Л.Г. Лойцянский - Механика жидкости и газа (2003) (1123865), страница 165
Текст из файла (страница 165)
Простой, рационально обоснованной модели явления перехода от ламинарного движения в «вязком подслое» к чисто турбулентному в '! Величины й И и связанные с ними понятия «переходной функции> и «локальяого рейнольдсова числаз были позже использованы в работе Мзллора (Ме1- !ог б. 1.. Тье епесм о( ргевзпге Кгаб!еп(з оп 1пгЬп!еп1 Нож пеаг а зшоо(Ь ча1!.— 2опгп. Р!иы Месь., !966, ч. 24, раг1 2, р.
265 — 274) без ссылок на доклад, сделанный нами на Х Международном конгрессе прикладной механики в г. Стреза (Италия) в !960 г, н опубликованный в Трудах Конгресса (1о!1з1апз(г! (.. $пг !ас1!оп гес(- ргоппе де 1а 1гапзш!зз!оп шо!есп!а!ге е1 пю!а!ге бапз Гесои!ешеп1 1пгьп!еп1.— !п: Ргосеед, о! (ье 1еппп !п(егпа1. Сопяг.
о( арр1. гпесь.— Иа!у: 6(геза, 1960; Е!зч!ег Рпьь Сошр. Ашз(егбаш.— Ыем-тог(г, 1962, р. 202 — 204) за шесть лет до появления работы Мзллора. з)Этому случаю будет также соответствовать движение в переходном участке в безградиеитиом (г(р/г(х=о) турбулентном пограничном слое. 700 ГЛ. Х1Ч. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ !прях)0, з!йп«= 0 прн «=О, — 1 прн х(0, приняв 1(Р) 2 0+1-)+20- й)з!й"(Р Р Р). (18) Действительно, прн этом 7(Р)=~,(Р) прн Р(Р н з!йп(Р— Роз)= — 1, (19) у(Р) =у„(Р) прн Р) Рор н з!йп(Р Р, ) От разрывного определения «переходной» функции 1(Р) по формуле (18) можно перейтн к непрерывному, вспоминая, что по определению функции 3!яп х будут существовать равенства ') з!йпх= 1пп 11 — агс1яах), ! 2 а ш и з!Рп«=1!шег!(ах), ег11 = = ') е-4'с(9, а-ооо -~л, о з)япх=1!ш 1)!(ах) н др.
(20) Опустив знак предела, получим приближенные исимптотические выраження функции 3!ппх прн больших а в виде непрерывных функций. Так, сохранив прежние обозначения для функций уо(Р) н 1„(Р) н использовав, например, последнее равенство в системе (20), будем иметь следующее непрерывное выражение для «переходной» функции') ЙР)= — Уе(Р)+1 (Р))+ — У (Р) — 1з(Р)) 01(а(Р— Р«Р)) (21) В этом выражении имеются два свободных параметра: Р„н а. Распоряжаясь нми, можно получить различные приближенные выражения «переходной» функции. Сохраним для Роз значение Р„,=11, указанное Мэллором. Увеличение параметра а прнведет к сужению «переходного» участка. Примем а=100 н сохраним для больших Р ранее упомянутую аснмптотнку 7„(Р) (11).
Что касается аснмптотнкн Го(Р) для ') Лойцянскнй Л. Г. Демпфируюгцнй фактор к формуле Праидтля для пе. реходного участка турбулентного пограничного слоя.— Инж.-физ. журнал, 1983, т. Х1Ч, ХЕ 6, с. 924 — 932. з) См., например, Кори Г., Кори Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— Мх Наука, 1977, с. 832. ') В статье, цитированной в сносхе ') на этой странице, вместо 1Л была нспользо. вана первая в системе (20) функция (2/и) агс13, что не отразилось сколько-нибудь заметно на расчетах. «ядре» течения пока не существует.
Оставаясь в рамках полуэмпирического подхода к описанию этого процесса, определим его двумя величинами: положением условной «точкн перехода» Р=Р»а н мерой столь же условного с количественной стороны понятия о протяженности «области перехода» в данном сечении турбулентного пограничного слоя'). Обозначим через 1,(Р) значение «переходной» функции в переходной области (Р<Р„Р), а через 1„(Р) ее значение в «ядре» течения, т. е. вне переходной области (Р>Р, ).
В качестве грубого приближения, основывающегося только на заданнн положения «точкн перехода» Р Р„„можно определить 1(Р) прн помощи разрывной функции $ !55 «ПРИСТЕННАЯ» ПОДОБЛАСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 701 малых Р, то определим ее выражением /е (Й) = 1+ уР' (22) оправданным экспериментально «законом четвертой степени» убывания аинематического коэффициента турбулентной вязкости ч, с приближением к твердой стенке, который зададим формулой — = уи'Ч', (23) а демпфирующий фактор Р(Й) по первому равенству (1?) будет равен В(Р) = — (1+ 0,01Й) + — (1 — 0,0! Й) !)га(Р— 11). (25) Совокупность последних двух равенств в соединении со вторым равенством системы (17) представляет собой параметрическое определение переходной функции / и демп- Авв фирующего фактора Р г как функций г).
На рис. дуу 263 приведен график д ' до ..д Р(г)) в виде первой кривой слева. Эту кривую, йсв судя по близости «внешней границы» пере- дуу ! ходного участка к экспериментально оправданному значению тн гао в 35, можно принять как вполне удовлетво- Рис. 263 ряющее опытным данным представление демпфирующего фактора, что подтверждается расчетом профиля скорости, экспериментальный вид которого хорошо известен (см. далее рис.
