Менделеев Д.И. О сопротивлении жидкостей и о воздухоплавании (1124038), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Но если ускорение от силы тяжести в жидкости действующее д= —,, где и масса (которая р найдется из веса в пустоте Р„деленного на ускорение тяжести Рт в пустоте 0=9.8... т. е. т= — ), то и ускорение, относя)> щееся к сопротивлению, = самому сопротивлению (а оио выражается весом, как сказано на стр. 296) Я, деленному на массу тн. А потому й лял ло О т птт ят ' т Которая сама есть изменение иаи первая произвояная проводимого прои'л странства Л по времеви т иви и= —. от ' 0 сОпРОтиВлении жидкостей Подставляя на место Я его условное значение гс = гзЬМоз (нлн какое другое, напр. с о, а не эз) и потом помножая обе части на ги и замечая, что ггтн=)т, получаем первое, основное уравнение езл р — л ЬМоз =- гп — = ла —,.
де дтз ' дй до ива так как о= †, а — =- †,, то получается дифференпиальное уравнение, выражающее вполне зависимость Ь от 1, а именно, принимая во внимание, что прн достижении предельной ско- рости с ускорение=О, т, е. р — усЬМсз=О, ' откуда й АМ=-',, имеем; илн, так как „, =д; то лучше: Р Двукратное интегрирование в пределах отта=О до некоторого определенного, конечного уг доставляет,' имея в виду, что при ут О, О=О и с=О, следующую явную зависимость между с, йнг: Й вЂ” Ь( )=2.302 — 1г( — -ь — ), . где 1п есть знак натуральных (неперовых) логарифмов, 1и знак обыкновенных (бригговых илн десятичных) логарифмов, где затеи основание неперовых логарифмов е=2.718.
у=Π— =ускорение тяжести Р вес в жнлкостн Р вес в пустоте ' ' Это тождественно с (с) и служит как бы ему доказательством. а Самое нптегрнрованне дано во 2-м прнложеннн, стр. 20 н 2К ь Вся раз ность Формул зависит от разности обозначений. То, что там означено чрез а здесь выражено с, а то, что там обозначено чрез иь здесь просто названо и тоже, что впрнложеннн названии, то здесь обозначено б, н оно-то =9.8...
м Кроме того, здесь вместо отрнцательнон степени прямо напнсааа дробь н вместо неперова логарифма взят уже обыкновенный, зная„что пеперов логарнфм )пх= 2.302)ах. ' Из последнего уравнення, заменяя — чрез о н ннтегрнруя, получаем дт их формулу (А), связываюшуют н о, а заменяя в том >ке уравненнп дт чрез— о н интегрируя, получаем Формулу (С) (см, то же примечание на стр.
419). (Прим. иед.) ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ лам Р '=-' — '=О-Р-1~ /' — '"". уак как выражение (А) может быть представлено в цорые: ст вг с йь =.в 1~ ~ — ',— ',1, то очевидно, что переменными служат: а?Й 82 и с, т. е. что существует зависимость между окончательною, постоянною скоростью с и наблюдаемыми величинами йй и ет. Конечна, наблюдаются в указанных условиях только Ь и 1, но а дается условиями опыта, потому что равно О,—, =9.82 Р вес в жидкости ,аповес в пустоте ' тому формула (А)дает, собственно говоря, неизвестную предельную скорость с по известным С, ?т и а, а когда с известна— величина й определится из равенства (с).
Отсюда видно; 1) каждое тело по отношению к данной жидкости характеризуется тою предельною скоростью, которую оно может в ней достигать, и 2) что, определяя для данного тела 1, й и 8 и наблюдая для него же предельную скорость с, можно испытать справедливость равенства (А) и следовательно предположение 1, которое заключается в (А). Чтобы облегчить расчет и разыскание связи между н?г, ет1 и с, приводим прилагаемую таблицу, по которой найдется при данных Д и с значение е7г в предположении сопротивлении, пуопорционального квадрату скорости, принимая за 1 время от начала падения до расстояния ?г в секундах и выражая а, й и с в метрах.
Если пааенпе пронсдодпт в среде, сопротнвавюндейсв пропорпнонааьно сз н ес.тн предеаьеад скорость г равна Паденне пронсаоднт в пустоте г Знаненнв ж !О с = 50 30 20 40 9.307 19.307 29.307 39.307 49.307 43.4 132.5 230.9 330.7 430.5 .ЕЛ = — 50 200 450 800 1250 19,5 192. 2 413.2 693.9 1017.2 8И = 49.7 194. 9 424. 4 726. 9 1084. 5 48.0 173, 5 342,2 530.0 725,5 49.1 186.7 390.3 636.6 907.? 10 20 30 40 50 ' Тогда ВЬ вЂ”, потону по д = —. гвт'д, вгт в ' в Так, например, если для данного тела, которого вес в пустоте Р=2 кг, а в жидкости вес р =1.5 кг, наблюдено было там, где (1=9.82, что по истечении 5.506 сек.
