Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика (1123881), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Рассмотрим бесконечно малый этемент «кидкости, изображенный нл 32 С:нла, действующая на поверхность этого элемента, объем ~прего равен гтЪ'.=-Ыхггусг . сктадывается из трех векторов ар, Зр ар, ' сгх, г(у г)а г лу лгл сгхд г(а, 1х гуу. дх ' ду ' ' вх у.щч пои этом считать, как это принято в теории упругости, растн'нваюппге силы потожительнычи, а сжимающие — отрпцательнымп. В та:оч случае результирующая указанных трех составляющих будет равна г = ( йр-" )- зру + '-~р=') ) (. а~ ау д / !чары н 1:и:,~ пес ь и Шььагшщиальноа гвавнаг1ик лвижания вязкой жидкости 3)).
Рвздоясеине поверхностной рсзультирутпи)ейт силы нв элеиеиты иффинора напряжений, Разложим теперь векторы р„, р, р, на их прямоугольные компоненты; получим: рг=.з'л + утг +Атчю — )-,уз -',— Ат „ р =а:, +ут, )- йо,, 'Гак как в упругом теле з), находящемся в состоянии равновесия, момент относгмсльно произвольной оси должен быть равен нулю, следовательно, лошкны иметь место ргешштва: т „, гг'ч гза. г)х = т, гзх гул ау и т.
д., го +- ' ~+... кочпсн пт в направлении осп х, дз ~ Шмж грань Гззз ш х Аг Эго выражение лля А' мо,ксг быть прелсгавлзно также в сгшлующей форме я): ( д )с.== ( г +у дх д д1 д -+ й - ) з газо, + Ггт„„+ гй .з, + +уг'тз„+у)л +уйт а-)- + йт., -)-Ау ... -)- йй.,), ') Мы зшжсч ~ за~~ ътя аызола ннжсс ~стуюшего соотношения вместо жнткого ~ бъгма упругое тете пгпочг, чго чы нрслпозагаем !то напряженное согтояние ь вязкой жилкостн такомз же рола, как я напряженное состояцне в упругом теле, с тою лишь рюницсю, чгз напряженное состояние в упругом теле пгыагается пропорциональным лефорчаццям.
а в жцлкости — скоростям леформацнй. Дзя кцгкостп ннжепрнвоцшые соотношения не могут быть получены путеч перехола к слушю равновесия. зак как то. что прй разновески всякис напря- женна сленга лелаются разпымн нушо, как раз можно считаш за определение жидкости, з) Значок ознаьшег скшярное ушюкеппе величин, ич с ягзнпьо, например: д д-„ д:, . П:, == г г'г',—. = з дх * - — ' дх дх д дз у з Гз'з, — у ° гг -й ==. 0 дк ду о (сзг. дй )3 нсрьшн точа) Г)оэгочу результирукпцую поверхностную салу, отнесенную к единице объема, можно прсцсгавить в виде следующего выразкения: элементы йооинорл нлпряжьиий и ско~ ости дьоо~ наций или, если ввести оперзтор Галзильтопа Ъ,Э, Ъ Г--т — +у — +я Ък ЭР Эл в форме: уе А'= — 7ол ~о т л ку Чт» у ~т„о тт, цли, наконец, в сокращенной записи: )Э= — 7 И, (2) где и жу '«л д ы тз а Фи . 33.
Распределеаие скаростеи аазкпй жидко. «ти, каплю.еикой между лаижушейса и «еиолиижкай пластиккаии. Ъл т=)лик' р, коэфициент вязкости, есть материальная постоянная жидкости лвисящая от температуры). Ооозначим угол, на который улаеньшилсв рлоначально примой угол элемента жидкости в виде прямоугольника, ь:роз у; тогда, согласно сказанному в лтй 3, дг :. с. напряжение «дчига пропорцнонзлшш скорости деформации, причем зфиционтом пропорциональности явлнется вязкость р..
лсть выражение, определяющее напряженное состояние рассматриваемого эттемента об.ьема. Этот так называемый аффинор напряжений, связь которого с резуль1орующею поверхностною силою дается уравнением (2), является, вслед:твие соотношений -,. =-. т„„и т. д., симметричным аффинором нли тензоролт. Слсдовательио, он вполне определяется шестью величинами.
