Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика (1123881), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Чтобы получить для польемной силы тогнос вырзжснпе, рзссмотрнч течение сквозь репзетку из бесконечно бзольшого чис,ю крыльев нли лопаток. Пусть расстояние между отлельвннн лопатканп равно а. Систему коорлгпшт рзсположим так, чтобы ось х проходила чер з соответственные точки лопаток; положнтсльнуго сторону осн х нзпрзвим вниз.
Коитрггльную поверхность составим из двух плоскостей Г = а1 и 1'; = — а1, расположенных параллельно оси х далеко влево и вправо ог системы лопаток, и из двух идентично расположенных поверхностей, обрззовзнных линиямн тока (фнг, 118). Так как гч = — гчд, то из уравнения непрсрынности получаем: Применим теперь теорему импульсов. Тзк как взятые нами поверхно- сти из линий тока рзснггложсны со- | вершенно одинаково, то интегралы от импульса и давления, взятые по обеим этим поверхностям, каждый в отдельности, равны нулю.
Поэтому лля составляющей Х получаем: — Х= — р(аи (и, — и,) (так кзк в направлении оси х сов, СтаВЛЯЮЩав ДаВЛСННЯ Раниа НУГПО), а для состзвляюшсй Е )'=р(а(ог — о';, -(. а(г (1г, — р,). Но, согласно уравнению Бернулли; Фпг. 11В. Вывод Форыуд Куггд >ну ов. ру — р = — (Пз -1 — ио) — — (В +и ) — 2 ~ 2 Р 2 2 ского дкн подъенноь свдп прв поыошн рессыоз р нне течении сквозь решмку вз ь рык ьев. Подставляя это значение р, — р, в выражение для )г и принимая во внимание, что и = — пт, получаем: 2 2 и, + ие Г= р1а = — р1а — ', (и — и ).
д 2 Вычислим теперь цирку ~яциго вокруг лопатки, причечг в качестве контура возьмем контур проекции нашей контрольной поверхности на плоскость чертежа. Линейные интегралы от скоросюг, взятые по обеим линиям тока, в сумме дают нуль, так как этн липни токз совершенно тождественны н при интегрировзнии обходятся в протияоположных направлениях. Поэтому для циркуляции пол>чается выражение: Г = — а(гс, — и,). Таким образом для Х н у' окончательно получаем; ,и,-) ив Х= — р1 Гп, Г=о р(à — ' я дехгой аынод яою|члы кит!а-|кюпп|ею|со Пусть теперь рзс;тояпие а между отделыьщи лола|качи уасличп. чается, стре|шсь к бссконечноси|. Так кзк при этом циркуляция остзе|ся консчцо1, а, с другой стороны, Г=.- а (и — и,), то необходимо должно быт|ы и,=и,. Итак, а случае единственного крыла жидкость далеко позади крыла отсекает н том жс нзпраалении, я каких! онз црптекаст дз |ско а |среди «рылз.
П) сть теперь пзпраалсш|с нате«зина а бссконс пюстн со|чиже| с ощ юу; тогда и, =О, слсдон|тельно, и и,=-О, т, е, сос|аншющзя У а напрзплснии натекашш исчсззе| и осы!стая только сосищыюпюя Х, исрпсндикулярн и к напраалщппо натскаиия, т. с. под | см:«ш спю. !)зи!|зиял теперь положит льну|о и'ь к вверх и ззмешш н аырзжспни для подьемной силы и |с,|сз И; тогда окончатсльло получим; А =р(Л'. Эта формула;иш подъсчной силы бы,ю а,,|аедспз ппсраые Кутта |) (1002), а затем, и зависимо от не|о, Жукщ|скпм а) (1006). 106.
Другой вывод формулы Еугтп-Жуковского. Лля только по полученной нами теорет! | о подьемной силе сущсстауют такн|е друтис докззатсльстаа. Прин дем то ил нпх, которое принадлежит Жуков- скочу. Жуковский а своем доказа|сльстае исходит нз того обстоятельстаа, что на польшам расстоянии от |ела течение не зааисиг от формы нссу|цсй поасрхности.
