Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика (1123881), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Первая обласп находится в непосредственной б >изости тверлого тела и имеет вид тонкого слоя, в котором гралпенг дм скорости — принпмзет в общем случае очень большие значения. Сле- дл довательно, в этом так называемом пограни шоч слое напряжения слви>а дна т = р —, обусловленные вязкостью, могут принимать большие значении, дл ' и поэтому злесь действие вяз...."; р,.,н;,з, о кости, саз>ой по себе очень о небольшой, будер все же зна- шгельньш.
Во второ' > области, Ф т, СО. Пооеречн сечение уааеоаегена ного нн>ннлрнчесного теда сгонча аеранмна), охватывающей Все ос!алъное течение за пределами указанного слов, таяне большие градиенты в общем случае не имеют мсстз, и поэтому здесь действие вязкости прок>>прется очень незначительно. Спектр линий тока н зт >й облаю и обусловл вас жя пскшочи тельно лействнем давления, т. е. мы ич>ееч зд сь с>.екгр линий тока потенциального течения.
Во> бще можно ска,а>ь, чго слой, н котором благодаря действо>о вязкости прон«холит торможение скорости (до нуля непосредственно около обтекаемого гела), >ем тоньше, чеч меньше вязкость или — более обще — чем больше шсло Р.й.>о>ьдсз. Ич>енно благодаря этому и появляегся возможность, как мы подробне' увидим ниже, так упростить уравнение Навье-Стокса дзш пограничного слоя, что оказывается возможным его приб.шженное решение, причем упрощения тем более допустимы, чем тоньше пограничный слой. Поэтол>у решения этого урав. пения имею> асин>потическии характер для возрастающих к бесконечности чисел Рейнольдса. 47. Порядок величины отдельиых членов, входпи1их в урпвиеиив Нпвье-Сток«п, при больших числах Рейиольдсп. Прежде чем присгуппть к упрощениям уравнения Навье-Стокса в применении к пограни шоз>у слою, т.
е. к выволу диференциального уравнения по. граничного сл,.>я, оста>зовпч>ся сначала на вопросе о порядке величпнь> отд.льных членов, входящих в уравнение Навье-Стокса. Лля этой цели рассмотрич> лля простоты двухмерное течение вдоль плоской, очень тонкой п-ватники >фиг. 41). Прн зточ целесообразно переменные величины, опрелеляюн>ие это течение, заменить друп>ми — безразч>ерныз>и, как об этом было сказано на стр. 20. Сзедовательно, скорости следует выразить через скорость а невозму>пенной части течения, длины — через какую-пибуль характерную длину тела н т, д., иричеч> соглзсно ранее сказанному вместо кинематической вязкости р появляется»братное зна- 1 ление чп>.>з Р, йноль>с:>, т.
г, >« пОРядОк Величины Отдельных членОВ В уРАВнении нАВье стокса 81 Пусть составляющая скорости по оси х — будем обозсшчзть ее через и — вне пределов пограничного слои задана и пусть ее величина имеет порядок единицы. Предположим теперь, что толщина погранп сного слоя 3 есть малая величина первого порядка; тогда из тонсдества Гди и= — ~ --.Псу ! ,) Эу ди 1Э дд Э дч Эеи 1 дои дг'-' ".-' Эс -* Эгсс и — нмеюг порядок елпиицы, то нз пасспсаппьсх Эг;-' дсс 1 деи 1 — будет порялкз —, а — — порядка — . д Э '-' ос дп Так как вели'шны— дг, равенств слелует, что ди Дз.тсе, гак кзк дг рынносги имеет порядок елиннпы, то пз уравпс пи нспрс- Эл ЭР— -) — =о дх ду ЭР следует, что — ' будет то~ке порялка единицы, оскушс с помощью ЭР с ождес пса Гдп — ! 1 н получзеч, что о должно быть порядка о; то же сзусое ичзсс а.
место в отношении величин — и —, в то в," чя как велсшппз дх Э. ' ссс .' д ! нчсет порялок -„- =- —,. о ))зпншекс теперь пол отлелысс,ин бззрззмериычн шснакш уравнения !1ссссье-Стокса !за псьлю сенисч шопов, в которые ахолпт лавленпс, и обратной величины числа Рс'сноси,дса, н ксзторую входит асшкость) полуГинро- и неро е еии е, с. П.
ди и следует, по грздиент — скорпетн В нанраВЛЕПИИ, Псриси Фнг. 41. Тенеи е оно.ск тонков инесс,огс, сперени неостреннои ппесгинки. дикулярном к стенке, будет ве- 1 личиной порядка —,. В этом можно также убедиться, если внутри поо у граничного слоя ввести перечепную г! = —. !тогда г будет одного порялкз с координатой х; координаты х и у чогуг вообще измеррлься различными масшгабпмп). Тогда будем нмесгп по!гхннчн!,!с слои ченщге для их вели !ин порядки; !отде д:и р!ссмзтривземого двухмерного течения гдо:и плоской плзспщкп будем иметь: Ъг, Ъ! ! Ъи 1 Ър 1 гЪяи Ъгих г' и ! (!з) Ъ! Ъл Ъу 1 Ъх )Ъ (,Ъгз Ъу!) ! ! !! ! Ъ Ъ: 1 Ъг! 1 гЪ! Ъягт — + и — ) —.- = — — + —.( — +- — ) Ъ! Ъх Ъ, у ау 11 (Ъ.гт Ъу) ! !. ! !1Ь) Чтобы пояснить скзззнное, определим лля случзя течения, изображенного на фиг.