оно прошло 71.95 м от -аб 0 сОпРОтиВлении жидкостей начала падения, то из этого следует, что лт близко к 40, д/е к 530, л потому предельнав скорость этого тела близка к 20 м, ка>< показывает таблица. Если с =20, то, зная р, Ь н Лт (поперечное сечение) по формуле(с), узнаем /е. Для промежуточных значений ./>Р, ф и е, не приведенных в таблице, можно применять интерполирование илн пользоваться приближенною формуло>а (В), далее приводимою. Можно однако и прямо находить па опытным данным е или вообще сопротивление, пользуясь соображениями, которые излагаются вслед за сим и которыми далее я часто :пользуюсь. формулу (А) можно представить в следующем виде, заменив и ней с' его значением, взятым из равенства а= †: ее с ' ЛЛ 1 е+с (ес)е ае Во второй части этого равенства находится только одна переменная а, следовательно численная величина у определяется вполне, с одной стороны, величиною и, а с другой — результатом л/> л; наблюдения (выражается дробью — илн — „/, а потому для (ее)2 Лсе,/' каждого наблюденияу известно, а из него найдется а, а следовз- тельно и с, а потом и /е.
Поэтому расчет сводится на следующее: по данному численному значению 1,, илиу следует найти соотел (Ф)' ветственное значение я. Это дает прилагаемая далее таблица. яе Если же е известна, бУдет известно и с, потомУ что с=ез а когда .е известно — легко узнать и /е по уравнению />=/еЬ>Ис', где />, Ь и;И суть прямые данные опыта. Следовательно, надо иметь значения а и соответствующие им значения функции 1 е'+е ' —,)п =у, 2 тогда нз опытных данных легко извлечь значение с и /е, характери- зующих сопрогивление падающего тела. Приводя таблицу соот- ветственных значений а иу, заметим, что для пустоты е бесконечно 1 велико, следовательно а=0, а тогда у=-. — , т.
е. ел ! (ее)е или (что все равно) /г=— л/2 2 ' ьто н выражает закон падения в пустоте. Кривая, выражающая изменение у с переменою е, имеет некоторое сходство с цепною измвРвние сопРотивлвний 427 дииией и может быть названа надоидою или линиею падения среде. Опишем ее общую форму, считая а абсциссами и отлагая у ординатами, Кадоида или кривая падения' пересекает ось 1 ординат при значении †, т. е. при а=0 величина у=0.5. Это есть наибольшее значение у. Начиная отсюда, значение у все время убывает по мере возрастания а, Начиная от а=0, кривая идет далее, представляя вогнутость, обращенную к началу координат.
Но при некотором значении (около а=1.2) абсциссы изгиб кривой меняется: ординаты продолжают все время уменьшаться по мере возрастания а, но кривая обращена к началу координат выпуклостью и таким образом кривая становится асимптотическою, причем ось абсцисс слуитит асимптотою, так что при больших значениях а значения у приближаются к нулю. Очевидно, что при оольших а величина у меняется очень мало, а потому тогда нельзя пользоваться таблицами, определяющими зависимость у от а. Но тогда есть возможность очень просто вести весь расчет, потому что тогда (при больших а) член е — ", стоящий подзнаком логарифма, ничтожно мал сравнительно с членом е' и тогда а 1 ~п2 вместо у можно взять —,, 1п —, а зто выражение равно — — — = ах 2' а аз а потому тогда весь расчет прост, как мы и покажем далее.
Поэтому мы приводим в прилагаемой таблице значения у и 1ау только для малых а. Особый интерес имеют только эти значения, потому что а= —, а при падении в воздухе тяжелых дг тел предельные скорости с велики, времена же 8 малы, ' а потому а мало. При падении в воде, напротив того, обыкновенно а велико, потому что с мало, а потому наблюдаемое чрез некоторое расстояние й значение х велико. Если а=4, то е' = 54.60, а е — '=0.02, а потому при большем значении а н при обычной точности определений х, когда можно подозревать -'погрешность, равную 0.001х, можно уже пренебрегать значением числа е-'. Приводим поэтому значения ординат кадоиды или у и логарифмы ' их только для значений а от а=0 до а=4 чрез каждую десятую долю, и только для ясного понятия о кривой приводим величины у до величины а= 10, но тогда только чрез каждую единицу.
Значение ординат для а бдльшего, чем а=10, так малы, г Мы разбираем только ту часть кадояды, которая имеет физическое заачеиие при падеиии, т. е. отвечает положительиым абсциссам. При всплыааккк Е и с отрицательйы, а потому а также пэложительиая. "- Нельзя дела1ь иаблюдеиий при больших д поточу что з опытах иельзя располагать большими высотами А, которыетогда должны получиться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
