А.Н. Матвеев - Атомная физика (1121290), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Очевидно, что при отсутствиипериодического потенциала (Еп = 0)решение уравнения (66.1) представляется в виде плоских волн4,k (г) = А е,к г(66.2а)с собственными значениями энергииЕк= Л2к2/(2т),принадлежащими непрерывному спектру. Тремя квантовыми числами, характеризую щими состояние, являю тся проекции кх, ку, кг. Видно, чтоэнергия вырождена по направляющимвектора к.
Функция (66.2а) описываетне зависящую от времени часть волнде Бройля (8.7) для электрона, обладающего энергией (66.26). Скоростьэлектрона на основании (8.17) равна(66 .2 6 )(66.2в)Поэтому при решении уравнения(66.1) в общем случае важно найтиЕ кх > к ’ к2 как функцию от кх, ку, кг.Это Позволяет вычислить скоростьэлектрона в кристалле.Обозначим Rj. вектор трансляциирешетки.
Условие совпадения пространственной периодичности потенциала и решетки имеет видЕп(г + R,) = Е М(66.3)Эта периодичность потенциала в уравнении (66.1) должна соответствую щим образом отразиться в периодичности решения 'Р к(г). Теорема Блохаутверждает, что наиболее общее решение одноэлектронного уравнения Шредингера (66.1) в кристалле имеет вид¥ к(г) = е‘к гфк(г),(66.4)где фк(г) обладает такой же пространственной периодичностью, что и потенциал (66.3), т.е. ф к(г + R;) = ф к(г).Э то означает,что волновая функция электрона всоседних ячейках кристалла отличается фазовым множителем ехр(гк т).Следовательно, найдя Фк(г) в пределах одной ячейки кристалла, мы определим волновую функцию для всегокристалла.Одномерная модель кристалла Кронига-Пенни.
Чтобы выяснить основные свойства решения уравнения336 13. Э лектронны е свойства твердых телБудем искать(66.4) в виде'Pk = eto9k(x),решениеуравнения(66.6)где фк (х) удовлетворяет условиюфк(х) = ц>к(х + а + Ь). Подставляя (66.6)в (66.5), находимd 2mdm2т+ 2ik— + - г (dxdxhЕ к - E J Ф = 0,(66.7а)100П отенциальные ямы в одномерной моделикристалла К ронига - ПеннигдеЕ к = П2к 2/ ( 2 т ) .(6 6 .7 6 )В потенциальной яме, где Еа = 0 (например, в области 0 < х < а), решение(66.7а) имеет виддам +живф* = Л е ф“ ‘°х + В е ~ ‘^ +к)х,х = (2 т Е / Л 2) 112.(66.8)В области потенциального барьера а < х < а + b решение может бытьзаписано следующим образом:ц>к = C e ® ~ ik>x + De® + ik)x,(66.9)где101Графическое решение уравнения (66.9)(66.1) при условии (66.3), рассмотримпростейший одномерный случай последовательности прямоугольных потенциальных барьеров и ям (рис.
100),который допускает точное аналитическое решение.Д ля одномерного периодическогопотенциала Кронига и Пенни (рис. 100)уравнение Ш редингера имеет видd 2tP2т-Г Т + - 1 (Е-Е„)Ч> = 0,dx(66.5)гд е0 (в каждой потенциальной яме),Я „ =1/22тР = т г(£пЕ ао (в каждом потенциальном барьере).Е)Постоянные А, В, С, D вы бираю тся так, чтобы функция ф и ее производные ёф /dx были непрерывны.
Сучетом условия периодичности функции ф это дает систему уравненийА + В = С + D,/ (х — к) А — / (х + к) В == (Р — ik) С — (Р + ik) D,/4е'(х - *)“ + Be~it-x+k>a = C e ~ ^ ~ ik>b + £)е(Р+ Л)ьl(X- к)ог(х — к) А с'= (Р -г(х + к ) В е ~ НУ1+к)а =ik) C e ~ W ~ ik)b- (Р +ik ) D e ® + ik)b.( 66 . 10)Д ля того чтобы существовали нетривиальные решения этой системыдля величин А, В, С, D, детерминант,составленный из коэффициентов, д олжен быть равен нулю.
Э то приводит ксоотношениюi) 66. О сновны е понятия зон ной теории твердых тел 3 3 7Р2shp b sinxa + ch(3 b cosхя =2x0= cos к (а + Ь),( 66 . 11)которое связывает между собой энергию Е и значение к. Из него в принципе можно определить энергию Е какфункцию от к, т.е. Е = Е(к), или, наоборот, найти к, отвечающее определенной энергии, т.е. к = к(Е). Н аиболее характерной особенностью связи(66.11) является то, что э н е р ги я-н е однозначная функция волнового числа к. Для анализа этого обстоятельства целесообразно придать уравнению(66.11) более удобный для рассмотрения вид. Возьмем предельный случай,когда ширина потенциального барьера между потенциальными ямамистремится к нулю (Ъ -*■ 0), а высотапотенциального барьера стремится кбесконечности (Еа0 -> оо), но так, чтобы площадь Еп0Ь оставалась постоянной.
