Л. Прандтль - Гидроаэромеханика (1123861), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Такое предположение значительно упрощает задачу, так как позволяет во всех вычислениях сохранить только величины самого низкого порядка малости. В частности, при рассмотрении углов, образуемых линиями тока относительного течения с направлением движения, можно вместо синуса и тангенса брать дугу, а косинус считать равным единице. Для определения полн скоростей, вызванных крылом, заменим последнее и сбегающую с него поверхность раздела системой вихрей. Подъемная сила всегда связана с циркуляцией, а именно, согласно теореме Жуковского, которая применима и здесь, подъемная сила на единицу длины равна А = рГо, где Г есть циркуляция (см. ~11 и 13 гл.
11; другой вывод этого соотношения будет дан на стр. 289). Следовательно, крыло действует на Рис. 166. Упрощенная система вихрей, заменяющих крыло Рис. 167, Уточненная сис- тема вихрей, заменяющих крыло части жидкости, более или менее удаленные от него, как отрезок вихревой нити с напряженностью (циркуляцией) Г.
Однако к этому вихрю, заменяющему собой крыло, теорема Гельмгольца о том, что вихрь состоит все время из одних и тех же частиц лсидкости, неприменима. Поэтому такой вихрь принлто называть лесущиж вихрем, в отличие от свободного вихря, удовлетворяющего теореме Гельмгольца. Наиболее простой вихревой системой, заменяющей крыло конечного размаха, будет сястема, состоящая из одного несущего вихря с напрлженностью Г (рис. 166) и двух параллельных свободных вихрей с такой >ке напряженностью, сбегающих с концов крыла и простирающихся до бесконечности (необходимость последнего обстоятельства вытекает из теоремы о том, что вихревая нить нигде внутри жидкости не может окончиться и должна состоять все время из одних и тех зке частиц; эта теорема имеет чисто кинематический характер и поэтому одинаково приложима как к свободному вихрю, так и к системе, состоящей из несущего и свободных вихрей).
Однако в действительности подъемная сила отдельных элементов (профилей) крыла по мере приближения к концам крыла уменьшается, поэтому указанная вихревая система является лишь первым приближением. Для получения системы вихрей, более точно заменяющей крыло конечного размаха, следует наложить друг на друга очень большое число упрощенных систем, каждая из которых имеет бесконечно малую напряженность н свой размах (рис. 167).
Такая система вихрей дает приближенную картину поверхности раздела, сбегающей с задней кромки крыла. однако без учета тех изменений, которые эта поверхность испытывает по мере удаления от крыла вследствие возрастающего свертывания. Чем меньше подъемпал сила. тем медленнее происходит свертывание поверхности раздела, и в предельном случае очень малой подъемной силы этим свертыванием прн определении поля скоростей вблизи крыла можно полностью пренебрегать.
Длн решения нашей задачи в ее упрощенной постановке надо определить около самого крыла только ту составляющую скорости, вызванную крылом, которая параллельна подъемной силе. Заменив крыло упрощенной системой вихрей, изображенной на рис. 166, мы получим для середины крыла следующий результат. Вихревая нить с напряженностью Г, простирающаяся вперед и назад от крыла до бесконечности, вызывает на расстоянии о, от себя скорость Г ш =— 2яа (см. 112 гл. 1Ц. Вихрь, простирающийся только назад от вертикальной плоскости, проведенной через крыло, вызывает в этой плоскости на расстоянии а от себя скорость, равную, из соображений симметрии, половине только что указанного значения, т.е.
Ю= Г 4яа' В середине крыла скорости., вызванные вихрями, сбегающими с правого и левого концов крыла, складываются; так как здесь а = —, где 1 есть размах крыла, то после слолгепин мы получим: ше=2. Г Г я1 4я- 2 На основании теоремы Жуковского мы имеем: Г= —, А рЬ' поэтому А шо = 12 ' Начиная от середины крыла к его концам, скорость шо, как легко убедиться, возрастает. достигая на концах крыла бесконечно большого значения.
Такой результат означает не что иное, как недопустимость предположения о сохранении подъемной силой постоянного значения па протяжении всего размаха. Более точная теория., исходящая из рассмотрения уточненной системы вихрей, изображенной па рис. 167, показывает, что скорость н~о получается постоянной по всему размаху только в том случае, если распределение подьемной силы вдоль размаха изображается поло- .' 4 ~~ ~ ~~~~ ~ виной эллипса (рис. 168). Так как при таком распределении подъемной силы циркуляция в середине крыла в к раз больше своеРис.
168. Эллкптк- 4 го среднего значения и, кроме того, отдельные ческое распределение вихревые нити в среднем лежат ближе к сере- подъемной силы дине крыла, чем в случае упрощенной системы вихрей, то скорость ю должна быть больше полученного выше значенил юо. Выполнение интегрированил для всех вихревых нитей дает для скорости ю значение: ю = 2юр = 2А и1г (92) ю 2А А ь8Ю = и „„г1г 1г (93) Так как скорость ю при эллиптическом распределении подъемной силы остается, как было сказано, постоянной по всему размаху, то остает- сл постоянным и угол у.
Поэтому в данном случае непосредственно применимо соотношение (91), которое теперь принимает вид: %= крл1г ' (94) Это сопротивление, возникающее прн движении крыла конечного размаха в жидкости без трения, называется индуктивныл~ сопрет ивлениел~ (такое название дано ввиду формальной аналогии рассматриваемого явления с электромагнитной индукцией).
