­®±²¼ ¬­®£®®¡° §¨©: ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® k ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ k-»µ ª®£®¬®«®£¨© ­¥ ¨§®¬®°´­», ­ ¯°¨¬¥°,¨¬¥¾² ° §­³¾ ° §¬¥°­®±²¼.— ±²®, ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» ¯®¤·¥°ª­³²¼, ³ ª ª®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ ¢»·¨±«¿¾²±¿ ª®£®¬®«®£¨¨, ¬» ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ H k (M) ¢¬¥±²® H k . ±±¬®²°¨¬ ¯°¨¬¥°».11121+16.1 °¨¬¥°» ¢»·¨±«¥­¨¿ ª®£®¬®«®£¨©6.1.1 Š®¬¯ ª²­®¥ ­³«¼¬¥°­®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ M³±²¼ M | ª®­¥·­»© ­ ¡®° ¨§ p ²®·¥ª. ’®£¤ ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®k , ®²«¨·­®¥ ®² ­³«¿, | ½²® 0, ¯°¨·¥¬ 0 ±®±²®¨² ¨§ ¢±¥µ ®²®¡° ¦¥­¨©¯°®±²° ­±²¢ M ¢ R. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ² ª¨µ ®²®¡° ¦¥­¨© ¥±²¥±²¢¥­­®®²®¦¤¥±²¢«¿¥²±¿ ± Rp.

® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, B 0 = 0, Z 0 = Rp, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®H 0 = Rp.6.1.2³«¥¢»¥ ª®£®¬®«®£¨¨ ¬­®£®®¡° §¨©³±²¼ M | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥, ¨¬¥¾¹¥¥ p ±¢¿§­»µ ª®¬¯®­¥­².”®°¬» ! 2 0 | ½²® £« ¤ª¨¥ ´³­ª¶¨¨. ”®°¬ ! ¿¢«¿¥²±¿ § ¬ª­³²®©,¥±«¨ d! = 0. ® d! | ½²® ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ´³­ª¶¨¨ !, ¯®½²®¬³ d! = 0 ¥±«¨¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ ´³­ª¶¨¿ ! ¯®±²®¿­­ ­ ±¢¿§­»µ ª®¬¯®­¥­² µ ¬­®£®®¡° §¨¿45Š®£®¬®«®£¨¨M. ®½²®¬³ Z k = Rp. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, B 0 = 0, ¯®½²®¬³ H k = Rp. ˆ² ª,¬» ¯®«³·¨«¨ ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ².°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.1  §¬¥°­®±²¼ ¯°®±²° ­±²¢ ­³«¥¢»µ ª®£®¬®«®£¨© ¬­®£®®¡° §¨¿ ° ¢­ ·¨±«³ ±¢¿§­»µ ª®¬¯®­¥­² ½²®£® ¬­®£®®¡° §¨¿.6.1.3Š®£®¬®«®£¨¨ ¯°¿¬®© R³±²¼ M = R.

’®£¤ H 0 = R, ¨ ­ ¬ ®±² «®±¼ ¢»·¨±«¨²¼ H 1 . ’ ª ª ª ­ R1 ­¥² ­¥­³«¥¢»µ 2-´®°¬, ¢±¥ 1-´®°¬» | § ¬ª­³²», ².¥. Z 1 = 1. ”®°¬ ! 2 1 ¿¢«¿¥²±¿ ²®·­®©, ¥±«¨ ®­ ¯°¥¤±² ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ­¥ª®²®°®© ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ x | ª®®°¤¨­ ² ­ R, ²®£¤ ! = f(x) dx. Ž¯°¥¤¥«¨¬´³­ª¶¨¾ F (x) ² ª:Z xF(x) = f(t) dt:0’®£¤ dF = f(x) dx = !, ¯®½²®¬³ «¾¡ ¿ 1-´®°¬ ­ ¯°¿¬®© ²®·­ . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, H 1 = 0. ˆ² ª, ¬» ¤®ª § «¨ ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ².°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.2 Š®£®¬®«®£¨¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯°¿¬®© R ¢»£«¿¤¿² ² ª:H 0 (R) = R; H 1(R) = 0:6.1.4Š®£®¬®«®£¨¨ ®ª°³¦­®±²¨³±²¼ M = S 1 | ±² ­¤ °²­ ¿ ®ª°³¦­®±²¼.

