Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 167
Текст из файла (страница 167)
Исключим теперь из системы равенств (45) и (47) две величины: 5, и Т,. Будем иметь )вив 5, = —, срТ, = сити — Рги, —, т и равенство (47) перейдет в следующее: чи рс,и„(т„-т„) рив„(1+ (Рг-1) и,(()„) ' (48) или, по принятым ранее обозначениям, 5! с!/2 1+ (Рг 1) и,!и„ (49) ') Та у! от О. д. Сопдниопв а! Ше аиг!асе о( а Ьо1 Ьоду ехроеед !о !Ье чдпд.— ТесЬп. Мер. Ад». Соп!. Аегоп., 19!6, ч. 2, № 272.
и) Р г а и д 11 1. Вегпег(гппн иЬег деп Ц(аппейьегдапн пп йоьг.— РЬув. 2е(!Бсь., 1928, Вд 29 ложено Т е й л о р о м ') и П р а ндтл ем '). Считая, что в этом случае можно пренебречь малой разницей в толщинах вязкого и температурного подслоев, а распределения скоростей и температур внутри этих тонких, совпадающих по толщине слоев принять линейными, будем иметь (т=сопз(=т, д=сопэ(=д, Т, — температура на внешней границе вязкого подслоя) 1 !Зв теплОмАссопеРеиОс В *пРистеииоп» пОЛОБлАсти 709 Переходя в случае плоской или цилиндрической круглой трубы от 0„и Т„к средним расходным величинам и„и Т„(при вычислении этих величин можно при числе Прандтля, близком к единице, пренебречь слабым неподобием распределений скоростей и температур в вязком подслое, составляющем ничтожную часть интервала интегрирования), будем иметь вместо (49) 51 Л)8 ! -(Рг — !)и/и (50) Полученные соотношения (49) и (50) дают искомые обобщения аналогий Рейнольдса (41) и (44) на случай малого отличия числа Рг от единицы.
Переписывая их в форме (а= 11,5) ! 2 ив 2 2 "в с„2 — = — + (Рг — 1) — — = — + (Рг — 1) — * с) 1)- ') ., и„с! = — +(Рг — !)а,~ — = — + 1 т — Р(Рг); (5!) 2 2 2 / с, с, ~Гс, тт(Рг) = сс(Рг — 1), нли ! 8 ив 8 8 8 — =-+(Р -1) ' -'=-+(Р— 1) — ' — "' — = — +а(Р)~' —., (52) Т! Л и„)„Л и* ив А 4 Ю !3 7в ра р~ 4!г 4п сг тЛ Рпс 266 Рпс 266 вязкого подслоя ив и известного по гл.
Х1П отношения и,/щ=а=!1,5. При этом появляется сохраняющая свое значение в последующем функпия Кармана д(Рг) (51), вид которой, как сейчас будет показано, изменяется с расширением области допустимых значений числа Прандтля Рг. На рис. 265 показан график (прямая 1) функции о(Рг), входящей в формулу (5!). Для сравнения там же приведены экспериментальные точки И г л а — Ф е р г ю с с о н а '). Совпадение с опытом формулы Прандтля (51) можно признать удовлетворительным только при числе Рг, близком к единице. ') Е а 8)е А., Ре г Кп а в о и й.
Оп ще сое)пс!еп! о1 Ьеа! !гапа1ег !того !Ье Ь1!сгпа! впг1асе о1 !пЬе па1!а.— Ьопаоп: Ргосееа. Йоу. 8ос, вег. А, !930, ч. !27, убедимся, что в рассматриваемом пы дело сводится к поправочному лировке аналогии Рейнольдса (41) с(Рг) аа случае малого отличия Рг от еднннслагаемому к классической форму- и ее преобразованному выражению (44). Новым по сравнению с (41) и (44) является введение промежуточной скорости на внешней границе Р 710 ГЛ.
Х!У. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ К а р м а н ') отказался от «двухслойной» схемы и поместил между вязким подслоем и турбулентным ядром, в которых соответственно !р=т) при 0(т)<5; <р=5,75!дт)+55 при т~)30, новый «переходный» (его тогда называли «буферным») слой с распределением скоростей (рис. 266) гр =11,5 !я — "+ 5 при 5< т)< 30. 6 (53) ли / ахт ои = р — (!+ — ') = р — 1(Р), лу~ ) л д = Л вЂ” [ 1 + Рг — ) =Л вЂ” [1 — Рг+ Рг~(Р)[, ЛТ Г е,! ЛТ ер ! , ) лр т=р0 — [! +5с — ) =р0 — [! — 5с+ 5с~(Р)). ос ! ~1~ лр т ор (54) Сохраняя приближенное условие т=сопз[=т, положенное в основу теории взаимодействия молекулярного и малярного обменов в переходной области от вязкого подслоя к турбулентному ядру, и присоединяя к нему аналогичные предположения а=сонэ(=д„и т=сопз(=т дополним ранее введенные универсальные масштабы скоростей и.= -~/т7р и длин !.=т/о.