Он вводит функцию течения Г| А В, С д = — Из+, !из+ — (-.—, + — '+. з" отку |з иЕ 1 Г|' А 2В ЗС |Ы ' йл ах причем А, В, С,... суть кочптексные постоянные. Эти нос|данные опредсл|пот точпу|о форму течения вокруг тела и различны для различных кр|жьеа и разных углов атаки. Для бо.пшпх расстояний (больпш з) членами с А, В, С,... чс|ж||о пренебр чь, и, следовательно, |юле скоростей получается тзкпч, как сслп бы я начале координат (з=.О) был |олько „несущий" вихрь с ц||ркуляпией Г. Следует осооо п| д |еркнуть, что я рзссматрпазсчом случае дело идег не о;кидком, так назызаемом гетьмтольцеаском вихре, скорость которого относите |ьно окружшощсй жидкости ранна нулю з), а о „несущем" нли „присоединенном" апхре, обладающем относительно хщдкости скоростью, |||шчной от пуля.
1!есущий вихрь нс обладает физическою реальностью и налястся только абстракцией. к которой физически можно подойти, ') К и 11 а, 02 Ап11|(сЬайтз((е (п М|ошепбсп Г(баый(ссйсп. 1]1 зе о |. М(11. 19 ". '-', ) ч и |. о а а 9 у, ЬЬ Ел ПЬс| 61е Коп(ч|еп бст Ттзй!1ас(|еи бст 11|асЬепй!ейс|. '/. Р. М., т. 1, стр. 281. !910 и т 3, стр. 81. )91Д а) Жалкое (|сльчсольцеаское) а н х р с а о е к о д ь а о обаа.зет скоростью |.тпосптельно олрб|каю|пей жидкости. Причина этого заключается а том, что ьслелстане панн кспного давления внутри анара и криаианы кольца аозникзет сила, напрааленная к центру «рнаязны; эта спла я обуслоалнаасг движение к .|ьая, прнч и с тем больше|о скор стью, ч м кпыентри чн аписе кольна.
176 г!о!нл крыла если вместо несуш го вихря вза ь вршцающийся цилиндр и прнближсОЬ диане!,! цилиндра к нулю. Тзкил! образом на большом рзс- узлг стоянии от песупгей поверхности ско- П,.,игл. рость склздывастся нз постоянной скор рости Р главного течения и из доба- Г сочной скорости пт== — (фнг. 119). Теперь при помощи теоремы имФиг !!9 на бельевом Рьсстоегии ст ОУльсов легко полУ«ить фОРмУчУ Дтк несумегг ковер«мсти ск р сть склат ° вас. н иа скорости н тека ин у н ил ло.
подъемной силы. При этом В заннснбавонной скорости и = — - . г мое!и о! формы конгрольной поверхЗсе ности с.!агаемые подьемной силы, получающиеся от интеграла кмпульса и от ингеграла давления, будут различными. Если в качестве контрочьной поверхности взя!ь круглый цилиндр достаточно большого радиуса, копцепгричпый с несущим вихрем, то оба указанные сгшгаечые будут одинаковы, и именно кал!лое из .,,)с' РП' л! !шх будет равно —,=- —, где 2 2 лрлбогъбгуттр 7 сб я' Л овна шст подъемную силу на сберг ', единицу длины несущей поверхности.
г(ГУ В СаМОМ ДЕЛЕ, СКОРОСТЬ Пг, пьтУб йтбллре ,)',бдб~бб, ',1 л- ВОЗППКаещав От НЕСУШЕГО ВПХРЯ ! т и налага!ошався на скорость ,/ невозмущенной жндьоств, рвана à — вс!оду напр!и!лена перпендпкулярно к рздиусу г. Поэтому, йиг. иа. в с.унан ны!гро. ьн й о веокносг«. применяя обозначен!ш, показанные оср,вуеиой кругл м иилинлром, оа, е оо! нина ооаье.ной силн обус онли ае!сн онгмрыо» нз фпг. 120, полу'!аю! Дт!я той им«Ул са, лРУг н оолонниа — инте Р лом ллв. составляюп!ей под ьемной силы (нз единицу длины несущей поверхности), котору!о дает интеграл импульса, значение: Г Р $ б(7 юс з(л,пт)ш= — Р~ ггуб 1'соз гб н- — созе.= о огр ! е РГ!' = — ~ б)р созе з =— б так как (сов! асгр=п. Результирующий импульс направлен вн! з, зк как скорость, направленная вверх перед крылом, зз крылом меняет свое направление на противоположное. Следовательно, р акция жидкости дает для кры.!а подъемную силу, направленную вверх.