П олагаяlim Ву.Ь- ~ = р(66. 12)0 2и учитывая, что при этом c h p 6 -> l,sh|36 -> Р&, получаем вместо (66.11)следующее уравнение:(Р/ха) sinxa + cosxa = cosfca.(66.13)П равая часть (66.13) при вещественных к может принимать только значения, заключенные между + 1 и —1.Следовательно, в левой части величина ха может принимать только такиезначения, при которых левая часть невыходит из указанных пределов. Этоозначает, что волновое уравнениеимеет решение в виде незатухающихволн только для определенных разрешенных энергетических зон (рис. 101).Н а рис. 101 видно, что ширинаразрешенных энергетических зон увеличивается с возрастанием ха, т. е.
с2 2 -2 1 9энергией. Ширина же любой зоны увеличивается с ростом Р. Это объясняется тем, что параметр Р определяет эффективность потенциальныхбарьеров, разделяю щих области с нулевым потенциалом. При увеличенииР «проницаемость» потенциальныхбарьеров для электронов уменьшается и при Р -» оо электроны оказываю тся полностью запертыми в потенциальных ямах, ширина энергетических зон стремится к нулю, а разрешенными оказываю тся только те решения, для которых значения ха равны целому кратному п, т. е. электрондвижется в одномерной потенциальной бесконечно глубокой яме (см.§ 26).
Спектр энергий дается формулой (26.6).При увеличении энергии электрона параметр Р/(ка) в уравнении(66.12) уменьшается, а ширина разрешенных зон энергии увеличивается.Э то связано с тем, что с увеличениемэнергии электронам становится легчепросачиваться через потенциальныебарьеры и наличие потенциальныхбарьеров все меньше сказывается надвижении электронов. При ха -> ооэлектрон ведет себя как свободный.Спектр разрешенных энергий, определяемый непосредственно по рис.101 в виде функции ха, может быть спомощ ью того же рисунка пересчитанна зависимость энергии от параметрака. Разрешенные энергетические зоныпо волновому числу к имею т равныепротяженности Ак = n/а.
По энергиямширина зон уменьшается с увеличением энергии. Ширина запрещенныхзон энергии, наоборот, с увеличениемэнергии уменьшается. В пределе приочень больших энергиях зависимостьЕ(к) приближается к зависимостиЕ(к) = Ик2/(2т) для свободных электронов. Однако и при конечных энергиях энергетический спектр напоми-338 13. Э лектронны е свойства твердых телЗоныip —2s —Чиспоэлектронов Зоны-ОЧислосостояний6NV2s-имеется совокупность совершенноизолированных потенциальных ям. Вэтом случае спектр энергий электронастановится эквивалентным спектруэнергий электрона в изолированнойяме и, согласно (66.13), выражаетсяформулойЕ =15'-2атом Naкристалл Na102Расщепление энергетических уровней атомови образование энергетических зон кристалла(на примере кристалла натрия)нает спектр энергии свободного электрона.
Лишь вблизи границ зон отличие от спектра свободного электронастановится существенным. Но именно энергетические уровни вблизи границ зон наиболее важны при рассмотрении вопросов электропроводности твердых тел и ими нельзя пренебрегать.Наличиезапрещенныхэнергетических зон также имеет первостепенное значение в явленияхэлектропроводности.При рассмотрении природы ковалентной связи в § 59 было показано,что наличие потенциальных ям приводит к расщеплению каждого энергетического уровня электрона, существующего при наличии одной ямы, надва уровня. Этот результат справедлив и для более общего случая:при наличии N потенциальных ямкаждый энергетический уровень расщепляется на N подуровней.Как было отмечено, при Р -> 0 потенциальные ямы отсутствую т и запрещенные зоны исчезают.
Электронведет себя как свободный. При Рооh2y.l2тп2И2(66.14)2 таПри конечном значении Р уравнение (66.13) вместо каждого уровня Еп[см. (66.14)] дает конечное число подуровней, которое равно числу потенциальных ям. Но число потенциальных ям равно числу атом ов в узлахкристаллической решетки. Следовательно,если атом находится в кристалле, содержащ ем N атом ов, то каждое квантовое состояние изолированного атома расщепляется на N квантовых состояний.Это утверждение справедливо нетолько для линейной модели рассмотренного вида, но и для общегослучая пространственного кристалла.Следует отметить, что мы сталиговорить о расщеплении «квантовыхсостояний», а не энергетических уровней. Это сделано во избежание путаницы.
Дело в том, что в данномэнергетическом состоянии импульсэлектрона может иметь два значения,равных по модулю и противоположных по направлению. Поэтому, вообще говоря, часть энергетическихуровней расщепившихся квантовыхсостояний совпадает между собой.Таким образом, каждый энергетический уровень изолированного атома превращается в зону энергетических уровней кристалла (рис. 102).При распределении электронов по зонам необходимо учитывать принципПаули: с учетом ориентировки спина§ 66. О сновны е понятия зон ной теории твердых тел 339в N квантовых состояниях зоны м о жет находиться не более 2N электронов. Поэтому в S-зонах может находиться 2N электронов, если N - общеечисло атом ов в кристаллической решетке. Для расчета числа электроновв P -зонах необходимо принять вовнимание, что в изолированном атоме P -уровень является трижды вырожденным по квантовому числут1 = —1,0,1.
В кристалле вырождениеснимается аналогично тому, какпроисходит снятие вырождения приналичии возмущения (см. § 42). Следовательно, максимальное число электронов в Р-зонах равно 2N ■3 = 6N(рис. 102). Аналогично анализирую тся и другие зоны.Электрические свойства твердоготела определяются взаимным расположением различных энергетическихзон и распределением электронов поэтим зонам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
