Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика (1123881), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ц )чй 30 чы видели, >то закон Блаз>туса при оч нь ботыпих числах здкон кОРня седьмой степени для Рдспеедедения скОРОстей 93 Так кзк то вышеизписзнная формугп для т приводит к днференцпзльному урзвпегтп ныло лшя „, козорое легко может быль проигпегрировзио и после кг' второго интегрирования ласт и (у). Карз1ан по 1учзет; г г 11 поз 1 — — 1 1 —- г или, для мзлых г ' 11л.~ л ~ к Совпадение з1ш 1епий, дзвземых пнями скоростей, измеренными при вольно хорошее. Лля эмпирической значение 0,36.
Грзницз между областью, глс эзз ною облзстыо, где значительно дзет этой формулой, с рзспредслебольп1их 1ислзх РЯЙнольдсз, допостоянной й полу шстся отсюдз формула прнт1сгп1мл, и пограничсебя згшгь вязкость, опрсдегшегся З1~' шелом Рейнольлсз Л' = -', откуда 1 зх11лится соотяс гс гну1ощес рзсстояние от с~сики: 1/ ' Пз=-Р ! г Следовзтельно, ес.ти остзновиться нз вышеприведенной приближенной формуле, то бу.гем пметьд I тлч Р ~ ь ', 11,3 !1Одставляя это значение у в вышснзпнснннуго формелу для ---— 11л» рз,' и обозначая з1шчение и, соответствующее у„через и„нзходим выражение лля и,„„— и,.
Тзк как слои жидкости, н которых проявляется трение, н отношении мехзнизмз своего действия должны быть одинаковы, то и, Р гвк1 кно быть крзтным ~ — ', т, 94 погелничныв слои Но та связано с коэфиниентом сопротивления трубы )., который здесь мы будем относить к максимальной скорости, соотношением: ,1 х 2 Еггаых Следовательно, иввх хт. ')'; ггщ „г Вводя число Рейнольдса Ах х.= — '", тоже отнесенное к максихгальной скорости, получаем отсгода: ,1 а — нли ).= - — —, (!пКр'--(пК,, и() 1)(в' ' (1 )Е)х+г)а Лля А и В на основании измерений Никурадзе получаются значения; А=О,(33, В - 0,18. 55.
Нгтпрянгенне едняга на стенке нрн турбулентном пограничном слое и голи(нна этого слоя. Определив! теперь значение постоянной в уравнении (5). На стр. 57 лгы указали, что максимальное зна гение скорости в середние трубы равно, как показывагг!т опыты, от 1,22 ао 1,25-кратно!.о значения средней скороспг и. Возьмем среднее из этих крайних значений, т. е. положим и,„=4,235и, и заменим в уравнении (4) и через -" —,,'"; получим: 1 7 х и пхх 0,033 — иэ' г. 7 1,2 5 '! В | ига 0 ве, ас ВЬег !игЬп!еп1е 7ггаввегв!гогпипреп 1п иегабсп Коигеп Ь ! вхиг Кговвеп Кеуно!аввснеп Ха(иеп.
хгог!гане анх аегп бе(ие1е нег Лешнупагп!и ппс хегкапн!сг беше1е (Ааснеп !9291, стр. 63. Вег!!п. )н!!и 3(тг!гг(!ег, 1930, в) 3 с Ь! 11е г, 1.с Роигги!г(егв!апг( Ье! Ьоиеп (геупо10вхс1гсл лаШепЛгогггайе апв аегп беЬ~с!е нег Аегобупашнс ггпб теггиапйег ()еше!е (Аасиеп !929), стр. 69. Весна: )и!Шв 8рг!ггцег, 1930. — Н е г гп а и и, Кс Ехрегнпеп(е11е ()п(егвис!гггпй аигп агав!в!аггавяехе!г нег Кге!вгоигев Ье! Ьонеп Кеупо10ввснеп Хашеп ппб йхговвеп Ап1агг!(апЯсп. Лнссертааия, Ье!рг!8 1930; напечатана также у Н е г ш а п п нпб, В и г Ь а с 1к 8!гошппнвчг(легв!апи ипб урагпгевЬегйагй !п Ко!неп. 1 с1ра!К 1930. Правда, вычисление ). для заданного гс по этой формуле возможно только при помощи последовательного прибтигкения, однггкгз !голу гаехгые значения очень быстро сходятся.
