А.В. Финкельштейн, О.Б. Птицын - Физика белка - Курс лекций с цветными и стереоскопическими иллюстрациями и задачами (1123404), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Массу можно оценить как m = ρV, где ρ — плотность частицы, а V — ее объем. разумно принять, что все линейные размеры частицы примерно равны D, так что V ≈ D3. силу трения Ffrict можно оценить по закону стокса:Ffrict = –3πDηv, где v — скорость движения частицы, а η — вязкость среды. Уравнениеm(dv/dt) = –3πDηv(8.18a)задает характерное времяtkinet ≈ m/(3πDη),(8.19)время затухания движения под воздействием трения о среду. Его легко оценитьчисленно. так как m ≈ ρD3, а 3π ≈ 10, то tkinet ≈ 0,1ρD2/η. И, поскольку плотностьρ ≈ 1 г/см3 у всех молекул, с которыми мы имеем дело, а вязкость воды η ≈ 0,01 г/(см. с)[посмотрите в справочнике], тоtkinet ≈ 10–13с (D/нм)2 ,(8.19a)где (D/нм) — диаметр молекулы, измеренный в нанометрах.Значит, кинетическая энергия малой молекулы (D ≈ 0,3 нм) рассеется за ~10–14 с,небольшого белка (D ≈ 3 нм) — за ~10–12 с, а большого (D ≈ 10 нм) — за ~10–11 с.Итак: типичное время — пикосекунда.
Еще быстрее рассеется кинетическая энергия при трении же о более вязкое, чем вода, окружение (например, о мембрану).конечно, без энергии наша частица не останется: молекулы среды, налетая совсех сторон на нашу молекулу, вернут ей ее энергию. Но вот направление своегопервоначального движения она полностью забудет — за пикосекунду…Примечание. Вышеприведенная tkinet относится к водному окружению. Вязкостьклеточного окружения молекул белков, по имеющимся данным, примерно на порядок выше.
Поэтому в таком окружении tkinet примерно на порядок ниже (см. (8.19)),чем в чистой воде.теперь составим себе представление о диффузионном смещении молекулы.Поддерживаемая теплом кинетическая энергия любой молекулы, mv2/2, составляет в среднем, как мы знаем, величину порядка kBT. Молекула помнит на-114правление своего движения в течение времени tkinet. За это время, время одногошага, она пройдет расстояние ∆l ~ vtkinet. Потом направление ее движения поменяется, и она сдвинется примерно на то же расстояние ~∆l в непредсказуемуюсторону.
При этом средний квадрат расстояния молекулы от исходной точкирастет пропорционально времени. действительно, если за n шагов молекуласдвинулась на расстояние ln в какую-то сторону, то за n +1 шаг она сдвинетсяна расстояние ln+1 = ln ± ∆l. При этом (ln+1)2 = (ln ± ∆l)2 = (ln)2 ± 2ln∆l + ∆l2. то есть,в среднем, (ln+1)2 = (ln)2 + ∆l2, так как средняя величина члена ±2ln∆l равна нулю.А так как за время t молекула делает t/tkinet шагов, то средний квадрат ее смещенияза это время составляет lt2 = (t/tkinet) ∆l2 .так как ∆l ~ vtkinet, то lt2 ~ (t/tkinet) (vtkinet)2 = t (v2tkinet) .А так как tkinet ≈ m/(3πDη), и mv2/2 ≈ kBT, то lt2 ~ t [kBT/1,5πDη] .Полученный нами ответ — приблизительный: мы ведь много раз пользовалисьзнаками «≈» («приблизительно равно») и «~» («равно по порядку величины»).Однако, как всегда бывает в таких случаях, мы получили ответ, близкий к точному(который требует гораздо больше выкладок).
точный ответ — таков:lt2 = t [2kBT/πDη] ≡ t⋅[6Ddiff].(8.20)Здесь Ddiff = kBT/(3πDη) – вычисленная Эйнштейном величина коэффициентадиффузии шара диаметром D в среде с вязкостью η при температуре T.Характерное время диффузии — это время, за которое молекула сдвинется нарасстояние порядка собственного размера D. Зная формулу (8.20), оценить это время очень легко:tdiff = πD3η/2kBT .(8.21)И, поскольку вязкость воды η ≈ 0,01 г/(см с), a kBT ≈ 600 кал/моль при комнатной температуре, то.tdiff ≈ 0,4 ⋅ 10–9с (D/нм)3 ,(8.22)где D/нм — диаметр молекулы, измеренный в нанометрах.Можно показать, что за то же примерно время происходит переворот молекулы(это соответствует смещению полюса молекулы на расстояние ≈D).Примечание. Вышеприведенная оценка времени диффузии относитсяк водному окружению.
Вязкость клеточного окружения молекул белков, поимеющимся данным, примерно на порядок выше. Поэтому в таком окружении всехарактерные диффузионные времена примерно на порядок выше (см. (8.21)), чемв чистой воде.Итак, мы можем заключить, что характерное время диффузии молекулы в воде — наносекунды: это — время, закоторое молекула, испытав115массу столкновений с молекулами среды, сдвинется на расстояние порядка собственного размера и перевернется.Процессы, происходящие много более медленно, заставляют предполагать существование на их пути свободно-энергетического барьера.