264). Некоторая сложность параметрического задания переходной функции и демпфирующего фактора обычно не служит препятствием для их численного определения. Все же стоит указать и явную форму этих зависимостей, упрощающую практические вычисления. Наибольшее распространение получила формула В а н - Д р и с т а Р=[! — ехр( — г)/А.) )', А.=26, (26) Л 30 представляющая экспоненциальное выражение демпфирующего фактора; здесь А,— эмпирический коэффициент, а г)=уп./ч, о.=ргт„/р.
Заслуживает внимания тот факт, что эта формула выведена на основе соображений, далеких от полуэмпирических теорий турбулентности. ') Ре)а»!ег й. Апа1уыа о1 1пгЬо!еп1 Ьеа11гапа!ег, гпааа 1гапыег апв 1г)с1!оп 1п загоо1Ь 1пЬеа а1 ШяЬ Ргап611 апд 3сьтм1 ппгпЬега — МАСА Рер., 1969, ч.
1210. г) Н а и г а 11 у ТЬ. 3!иву о1 1пгЬп!епсе с!оае 1о а аопд гча!!.— РЬуа. о1 г1п!6», барр)епгеп1, 196?, р. 126 †1. где у=0,0092 по опытам Да йслер а') и у=0,0125 по опытам Ханратти'), 55=0,4, а г) — универсальная ордината, равная уп./и. Примем для у округленное значение у=0,01. «Переходная» функция /(Р), согласно (2!), определится интерполяционным выражением /(Й) = — (2+ Р + 0,01Й') + — (Й вЂ” 0,01Ра) !)г а(Р— 11), (24) 2 2 702 ГЛ.
ХЕЛ МЕТОЛЫ РАСЧЕГА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Принятая Ван-Дристом модель покоится на аналогии между двумя совершенно различными по природе явлениями: демпфированием вяз. костью турбулентного пульсационного движения и ламинарным нестационарным движением вязкой жидкости вблизи совершающей гармонические колебания безграничной пластины. Прн этом, основываясь на простых соображениях размерности, Ван-Дрист сопоставил характерную для турбулентного движения «динамическую скорость> о. с квадратным корнем из произведения кинематического коэффициента вязкости на круговую частоту колебаний пластинки.
Предложим другой вывод формулы Ван-Дрнста (26), основанный иа изложенных выше представ. леннях о влиянии вязкости на турбулентное трение. Особенно отметим, что в этом выводе исчезает необходимость введения новой эмпирической константы А., а указывается ее выражение через общепринятые константы турбулентности н н 7. Примем переходную функцию 1(Р) и выражающийся через нее демпфирующий фактор 71(Р) в форме 7(Р) =-1+ Р (! — ехр [ — (7Р)нл))", (27) Р (Р) = (1 — ехр [ — (уР)'~"))", удовлетворяющей при любых и асимптотическим формулам (11) и (22). Если вторую строку равенства (17) заменить соотношением Р=х'т~', следующим из нее при [(Р) =1, то по (27) при П=2 получим выражение демпфирующего фактора Р(т!) =[1 — ехр( — х)(7з))]', (28) совпадающее с формулой Ван-Дриста (26), если в ней положить А.=11(н~~), (29) что при н=0,4 н 7=0,0092 подтверждает принятое Ван-Дристом значение константы А.=26.
Приведенное рассуждение дает новое освещение формулы Ван-Дриста и позволяет выразить эмпирическую константу А. через основные константы турбулентности н и 7. Заметим, что при и=! переходная функция имеет вид 1(Р) = 1+ Р [! — ехр( — 7Р)), (30) приводящий при том же выборе Р к выражению демпфирующего фактора 17« (т!) = 1 — ехр ( — т!'7А„'), (3!) удовлетворительно описывающему распределение скорости во внутрен. ней части переходной области, но дающему значительное искажение перехода к логарифмической прямой в области турбулентного ядра. На рис.
263 приведены сравнительные графики функций Р(9), 71>.> (т!) и А),(т!). Отличие между первыми двумя нз инх мало сказывается на профиле скорости в переходной области благодаря интегральному определению [см. далее формулу (34) ) этой скорости. Несмотря на физическую неубедительность модели Ван-Дриста и на определенный произвол в выборе формы переходной функции (27) н особенно соотношения Р=н'и', связанного с предположением 1(Р) =1, расчеты с использованием формулы Ван-Дриста вполне удовлетворительно согласуются с опытом. Можно лишь отметить небольшое отклонение кривой (26) от опытных точек внутри переходной области и несколько запоздалый переход на логарифмическую прямую, расположенную чуть выше экспериментальных точек (см. штриховую кривую на рис.
264). в |вв. пгнстеннля> подовлАсть пограничного слоя Формулу Ван-Дриста используют при расчетах как безерадиентных, так и градиентных пограничных слоев, производя при этом замену входящего в определение и. касательного напряжения трения на стенке т текущим его значением в сечении пограничного слоя т(у). Такое обобщение формулы Ван-Дриста или изложенных ранее параметрических формул непосредственно следует из равенства (16), в котором стоящий справа член т(у) может быть заменен существующими приближенными выражениями распределения трения по сечению пограничного слоя'). Пользуясь так или иначе вводимым демпфирующим фактором, можно взамен рассмотрения распределений скорости по отдельности в областях вязкого подслоя и турбулентного ядра течения получить непрерывное распределение скорости в сечениях всей пристенной подобласти от 20 10 Рис.
264 твердой стенки до внешней границы этой подобласти. Для этого, вспоминая выражение полного напряжения трения т, примем во внимание равенства (3) и (4) и удовольствуемся в пристеночной подобласти приближенным равенством т=т„. Тогда т представится в виде суммы «и в Г«иув т=тм =(в — + Р1' ~ — ) нли, переходя от ! к 1 =му и пользуясь демпфирующим фактором (7), т =р — +рх у 0(у) ! — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