Зато!! может быть вычислена средняя скорость, так гто возчо;кно сравнение с опытом. ('овладение с реву.гьгпзми новейших измерений, произведенных Никуралзе ') и Ииллеров! и Герзгановг в) при Ах, рав ых до 1.8 1Оа, в области очень больших чисел Рейнольдса оказалось очень хорошим. При этол! для ", получилось значение 0,44, для С = 2,83. Если перейти к средней скорости и (следовательно их к Ах = — ), то для ), будем иметь нрпближеннуго формулу: нАпРяжгнпе сдвига нА стенке пРН туРвулентн011 ПОГРАничном слОе 95 1 у Т7 Принимая закон корня седьмой степени, т, е.
полагая и= — изин! — ! получзем: ! 7 1 та=0,0228ру ичу иу Этз форму!!а после введения безразмерного числа принимает внл: 1 т = 0,022Ьриз ! - ) (ба) и=и( —.) причем и алесь означает невозмупценную скорость, з 8 — толицнпу пограничного слоя. Следовательно, напряжение сдвигз на стенке будет равно 1 — ~/ ~ 4 та = 0 0228;и ! — ) 1иа (6Ь) Поэтому, если Спирина пластинки равнз Ь, а длина /, то полное сопрот1пюс!Кче трения с одной стороны пластинки будет равно ЦУ/ = Ь ( тз г(..
а ))о это сопротивление равно потере импульса течения. До достижения пластинки кзжлзя частица жилкостн имеет скорость и, в конце пластинки ') Ргз и З 1!. 1.с СЬег Пеп йе1Ьнпйаж1бегз1апс1 а1геюенпег 1.нй, ЕгйеЬнцае бег йенх1ун. уеганс!мань!,!11 ен 6о!11и ~сп, выпуск 3, 1927. 7) К а г аз и, ТЬ. Ул см. сноску 2 на сзр. 88.
и применима, коне н1о, только в области, в которой спрззеллив закон сопротивления Блазпуса. Формулу гбз), которая не солержит радиуса трубы, можно применить также к турбулентным течениям вдоль гладких стенок, например к течению влоль плоской пластинки, если около пластинки образуется сравнительно тонкий турбулентный пограничный слой. Прп этом 1е!Сини дзвление влоль г1лзстннки можно считать в первом приближении постоянным (зиатогично тому, как при соответствучо!цем ламинарном течении); сопротивление тренин сказывзегся в нарастании пограничного слоя вдоль пластинки. По примеру Праплтля ') и Кармана з), которые обв незагиснмо друг от друга выполнили вычисления для рассматриваемого течснпя, рзспрелелснпе скоростей в этом пограничном слое принимается, по аналогии с трубой, в виде: 1 ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ эта скорость умень!лается до значения и.
Соответствующая секундная масса равна рай !(у; следовательно, потеря импульса равна 7ю ) и (и — и)г)у 1 — РА7 нли, после потсганонкн и = — и ~ -- ) и после интсгрнрованив: ..',, рйабс. 72 ' Если приравнять это выражение и выражение для сопротивления К~, причем для те надо подставить значение, определяемое уравнением (6Ь), то получится соогношение, из которого можно определ!пь в.
Однако, целесообразнее приравнять сначала производные этна выражений; тогда получим: =,, ри" — = 0,0228 риа ( — ) И 71Н 1 1 61. - =0,235(- ) ',и 7' Теперь после интегрирования полу юем: ! -„-а -. 0,235 ( ) х, Н.ти Г З7 ~,' их Сравнивая эту формулу с формулой длн толщины ламинарного пограничного слов (стр. 87), замечаем, что толщина турбулентного пограничного слоя нозрас!ает быстрее, именно, она возрастает пропор. ционалы!о хз, в то время как толщина ламинарного пограничного слоя— 1 пропорционально хз. 56.
Сопротивление тренин при турбулентном пограничном слое. Подставляя в уравнение (6Ь) значение ,', определяемое уравнением (7), получаем зависимость напряжения сдвига от координзты х: ;„= 0,02887511 ( — 1 ~,й/ р'х сопрет«нтгниг гр! ни» нрн тхрвклрнтноч !го!рани»но» слое 97 Следовательно, полисе сопрогивдение лдя одной стороны пластинки, длина которой равна (, а и!ирина Ь(! Ь =- Ь), будет: йг= Ь ( чр(х= 002889!7- ( ' ) ' Ь ~ — "" . г~ и з о и!' нлн ! г д а 0,ГС10 1Г = 0,086 ит! Ь( ) = — '' — — '' р,е!7л г! ! и! если — заменить через 7тг, Ксди ввести в выражение для (р' коэфнцненг сопротивлени» с, то окончательно подучим: 9 —., 0,072 В'=с т- —,иа= —,' Ь-,'7 и'-'.