Š ª ¡»«® ¯®ª § ­® ¢»¸¥,H 0(S 1 ) = R. —²®¡» ¢»·¨±«¨²¼ H 1, ±­®¢ § ¬¥²¨¬, ·²® Z 1 = 1 , ².¥. ¢±¿ª ¿ 1-´®°¬ ¿¢«¿¥²±¿ § ¬ª­³²®©. ®½²®¬³ ­ ¬ ®±² «®±¼ ¢»¿±­¨²¼, ª®£¤ 1-´®°¬ ¿¢«¿¥²±¿ ²®·­®©. „«¿ ½²®£® ¢¢¥¤¥¬ ­ ®ª°³¦­®±²¨ ª®®°¤¨­ ²³', ²®£¤ 1-´®°¬ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤ f(') d'. ”³­ª¶¨¾ f(') ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª 2-¯¥°¨®¤¨·¥±ª³¾ ´³­ª¶¨¾ ­ ¯°¿¬®© R ± ¯¥°¥¬¥­­®© '.Ž¯°¥¤¥«¨¬ ´³­ª¶¨¾ F (') ­ ½²®© ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯°¿¬®© R, ¯®«®¦¨¢, ª ª¨ ¢»¸¥,Z 'F(') = f(t) dt:0Š®£¤ ½² ´³­ª¶¨¿ ¯®°®¦¤ ¥² ´³­ª¶¨¾ ­ ®ª°³¦­®±²¨ S 1 ? Ÿ±­®, ·²®½²® ¨¬¥¥² ¬¥±²® ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ F | ½²® 2-¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿´³­ª¶¨¿, ².¥. ª®£¤ F (2) = F(0) = 0.

ˆ² ª, ¬» ¤®ª § «¨ ±«¥¤³¾¹¨©ª°¨²¥°¨©.‹¥¬¬ 6.1 „¨´´¥°¥­¶¨ «¼­ ¿¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨Z1-´®°¬ ! = f(') d'20f(') d' = 0:¿¢«¿¥²±¿ ²®·­®©,46Š®£®¬®«®£¨¨®±²°®¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥ : RZ 1 ! R, ª®²®°®¥ ª ¦¤®© 1-´®°¬¥ ! = f(') d'±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ·¨±«® 02 f(') d'. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® | «¨­¥©­®¥®²®¡° ¦¥­¨¥, ®¡« ¤ ¾¹¥¥ ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨.1) Ž²®¡° ¦¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬ \­ ". „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­ ¿ ´®°¬ 2a d', £¤¥ a 2 R | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ª®­±² ­² ,¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ·¨±«® a.2) Ÿ¤°® ®²®¡° ¦¥­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¥² ± B 1 .

²® | ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ª «¥¬¬».® ²¥®°¥¬¥ ® £®¬®¬®°´¨§¬¥, H 1 = Z 1 =B 1 = Z 1 = ker = im = R. ˆ² ª,¤®ª § ­® ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.3 Š®£®¬®«®£¨¨ ±² ­¤ °²­®© ®ª°³¦­®±²¨ S 1 ¢»£«¿¤¿²² ª:H 0 (S 1 ) = R; H 1(S 1 ) = R:6.2 ‚¥ª²®°­»¥ ¯®«¿ ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¥ ´®°¬» ±±¬®²°¨¬ ®¤­³ ´¨§¨·¥±ª³¾ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾ ª®£®¬®«®£¨© ¢ ±«³· ¥ ¤¢³¬¥°­®£® ¨ ²°¥µ¬¥°­®£® ¥¢ª«¨¤®¢»µ ¯°®±²° ­±²¢.6.2.1‘«³· © ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨³±²¼ ¤«¿ ­ · « M = R2. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ 0-´®°¬» f(x; y), ².¥. £« ¤ª¨¥ ´³­ª¶¨¨, ®²®¦¤¥±²¢«¿¾²±¿ ± 2-´®°¬ ¬¨ f(x; y) dx ^ dy,; 1-´®°¬» P(x; y) dx+Q(x; y) dy ®²®¦¤¥±²¢«¿¾²±¿ ± ¢¥ª²®°­»¬¨ ¯®«¿¬¨ P (x; y); Q(x; y) .—²® ®§­ · ¥² § ¬ª­³²®±²¼ ¨ ²®·­®±²¼ ´®°¬ ¢ ¯°¨¬¥­¥­¨¨ ª ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ¨¬ ¢¥ª²®°­»¬ ¯®«¿¬?‚¥ª²®°­®¥ ¯®«¥ X ­ §»¢ ¥²±¿¯®²¥­¶¨ «¼­»¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿;´³­ª¶¨¿ F, ·²® X = grad F = @F=@x; @F=@y .

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