Менделеев Д.И. О сопротивлении жидкостей и о воздухоплавании (1124038), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Мие кажетси, по сделанным миою попыткам, особенно удобным и иитересиым исследозаиие эсплыэаиии маслообразиых капель и воде и других жидкостах. Полезно также собрание точных данных длл аэростатических поднятий. Закоиы асплыааииэ э сопротиэллющейси среде те же, что и законы падеииа. 420 о сопготйвленни хсндкостей Вопрос разрешится, если мы определим то время 1с, протекающее от начала падения, или ту высоту Ьс, при которых разность с — е будет равна погрешности, возможной в определении скоростей. Назовея1 ее чрез 3(ю). Абсолютная ее величина зависит, конечно, от возможной погрешности 3(с) в определении разности времен 1, и Гз прохождения тела чрез точки пути й, и йз и от погрешности 6(й) в определении разности этих высот л,— Лз, Повторение опыта, совершенство приемов н т. п.
дадут прямо наибольшие возможные значения 3(1) и о(Ь) для каждого ряда опытов. А так как Да Лз Ь (Л) !!П Лз13 0) ч= -", то о(е)= — — - — + 4! ~в са — сз рч — с~)з следовательно, в каждом отдельном случае наибольшее значение 3(е) можно считать за величину известную, Требуется найти ту высоту Ьс и то время с„ прн которых с — ю=з(ю), что и возможно при помощи вышеприведенных двух уравнений, если в них принять, как и можно сделать для нашего теперешнего расчета, с+о= йс=2п, потому что при этом, когда с — о мало, сумма с+и мало отличается от 2с или ог 2ю.
Замечая, что е, =-0 — =-9.8$, получаем значения 1с и Ьс, при которых достп- Р Р гается предельная скорость с с точностью 3(а): !д —.—,=-0.1175-Р с()н2с — -!оч)(п)], . (а! 2.303 с 2с - Р й = ' ' )д . =0.1178 — с'-'~!й — — 1 "(ю)1 ° ° Ф) 2.303 ся с 2л 2а1о) ' ' Р 1 2 Р Пусть, например,— — =ч0 и пусть два определения скорости на некотором значительном расстоянии дали последовательно числа 0.21 и 0.20 и. Так как скорость в действительности должна увеличиваться, а она вышла уменьшающеюся, то из этого заключаем, во-первых, что погрешность в определении скоростей не меньше 0,01, и во-вторых, что предельная скорость с близка к 0.21, а потому, полагая с=0,21 и 3(о)=0.01,.
мы получим с,=!".б и Ьс=0 .21, а это показывает, что предельная скорость с 1 2 достигается с точностью до — уже чрез 1 — сек. н на расстоя- 100 3 нии '/, м от начала падения. Из формул (а) и (Ь), которые составлены (надо не забыть это) в предположении Я=А Ь.Ип',' станоз Если сопротивление пропорционально не оз, а о, то предельная скорость достигается гораздо медленнее, а именно с погрешностью З(о) она достигается с а(о) с 2с во вчемя, равное — 1и — вместо времени — 1и — как в случае выше а с Ф 2л е (о)' 421 измнгиниа сопротивлений вится очевидным, что предельная скорость достигается тем Р скорее, чем меньше с и чем меньше отношение — между весом Р в пустоте к весу в жидкости, что мы и желали доказать ради того, чтобы в каждом частном случае можно было знать то расстояние лг, от которого, в пределе возможных погрешностей, скорость можно считать уже за предельную.
Если в расстоянии большем, чем л„от начала падения, будет определена (лучше, конечно, если определение будет еще повторено и чрез некоторое расстояние окажется неизменным) скорость падения, то ее поэтому можно считать за предельную, т. е. за равную с. А если предельная скорость с известна из наблюдения, хотя бы с погрешностью о(п), тогда значением определится с крайнею простотою, потому что: р =йЬЛ4сз а потому: и=в Р Ь Моя (с) В этом определении л, вследствие неточности о(о) значе~ ия с будет погрешность, равная о(1г)= — о(Ф). Отсюда видно, что (л) (о) .
л с т. е. относительная погрешность определения л вдвое превышает относительную погрешность предельной скорости; следовательно, если в определении предельной скорости мы делаем погрешность в сотую долто, значение л определится по (с) с точностью до пятидесятой доли значения тз. Так как в практике, если уже достигнута скорость, близкая к с, можно определить равномерную скорость с большею степенью точности (стоит увеличить предел расстояний, между которыми определяется скорость), то определение л этим способом может быть очень точно, если только постоянная скорость достигается в пределах возможной точности рассмотреииом (тв). Так, в нашем примере, если сопротивление пропорпио2 кальво о-, то с точностью 001 пРедельнаи скоРость достигаетса чРез 1з — сек„ а если Р пропорцпоиальио о, то по прошествии 2.6 сек, для етого последнего случая, рассматриваемого далее по отиошеиию зависимости А Й и с, зависис с кость Г от о выражается равенством Г= — !п —, верушам начало из усло.я с — о' ло л м1о лгс с вия, что — = я — —, пли, что все равно г(с г(о яс — ло ' пото му что тогда Р = лтя = а дМс.