Скорость ю, вызванная крылом, называетсл индуктивной скоростью. Более подробное исследование показывает, что индуктивное сопротивление. определяемое формулой (94) в виде функции от подъемной силы А, лвляется минимальным при заданном размахе й При всех других распределениях подъемной силы. Эта скорость, складываясь со скоростью и набегающего потока, при- водит к отклонению его от первоначального направления иа угол ьг, определяемый из соотношения отличающихся от эллиптического, индуктивное сопротивление получается больше1.
Минимальное свойство формулы (94) связано с постоянством индуктивной скорости вдоль размаха. Так как функция вблизи своего минимума изменяется обычно незначительно, то формулу (94) можно применять как приближенную формулу также для других распределений подъемной силы, при условии, что они не очень отличаются от эллиптического распределения. В частности, это вполне допустимо для прямоугольного крыла с не очень малым относительным размахомз.
Формула (94) показыяает, что индуктивное сопротивление, связанное с возникновением подъемной силы, тем меньше, чем на большем размахе распределена подъемная сила. Именно по этой причине крылья всех самолетов имеют размах, значительно больший, чем ширина крыла. Последняя не входит в формулу (94), что означает следующее: величина индуктивного сопротивления зависит от состояния потока позади крыла, но не от того, как это состояние создается: на малой ли ширине большими разностями давлений или на несколько большей ширине малыми разностями давлений.
Исследование возмущенил, остающегося позади крыла при его движении, приводит к другому, весьма нагллдному выводу формулы (94). Быстро двяжущееся крыло, встречая на своем пути в все новые и новые массы воздуха, в течение очень короткого времени давит последовательно на каждую из этих масс. Вместо этого мозкпо представить себе, что крыло давит мгновенно иа массу воздуха па протялсении в всего своего пути подобно доске, имеющей размах 1 и ширину э и получающей резкое ускорение вниз.
При таком мгновенном давлении возникает плоское потенциальное течение (см. 310 и. с) гл. 11)., причем поверхность, на которую действует давление, превращается в поверхность раздела. Картина такого течепил пзобраткена на рпс. 169. Ударные Подчеркнем еше рвз, что здесь имеется в виду минимум длл заданного размаха. Увеличение размаха при сохранении распределения подъемной силы ведет к дальнейшему уменьшению индуктивного сопротивлснил. Конечно, на практико размах крыле ие может быть сделан особенно большим (главным образом вследствие ограниченной прочности материалов). зПодробные сведснил об индуктивном сопротивлении длл простых (монаплвнных) и сложных (бипланных) крыльев можно найти в книге: Ю р ь с в В.
и, Экспериментальная азродинамикв, ч. 2, Москве 1933: см. также книгу: Голубел В. В., Теория крыла аэроплана конечного размаха. Труды ЦАГП. вып. 1ОЗ, Москва 1931. Рис. 169. Течение позади крыла давления определяющие зто течение, можно связать, с одной стороны, с потенциалом скоростей, в с другой стороны — с распределением подъемной силы. Выполняя вычисления, мы придем опять к соотношению (94). Вычисления производятся следующим образом. Если пренебречь квадратами скоростей, вызванных возмущением течения, то уравнение (39) гл. 11 примет вид." — + — = сопзс = —, дФ р р« д1 Р Р где р есть невозмущенное давление в бесконечности.
Интегрируя по времени от начала удара до его конца и принимая, что до удара везде было Ф = О, мы получим: и РФ+/(р-р )41=9. е Обозначим давление лод поверхностью раздела во время удара через р„, а над полерхностыо раздела — через ры тогда мы будем иметь: и (Рч Р )41 = Р(Фи Фа) = Р1'. е Ударная сила на участке поверхности раздела длиной Л или, другими слова- ми,количество движения на отрезке пути длиной Л равно ээ ж ~Лг)У~Ц(7„— р,)41~ = рЛ~Г49. Подъемная сила представляет собой приращение во времени этого количества движения. Следовательно, имея в аиду, что — = э, мы получим: НЛ юй ээ А5 ро1ГЬ.
э1 (95) Г49 = Ггюы (96) э! где Рэ есть некоторая площадь. Подставляя это значение интеграла в равенство (95), мы получим: А = рР) эшы (97) Пля определения индуктивного сопротивления Иг; воспользуемсн законом сохранения энергии. Работа индуктивного сопротивления в единицу времени равна Иг; о, а работа, совершаемая в эту же единицу времени подъемной сиш1 лой для перемещения поверхности раздела, равна Аш = А —. Приравнивая 2 ' обе зти работы и подставляя для скорости ш~ ее значение, определяемое из соотношения (97), мы получим: Аэ 4з 2,оср', 4раРг' (98) В случае прнмоугольного крыла, для которого распределение циркуляции Г вдоль у имеет внд полуэллипса, величина гг равна площади окружности, описанной на размахе 1 как на диаметре, т. е.
-1 . Внося это значение Ег и э 4 Это соотношение выражает собой не что иное, как теорему 714уковского в применении к крьшу конечного размаха. Скорость шм с которой поверхность раздела опускается вниз после удара, примем для простоты постоянной, т.е., согласно сказанному по поводу формулы (94), поставим задачу об отыскании минимального индуктивного сопротивления. Эта скорость равна удвоенной индуктивной скорости ш (см. приближенный расчет, сделанный на стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