Ф1, толщину пограничного слоя на рзсстоянии 1= — 100 еж от заостренного края пластинки, если скорость натекзния равна 100 сж!ггл, а жидкостью является воля при 20о С (» тогда равно 0,01 си-',тех). ь1исло Рейнотьдсз в этом случае рзвно поэте!!у '. бутщг порядка !0 з, и, слслонзг лино, толин!на пограничного слоя Ъ= ~".1 будет ит!еть порядок 1О ' 1Оз сж, т. е. будет рзвна примерно одному иг!лли!!отру. В этом тонкои слое и происходит изменение скорости о! се значения во внешнем течении до нуля около самого тела, Здесь через з' ооознлчена безрззмерная толщина погрзничного слон, т, е. то число, которое полтчастся, если при измерении тощцины (! пограничного слоя за единицу взять характерную длину 1, входящую о в число Рсгшоль:сз; слсдовзтсл!.но, 1 Ъги В правой чисти уравнения (1з) величина — тзк мяла по сравнению ах а с —, что ею вполне мои!но прснебречь.
По той же причине в правой части а,-' д!и Ъги урзвнения (1Ь) можно прснсбре !ь неличнною — г!о сравнению с Ъхя а,я ' Внутри погращщного слоя действия вязкости по величине должны быть одного порялкз с действиями инерции, тзк кзк здесь скорость быстро изменяется, учспыпзясь ог своего значения вне пограничного слоя до нуля у стенки. С другой стороны, конвектнвные члены в левой исти урввнсн!щ (1з), зависящие от инерции, должны быль порядка еди- ницы, Из этого следует, по вели шнз, должна иметь порядок Ъ"-.
Оо- ратно, можно сказать: если при каком-нибудь те !е шп вязкость жидкости тзк мали, что внутри жидкости можно пренебречь действиями вязкости по срзннспао с леясгвию!и инсрщп! (тоглз число Рейнольдсз, т. е. отно- шение действия инерции к дсястви!о вязкости, очень велико), то тол-' 3 щнна й'.= пограничного слоя, образу!оп!егося нз поверхности обте- каемого твердого тела, имеет порядок дичегенцилльнох ггавпение погглничного слоя 83 дл, да ди ! пр 1 дал — +и — +и — — — — — + дт ' дт ду Зпх ' эт'ду: (2) К этому уравнении! присоединяется еще >рэвнение непрерывносжц да, дз — — = о.
дг д, Если удовлетворить это уравнение непрерывности путел! введения функ- ции тока гР, т. е. положить д'Р д'1! и= —, ду ' д.; го из уравнения (2) получим: дтР ЪР дай д!гдВР ! гтр 1 двР + ду дх!у дхдуэ . этх )д д а (2а) -Ио уравнение пограничного слоя, выведенное здесь лля случзя течения 'доль плоской стенки, может быть получено и для случая криволинейных стенок, правдз пугем более кропотливых, но аналогичных ,ычислений т), Уравнение (2а) должно удовлетворять следующим пограничным зсловиям.
1. Для у .= О, т. е. около стенки, должно быть: !)г=О, — '=О. дй ду ~! Н ! е те и х, Кс О!е бгепхэсй! 11! ап е!пе!п !и Пеп я1е!сНогщ!яеп р)йэа!9- ' ей!э!го~а е!пйе!аасмеп кщаг1еп Кгс!азу!!пг(ег, дне ертация, Его!!Ьгяеп 191! или Ощй!егз 1:о1у!есйп. 3., т. Ззгк стр. В"!. !91!. !'* 48. Дифереициальвов травиевие пограипчвого слоя, Тзк кзк в уравнении (1Ь) величины отдельных членов имеют порядок У, то и др проиаводнав — должна иметь такой же порядок, Таким образом до ду тех пор, пока пограничный слой принимается тонким, моэкно не учитывзть изменения давления, которое в нем происходит в направлении оси у, иными словами: данление внутри пограничного слоя приближенно равно давлению в окружающем внешнем течении.
Мснгно тапке сказать, что давление внутри пограничного с:юя кзк бы создается внешним течением. Следонательно, уравнение (1Ь) выполнило свое нззиачение, и в дальнейшем его можно больше не рассматривать. Итак, внутри пограничного слоя давление р зависит только от х, дак но не от у. Кроме того, как уже указывалось выше, вели шной— Ъх деи можно пренебречь по сравнению с —. Поэтому уравнение Навье-Стокса дэе дла погрзнячно~о слоя переходит в следу!ощее: ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 2. С приближением у к значению св скорость в пограничном слое должна перейти асииптотически в скорость внешнего течения, л так как в пограничном слое сосгавляющей скорости и мы пренебрегаем, то составляющая и доллша пер.йти в и, если через и ооозначить скорость пзраллельпо саенке на расстоянии от нее, равном толгципе пограничного слоя.
Если распределение давления вдоль кои~ура обтекаемого тела опре. зелено »кспериментально (например при помощи устройства на поверхности полого тела ряда отверстий, см. )ЧЪ 93), то скорость и определяется ил уравнения Бернулли. -, = — сопзй —— Таким образом течение жидкостй' вдоль твердого тела как бы разлагается на течение виугри в общем сл)чзе очень ГГшкого слоя, в котором сильно сказывается внутреннсс трение ркидкости )плн газа) даже с очень незначительной вязкое.гью, и на внешнее течринс, в ко~ором действие вязкости почти совершенно пе проявляется.
Прп этом давление внутри пограни чного слоя, вследствие незначительной его толщины, определяется харзктером течения вне погрзничпого слоя. Однако, эго имеет место лишь до тех пор, пока пограшшный слой действительно достаточно тонок, и, следовательно, все сделанные упроГцения, основаннГяе на пренебрежении некоторыми величпнзми, допусгимы. Между теч эти упрощения лопусчимы не всегда. Рассмотрим, например, потенциальное течение вокруг цилиндра, ось которого перпшщикулярпа к направленшо течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