! 2 1 (8а) Л4 -. 1,84г' — .', Се —.= 9 1 )с ) Здесь нод Э следует понимать то расстояние от пластинки, нэ котором скорость отличается от невозмушенной скорости, на.!ример, на 1'„. г) Бспг11ег и. Негшапг: ц|пеггйапб топ р1»!!е ипг! Койг те! 1го!гев йеупошааспеп Ка1йеш 1пйеп!еиг-7!ген!ч, т. 1, стр. 89!.
1930. а) К а г т» и, ТШ кл Доклад нз а!е»глуп»родном конгрессе теыпжсской меха»»кн в Стокгольме, 1930. 7 Гидро. и агр»и»и иггм ь и„ 0,072 На фиг. 86 (стр, 184) нзобр.!жена крив!я с =- -',—" ,. При этом следует 1' 7г заметить, что около переднего хорошо заостренного конца плоской пластинки течение в пограничном слое сначала ламинарное и только при определенном критическот! числе Рейнольдса становится турбулентным. По измерениям ван-дер-Хегге-Бейнена (кап бег Не88е-7!1'пеп) это происходит при числе Рейнодьдса, разном, если его отнести к тол! па г шине пограничного слоя, примерно )9» .-=. ( — ) = 3 000 э). Отклонения от закона Блазиуса, о которых упочиналось в Лй 30 и о4, при очень больших числах Рейнольдса (примерно начиная с 3 000 000) проявляются и здесь.
Распространение выводов Л: 55 н настоящего на этот более сложный случай было сделано П(иллергм! и Герчаноа! т. Далее Карман ') применил к случаю пластинки свое предположение о сопротивлении, о котором говорилось в конце № о4. Оба способа дают хорошее совпадение с опытом. Карман в своей работе, цитированной на стр, 88, показал, что таким же способом, как сопротивление трения при течении вдоль плоской пластинки, может быть определено сопротивление трения вршцающегося лиска. Пусть диск радиуса г вращается с окружной скоростью Ц предположим, что смачивание диска жидкостью происходит с одной стороны (для этого расскгатриваемый диск слелует мыслить вырезанным нз бесконечно большого вращающегося диска); тогда момент, необходичый для преодоления сопротивления трения, будет равен: в случае лам»парного погра.
пичного слоя; ногганичныа с;юн в случае турбулентного пограничного слоя: гИ вЂ”. 0,146га-;~ Ега —, ~/г при ~ем )с'=, 57. Лонинорный пограничныП елоП внутри турбулентного нотроничного глод, Когда мы говорили о распределении скоростей или о скорости в какой-нибудь точке турбулентного течения, мы подразумевали, как на это было указано на стр, 55, среднее значение скорости в рассматриваемой точке.
Действительная скорость, которая в каждый момент времени различна и колеблется около указанного среднего зна ~ения, получзется сложением этого среднего 1во времени,' значения и колебания скорости. Зтн колебания составляют примерно + 5а „ от средней скорости. Однако, если рассматривать явления все в большей и большей близости от стенки, то колебания скорости вследствие близости стенки будут очень быстро убывать. Правда, колебания скорости и будут все же знзчительны и вблизи стенки, в процентном отношении, может быть, лаже тем больше, чем блшке к стенке. Но нормальная составляющая скорости убывает во всяком случае очень быстро, и непосрелственно у стенки для среднего во времени значения получается опять соотношение: Если теперь предположить, что закон корня сельмой степени действителен в турбулентном пограни|ном слое непосредственно до самой степки, то получится, что напряжение сдвига при у = О делается бесконечно большим, з тзк как — прн у= О равно бесконечности.
Это следстнпе, находящееся ду в противоречии с опытом, отпадает, если считать, что для турбулентного течения закон корня седьмой степени действителен почти до самой стенки, но не у самой стенки, так как здесь перенос импульсов благодаря турбулентным колебаниям исчезает. Таким образом между стенкой и турбуленгным пограничным слоем, в котором для скорости имеет место закон корня сельмой степени, мы имеем очень тонкий ламинарный пограничный слой, внутри которого средний градиент скорости определяется из вышепривеленного уравнения для та, причем само т определяется уравнением (6'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