аналогичными масштабами температур и концентраций вещества, положив лм л! Т.= —, с,= —. РСР"* Рсэ (55) Выраженные в частях этих масштабов ординаты у, скорости и, температуры Т и концентрации вещества с будут далее обозначаться так: Т вЂ” Т, с — см = — =т) ='р. =ф, =Х. (56) 1э т Р„Т, с„ ') Кйггпап ТЬ, ТЬе апа1ояу Ье1чгееп Ппм 16сцоп апб Ьевт 1гапз)ег.— Тгапз. Атег.
Вес. МесЬ. Епяпг., 1939, т. 61. з) Л о й ц я н с к и й Л. Г. Полуэмпирические теории взаимодействия процессов молекулярного и молярного обмена в турбулентном движении жидкости.— Труды Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.— Мл Лл Изд-во АН СССР, 1962, с. 146 †1. Введение переходной области от вязкого подслоя к турбулентному ядру расширило область применения обобщенной аналогии Рейнольдса (52). Кривая 3, соответствующая формуле такой «трехслойной» схемы К а р м а н а (рис. 266) д(РГ) = 5 ~(Рг — 1) + 2,3!ц !! + — (Рг — 1)~~, 6 очень хорошо совпала с опытными данными Игла и Фергюссона до значений числа Рг порядка 1О.
Для дальнейшего продвижения в область больших чисел Прандтля были испробованы «многослойные» схемы, что привело к сложным методам расчета. Этого недостатка лишена теория непрерывно распределенного по всей области взаимодействия молекулярных и молярных процессов переноса, представляющая расширение теории, изложенной в предыдущем параграфе, на явление тепломассообмена'). Следуя обозначениям (8) и (10), принятым в $135, перепишем систему равенств (45) в следующей форме, добавив выражение для плотности потока массы т: 711 $136. теплОмАссопееенос В пРистеннОП» подОБлАсти В этой системе трех уравнений заключены четыре неизвестные ~р, ф, т н й, а переходная функция /(и) уже определена формулой (24).
Вспоминая еще равенство (17), согласно которому будет х 2х )г я/(я) получим выражения искомых функций гР(т!), ф(т)) и Х(г!) в квадратурах в параметрической зависимости от и 1 (" и/ (и) + / (Я) „„ 1 ~" и/ (Р) + / (Я) 'р = ~ Рг (58) 1 х о ~ — +/(и)-11ь"и/(и) ~ 5с Непосредственное рассмотрение системы (58) обнаруживает, что второе и третье уравнения этой системы при Рг=5с становятся тождественными. Это соответствует сделанному ранее замечанию о количественной эквивалентности процессов тепло- и массопереноса. Кроме того, также непосредственно можно заключить о подобии распределений скоростей и избыточных температур, а следовательно, и избыточных концентраций при Рг=5с= 1.
Содержащиеся в системе (58) квадратуры при задании /(Р) в виде (24) могут быть определены численным методом. Оставим в стороне возможные здесь упрощения путем перехода к приближенным формулам демпфирующего фактора. Обратимся к вопросу о разыскании приближенного явного аналитического выражения функции Аг(Рг) и чисел Стэнтона и Шмидта при произвольных больших значениях числа Прандтля Рг, что соответствует расположению температурного и концентрационного погра. ничных слоев глубоко внутри скоростного пограничного слоя.
Используя для выражения /(й) соотношение (22), тем более справедливое, чем больше число П р а н д т л я, произведем в сиетеме (58) замену переменных (59) Тогда система (58) перейдет в следующую: ! + З!' (," г г 1+ З1с х 'Гт ) (1/Рг+ 14) (1+ 14)М с ц= —,' /(1+/)'. х г' т (ео) Деля обе части равенств (54) соответственно на т, г/ и гп и переходя к универсальным величинам (56), получим следующую систему уравнений для определения гр(г)), ф(г!) и Х(г)): )сйр 1 — Рг+ Рг/(я) сьг' 1 — 5с+5с/(я) г/х 57) ЕЧ Рг г/и 5с ЕЧ 712 ГЛ.
Х!У. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Уравнение для т опускаем, так как оно ничем не отличается от уравнения для «р, если число Шмидта 5с заменить на число Прандтля Рг. Вычисления интегралов, входящих в правые части (60), проще всего осуществить путем разложения подынтегральных выражений по степеням Г с выделением трансцендентной части к Б(х) =! — = — !и 1' ««х 1 1+х! 2+хо ! + — агс(и —, (61) х~ 2 1+х«4!/2 1 — к~2+ха 2Р2 1 — хо о затабулнрованной Б. А. Б ах метье вы м и широко применяемой в гидравлике '). Получим «р= 8,06(1+ 0,3/о — 0,291!г+ 0,264!Га — ...), «Р=8,06~(2,5! — 0,225!о+0,09!о —,,) 1- + — (1,125! — 0,1625!а) + ' -1- (! — — ' — — ''2 ) Ргч Б (Р„'/ Г) ) Рг Рго Рг Рта / (62) т) =8,06(!+ 0,5!о — 0,125!о -1- ...), Используем это решение в области 0<т1<г)„0<!<!„соответствую- щей вязкому подслою, верхнюю границу которого Ч, найдем из усло- вия, чтобы касательная, проведенная в этой точке к профилю скоростей «р [первое равенство системы (60)], прошла через точку т1,=30, «р,= =13,63 начала логарифмического профиля скоростей, принятого по уточненной формуле Никурадзе (9 126) в виде «р=5,75 1д т1+ 5,24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