В случае межмолекулярных реакций (или реакций между отдаленными кускамицепи) такой барьер может создаваться потерей энтропии при сближениичастиц, вступающих в реакцию.Лекция 9свободная энергия инициации и элонгации α-спирали. теоремаЛандау и не-фазовость перехода спираль-клубок. размер кооперативного участка при переходе спираль-клубок. стабильностьα-спирали в воде. стабильность β-структуры в воде. скорость образования β-структуры и α-спирали. Что такое «клубок»?Обсудим теперь, зная базовую физику, стабильность вторичной структуры и кинетику ее образования.
сегодня я буду говорить только о гомополипептидах — о полипептидах, состоящих из одинаковых аминокислотных остатков. Начнем с α-спирали. Первая водородная связь в ней (сО) 0 — (HN)4фиксирует конформации трех остатков — 1, 2, 3; следующая водороднаясвязь (сО)1 — (HN) 5 дополнительно фиксирует конформацию толькоодного остатка — остатка 4; связь (сО)2 — (HN)6 дополнительно фиксирует остаток 5, и т.
д.Значит, если в спирали фиксировано n остатков, то их фиксирует n – 2водородные связи. рассмотрим свободную энергию образования такойспирали из клубка в водном окружении («клубок» — это полимер без фиксированной структуры и без взаимодействия дальних по цепи звеньев).Эту свободную энергию можно записать как∆Fα = Fα – Fклуб. = (n – 2)fH – nTSα = –2fH + n(fH – TSα) .(9.1)Здесь fH — свободная энергия образования водородной связи и сопутствующих ей взаимодействий в α-спирали (вы помните, что fH — не просто117энергия, как было бы в вакууме: в нее входит и энергия, и энтропия перестроек водородных связей в водном окружении), а Sα — потеря энтропиипри фиксации одного остатка в спирали.Вы видите, что в ∆Fα есть два члена.
Один (–2fH) не зависит от длиныспирали; величинаfinit = –2fH(9.2)традиционно называется свободной энергией инициации спирали (насамом деле, finit — суммарная свободная энергия обеих границ спирали склубком; она учитывает и инициацию, и терминацию спирали). другойчлен, n(fH – TSα), прямо пропорционален длине спирали; величинаfel = (fH – TSα)(9.3)называется свободной энергией элонгации спирали на один остаток.
Вобщем виде,∆Fα = finit + n.fel .(9.4)При этом отношение вероятности чисто спирального состояния цепи изn остатков к ее же чисто клубковому (и начисто лишенному спиральныхпримесей) состоянию, равноexp(–∆Fα/kT) = exp(–finit/kT) [exp(–fel/kT)]n = σsn .(9.5)Здесь я использовал общепринятые обозначения:— фактор элонгации спирали: s = exp(–fel/kT);— фактор инициации спирали: σ = exp(–finit/kT).Ясно, что σ<<1, так как σ = exp(–finit/kT) = exp(+2fH/kT); а свободнаяэнергия водородной связи — большая отрицательная величина, порядканескольких kT.Величина exp(–∆Fα/kT) = σsn — это просто константа равновесиямежду двумя состояниями («α» и «клубок») для куска цепи, состоящего изn звеньев. Прежде чем говорить о том, как экспериментально определяются величины σ и s, — выясним общий вопрос о том, как образуется спираль приизменении условий среды (температуры, растворителя и т.
д.) — переходом все-или-ничего или постепенно?Поначалу кажется, что такая отличная от клубка структура, как спираль, должна «вымораживаться» из него путем фазового (т. е. все-илиничего) перехода — как лед из воды...Однако на этот счет есть теорема Ландау, которая гласит, что в системе,где обе фазы одномерны, — фазовый переход первого рода невозможен.Попытаюсь объяснить эту теорему.118Прежде всего — что значит «одномерность». Это значит, что свободнаяэнергия, и прежде всего размер границы, «стыка» фаз не зависит от размера кусков этих фаз.
В этом смысле и спираль, и клубок в полимере —одномерны. рисунок 9-1 поясняет, что граница (стык) спирали и клубка независит ни от длины спирали, ни от длины клубка, в то время как поверхность, граница трехмерной фазы (например, льдинки в воде) зависит от ееразмера. соответственно, свободная энергия границы спирали и клубкане зависит от их длин, а свободная энергия поверхности трехмерной фазырастет как n2/3 с ростом числа n вовлеченных в нее частиц.Рис. 9-1. сравнение одномерной (клубок со спиралями) и трехмерной (льдинка вводе) систем. размер стыка спирали и клубка не зависит от их длин; поверхностьтрехмерной льдинки зависит от ее размера теперь — что значит «происходит как фазовый переход первого рода».Это значит, что при температуре перехода стабильной может быть либоодна, либо другая фаза, но перемешивание фаз (например, льда и воды)ведет к повышению свободной энергии, и потому нестабильно.
Здесь васне должна вводить в искус картина плавающего в воде льда: при любойтемпературе такое состояние неустойчиво (из-за повышенной свободнойэнергии на границе воды со льдом), и со временем лед или растает, илиохватит всю воду — конечно, если нет тока подземного тепла, течений идругих неравновесных вещей...Выгодно ли сосуществование фаз в трехмерной системе? Нет. Почему? Обратимся опять к рис. 9-1. рассмотрим температуру, где безграничная вода и безграничный лед имеют равную свободную энергию (это иесть условие «точки перехода»). Если в воде плавает льдина из n молекул,свободная энергия границы пропорциональна ξn2/3, где n2/3 — характерное число пограничных молекул, а ξ > 0 — свободная энергия границы врасчете на одну из них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