О СОПРОТИВЛЕНИИ ЖИДКОСГЕЙ наблюдения. А потому излагаемый способ и формула (с) дают надежный прием определения й, тем более, что при этом движение установилось, или скорость лосихонннп, н следовательно А относится с уверенностью к данному телу,' данной я~идкостн и определенной скорости. Иными словами, применяя выражение(с), нам нет нужды знать точный закон изменения сопротивления с переменою скорости, и мы все же будем знать сопротивление, нбо оно= весу р.
В пространстве же от И=О до Ь, скорость растет, изменяется, следовательно для вычисления й нз наблюдений в этом пространстве необходимо предварительно знать закон изменения сопротивления со скоростью †ина невозможно интегрирование, и если значение й переменно со скоростью, его нельзя, как то делается обыкновенно, признавать за постоянную, не зависяшую от ю, г и Ь.
Пусть, например, окажется, что сопротивление растет не пропорционально Ф, а пропорционально некоторой 1'(О), т. е. Й=ЬМ~1о); все же, наблюдая предельную скорость едля данного тела при весе (в жидкости) р, мы найдем р,=ЬМДс,), а при другом весе р,=ЬМу(сз) и т. д., откуда определим значения у1О) при разных скоростях, т. е. узнаем вид н природу 1'(О).
Если, например, ДО)=йи+/г,о', то из наба~олений выведется значение Й и й, с определенною степенью точности. Совершенно иное будет, если скорость непостоянна, т. е. наблюдаются величины, меньшие 1„, и И,. Тогда уверенность исчезает. Но иногда нельзя этого практически избегнуть, потому что нет в распоряжении достаточных расстояний и времен падения, чтобы достичь хоть приближенно постоянной скорости. Так, например, случай падения тяжелого тела в воздухе, когда движение. при обычных высотах, с которых производят опыт, еше далеко не становится равномерным. Из сказанного видно, что для того, чтобы из наблюдения времен г и расстояний Ь сделать вывод о мере сопротивлениями тела данной формы, есть два способа: 1) наблюдение времени 1, начала падения и времени 1„когда тело прошло от начала падения расстояние И, причем сопротивление выразится функциею от ускорения тяжести л; от времени 1, которое = 1,— 1„и от высоты Ь; 2) наблюдение окончательной илн предельной скорости с, достигаемой, если не абсолютно, то с некоторою точностью, по прохождении расстояния Ь,, от начала падения, причем необходимо наблюсти Й„йм Ь4...
и соответственные времена 1,. Г.„ 1, . . . и увериться, что скорости постоянны, т. е. что в пределах точности наблюдения И2 — Ин Ив — И4 . =с. а 3 8 4 Первый способ должно считать обшнм, мы его и разберем далее, а второй страдает неуверенностью только тогда, когда нет ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ 423 убеждения в достижении с точностью й(п) предельной скорости с, НО ЕСЛИ НайдЕННЫЕ В ОПЫТЕ СКОрОСтИ От, Ов... МаЛО ОтЛИЧаЮтСя а~ежду собою, то опи близки к с, но будут меньше с и дадут по формуле (г) и значение й больше действительного, а отнюдь ие меньше действительности. ансли опыт, тем или другим путем произведенный, покажет, что при разных скоростях получается различное й, это будет значить, в сущности, что сопротивление пропорционально не квадрату, а иной степени. При том если й станет возрастать с возрастанием скорости, это будет значить, что сопротивление растет быстрее, чем квадраты скоростей, а если й окажется уменыпающимся со скоростью, то оно зависит от первой степени скорости или от функции ап+Ьез или от о„, где и)! (2, или вообШе от некоторой функции ~(п1, а не от О-'.
Так, зная и в предположении 1-й формулы, по наблюдению можно узнать и меру, и законы сопротивления, а следовательно и всякий другой условный способ выражения сопротивлений приведет к пониманию существа дела. Поэтому мы рассмотрим в применении к ускоренному движению или к началу падения применимость 1-й формулы, да еше, для примера, разберем применимость предположения, что сопротивление пропорционально первой степени скорости. Начальное рассуждение, двиощее решение условий падения тел в сопротивляющейся среде, может быть, мне кажется, проще всего выражено, исходя из того положения механики, что мерою и'ть сил служит сообщаемое ими ускорение, которое есть —, или вторая производная от проходимого пространства й по времени 1, Ио или оно равно — =изменению (первой производной) скоростио' лт по времени 1. Ускорение при падении в жидкости будет очевидно равно ускорению е от действия будущего веса р без ускорения, зависящего от силы сопротивления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