40. Связь иеяхду адеиевтпив ал)лфввора вавряясеввй и соотттетчтвующвии сиоростяив дефориицвй. После того как мы разложили результирующую поверхностную силу на ее отдельные (входящие симметричный аффинор П) элементы, следует найти связь между на. ~ряитенньзм состоянием П и скоростью деформации мт. Для этой цели чы пай тем сначала связь между отдельными элементами аффинора напряжений и соответствующими скоростями деформаций. На основании опыта мы знаем, что при установившемся течении, изображенном на фпг.
33, тан'снциальная сила на единицу плолшли верхней, движущейся пла- т панки, т. е, напряжение сдвига т ЕЬ ° вязано с градиентом скорости . ногношениелн б3 дифеРенниАльное уРАаненне движения вязкой жидкосгн Рассмотрим бесконечно малый квадрат, изображенный нз фиг. 34. Указанные на черте>ке напря>кения сдвига -. = т = — ", вызываю> опросу ук деленное секундное изменение первоначально прямого угла квпдрасш Фвг. аа. Иапряпепия сльига на бесконекпо мами кубе Фиг. аа. Иакененгы поямого угла куба поа асмсгвнеп гангенпияльнмк сил. Из фиг. 33 имеем.> Составляя ана.топшные выражения также и для -., и т„я, полу юем: / 3г> зл т.=-й(- + !!ерейдсм теперь к нормаш ным напрян аннам о, о, з .
В>>пшел> у' л' н квадрат, вычерченный на фпг. 36 более жирными лшшямн, дру>ой квадрат, с в риинами в серединах сторон перво> о квалрзта (э>от квадрат вычерчен гонкими линиял>и). Из чертежа видно, что когда большой квелоат деформируется укг>- / / р '.пг / ванным на чертеже образом, малый квадрат переходит в преоюугольнпк. '! ак кск силы, приложенные к прямоугольному тре/ угольнику, отделяемому от болыного квал/ ';., ',~'и',Ог рата диагональю, должны находиться и равновесии, то по д>/аго >аг>я>г должны дсй/ г г т вовать сжимающие и>и рас гаги пап>щис с>щы. Из фиг, 117 по.б шсм У т / / / Фы . Зб. дсфорнания палого квалра>а, понсаыыго в аольмои ьвааолг. в примо> и ьннк нол леис>вием напрялыыы сленга на бо.>ьшое квалраге.
2. Дтжп -'- — а !' 3 у =... О, г»ьу>гг>. гаме>ши ь!>г с>о:пш;синем, нлхо >н > ЭЛГМЕНТЫ АФФПНОРА НАПРЯЖЕНИЙ И СКОРОСТИ ДСФОРМА11ИЙ 69 Лпалопгчным образом из равновесия прячоугольного треугольника, отд.ляемого от большого ква./рата другой диагонатено, получаем, что зо Определим теперь, насколько диагональ квадрата утлиняется (н "и укорачивается), когда последний деформируется так, как показано на Фиг. ЗТ. Рненанесие наири кения сдви- ге и норчзвьнага напражеиин, Фиг.
За. Идчененне дзинь ннагонааей «надреза грн бесконечна назон деб арьаонн вод дейсгнвен наорвженнн еде.га. фиг. 38. Следовательно, вместо квадрата АВС/Ъ мы псиучасм ромб А//'С'Бг причем первоначально прямой угол при точке А делается равным 90о —;г. Так как /ЪП' = Е/Иг =-.. А В следа ва т ель и о, МЧ'= — Е.1/' А// а с друтой стороны: Ав! 2 АЛ ..—.- —, 2 СС' А/лр Аб' Лги 2 Вычитая е, из а,, имеем: 1 2 Если теперь квздрат, изображенный на фиг. 38, отнести к системе координат, повернутой относительно сторон квадрата на 45о, то будем иметь: Ът Ъ О„вЂ” О = 2-.„Р = 2/2-' =-.