ДЮ'1Ой ИЭНОЛ ООРМУЛЫ КУ11Д НОКиэг.!эе!о Вначение интеграла давления получим следую инм обрил ч ес ш че рез рр обозначим дзвленне в невозчущенной жидкости и через 1' -'- пэ геометрическую сумму скорое гей н' и пэ, то на основании уран!'енин Бернулли будем иметь. Ег, .о-г- '- (р -( ~)2=-Р + — 'рт Рнссьэатривая фш.
121, з мечаем, что ()г+ тв) — (1' + тр 51п ъ) + (ю со5 !р) !'!и . !э! Дат!ее, ес.ш г вэяэь досэзточно большим, то тв мол!но сделать сколь угодно малым по сравнению с Г. Поэтому, пренебрегая величиной ьтт, нолучэен нэ вышнаписанного уравнения следующее значение для давлении; р =р„- — р1гы51пф. Легко видеть, чэо не равна нулю только та составляющая инге!родэ дпв. денна, которзн перпендикулярна к направлению течения; соответствующш! ЮЮиуггбеиноЕ бЫ'.",егулг 1 1 э + ! ! и' 1 ! + 1 1 1 УУ ргзедвтбра бЫлеуье Фиг. МЗ. Фнг. 124 Ф г. 122. ей составляющая давления р равна рз(п ф; таким образом интеграл давления на единицу длины крыла равен 5 2т рут ,ргуг лс ( (гы 51П2 г !уф рг(ум 1 5!па ф гд'р = русая( Ъ о Г!олн!эя нодьемнзя силз на единицу длины равнз сумме интеграла имнг.!ьса и интеграла давления; складывая, получаем: А = рг(у. ((ак уже было сказано, составляющие подьечной силь!, получаемые эгдельно от ни~страда импульса и интеграла давлении, различны — в зависимости от формы контрольной поверхности.
Возьыеээ, например, коп'!рольную поверхность с прячоуголг,ныч сечением (фиг. 122) и составим и!мегрелы имоу:шса и давления. Будем теперь отодвигать в бесконечГндро. н ээр месю на э, и. Фиг. 122 — 124. Если в случае конгоо ьнае поверэности с пр моугоэьным ссненн:м п ретад к бено енноюн повар!паэт!я клк на фнг. 123, с анапа путем ~годви~анна к бесконенн с!и гор ээгэ.тьн як плоскосгеа «энтрольнои поня кносгн, то интеграл лака пня .олуеэегс» рави н ну.ю, и подъем ая сила полуеается ог одного т~лько и теграта импульса; тако: оэоэ.ение останю сн и гнэсле т !о, ка буду! отод инутм в бесконекнаст и вертикальнне плоскости ко трольнон п»неркности.
Наоборот, ес.эн перэкод к бесковенностгг начат с ы дню анни в бескоиесносгь вертикал~. и к пэоскостэв, как ма фнг. 124, тэ интеграл инпулыа буд.т рав н пугни н оолъе нан сила полуэитсн от одного только интм рала давление. г порвя крыла носеь сначала !призон зльные плоскости контрцтыюй позер!нос!и (фиг, 123); тогда интеграл лавлсцпя слелается равным нулю, и нет! под.ьсиная сила ггет.т)чнтся от одного только интегралз импульса; наоборот, сс.еи в беско~ ечность отодвш'аы сначала вертикальные плоскости контрольной пгшерхности (фиг.
12е), т.г бул.т равным пуп!о интеграл импульса, н вся подъемная сила получится от одного только интеграла давления. Оггслггвзгсльно, ес.ш форма к!пи'ролькой поверхности не ззлзпз, то в слу. ае неограниченной а!ассы воздуха остается соверщенно неопределенным, кзкая часть пот!ьеттной силы псредзется крылом >кидкосп! в виде давления и каке!я — в ветле импульса. Од ако, буде! по-другому, если рассматриваемая масса воздуха огрзничена поверхнос5ыо земли. В этом слупгае перемещать в бесконечность мо кно только нз поверхность зсьщи ~ — и ,=:и= = и ответствующие вьшис:: — = = дом зеркальных изобр:5- — — >кений ') (фиг. 12б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