2/2 /11 — аа). Вычитая з, из О,, находим: О " = — 2" 1 то удлинение е, диагонали АС будет равно: Аналоги1ным образом потучаеи для второй диагонали ВВ; С' С / / / / 70 диееРенцнлльное уРАВнение ДВижьнпя ВязкОЙ жидкости Но в этой системе координат дт( Зп дыт до дт дл дс ду следовательно о,--о, = 2Й ~~- — «.) „ дл дк Лналогичным образом получаем: гда дшу о„— па==2)л ( (дл дл) ' (За) (ЗЬ) Введем слелушнтее определение: среднее значение нормальных напряжений на шаре с радиусом, разным единице, представляет собой отрииательиое „давление жидкости" — р. Выполпение ьычисленнй ') дает: 1 '"З(а + у+ (4) Прибавляя к каждому из урзвнений (За) и !ЗЬ) тон десгно гда ди т д.л) ~) Для получения срслиего значения нормальных напряжений па шаро с ра..чусом, разным едиинне, необходимо прежде всего составить выражение для нормального компонента напряжения на каждом элементе Нр поверхношп шара.
для этого пало силу рттг". в общем случае иапразлепнучо к поверхности шара не по нормали, умножить скалнрно на радиус г(1г —. Н. Так кзк поверхность единичного шара равна 4к, то для искомого срелне1о значения получаем 1 1 ГГ г.раР—. Р гл(НÄЄл; ЛРУР -ь Пг:,Р,) -5 — кв илн, так как ттр —.-1гтг' -' унр, '-, и ИР. и П = Гр + грл 1- йр: ! Гà — р г -. (Нр - П), или, так как г1, 'пр: 1 3 с(Ре(г аП 4..
или„по теореме Гаусса н приникая зо внимание, что объем единичного шара 4 равен — — -: — $гтг (г': П) — 11 ~гйч (г:П) йу'= — - гйч!г: П). — г -р лр= - аж г" П = -- П- р„+ у- р, + тг =р,) =- -З (з + аг -Р а,). Так как всякое напряженное состояние можно считать одпоролпыч, если только леле «лет о лостаточно малой окрестности рассматриваемой ~очки, то окончательно полу ч ~еж связь мяжду аееиногоч ихняя;кений и деипюгом скогостай 71 и складывая затем обз урачнения, получаем, принпмзв во внимание равенство (4): ди (ди, дт~+ дм откуда 2 г ди дс , диж , ди ,дс ду аг дл Лнзлогичным образом получаем: 2 гди, ди . (1п", д а,:= р, й(',, — 1 ."')+2й (~дс ду дгг) ду и ди ди ну дг 1и д д.
дм дп ду дг ди ~1ы дл. дс дс дм ,';„! дг дг 'г '.с;» 'у у у (, дг уг г О О ( ~ г((чш О О ! р О ~ — р 1 1О г((кш О ! О р ) ( О О Йчш ! р ! — , 'О ! ~ О В векторио-аналитической форме это соотнгнпенпе записывается в следующем виде: 2 11.= й ('7 ш + ш 7) — р —:. й о(с та. 2 г д, дп дшт, и ди 41. Связь. вежду аффннорон напр»гненнй и аффннорон скоростей. После того как мы усгзпоапли связь между нзпряженным состоянием и скоростями деформзпий длв отдельных частных случаев, перейден к определению спади между обшнм слу ием нзпрюкенного состояния и обусловленным этим состоянием скоростным полем. Совершенно ~ак же, как ны составили выражение И, опредстиюшее напрюкспное состояние, можно составить аналогичное девяюшленное нырзжснис, опр делающее скоростное поле и состояпгее из часгных про.
взводных трех проекций скорости на направления координатных осей (см..гчз 40 первого тома). Так кзк аффинор напряжений, как мы видели, симметричен, то его следует связать с симме~ричштй частью аффннорз скоростей (в М 44 первого тома мы нашли, по спмчетрнчнан часы зффииора соответствует скорости растаксиия, антпснчметричная же часть дает выражение для ротации). Принньая во внимание, но сумма аффииорз и сопряженного с нич аффинора (получаемого нз первого перестановкой столбцов на место строк) представляет собой симметричный аффипор, гюлу юеч в символической записи следуюгцее соотношение: 72 дифеггнЦИХЛЬНОЕ УГАВНЕИИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ для того чтаоы убедиться, что связь между напряженным состоянием и скоростньпг полем, устанавливаемая этим уравнением, содержит в ссбс выше:ыведснные частные случаи, следует только приравнять чежлу собой выражения, стоящие В обеих частях этого уравнения на состнеы ствугощих местах; например ди 2 о —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
