Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Ч. Р о а и 6, О. А. й е Ы«а, РЬуэ!са! Веч!езч 1,ейегв, 4, 274 (1960). упглжнения к Гл. г 2О О т После Р в с. 117. Свмметрвчэое уаругое столквовевве тождествеввых частиц. между векторами скорости частиц после рассеяния всегда равен 90'. Иное предсказание делает механика теории отиосительиостп: согласно ей этот угол должен быть меньше 90' (см. упралгиеиие 40). Вопрос: насколько меньше 90' должен быть угол а в простейшем случае симметричного упругого столкновения, когда частицы после рассеяния обладают одинаковыми эиергиями и разлетаются под одинаковыми углами к первоначальному иаправлеиию движения первой частицы (рис.
И7)7 Определите угол, исходя лишь вэ законов сохранения импульса и эиергии в релятивистской форме. Обсуждение. Чему равна полная эиергия системы до столкковеиия7 Какой должка быть поэтому полная энергия каждой иэ двух частиц после столкновения) Чему должен быть поэтому равен импульс частицы7 (См. введение к упражнениям иа стр. 179, где сказано о взаимосвязи между импульсоы и энергией и о том, почему следует иэбегать всякого упомиваиия или использования скорости в задачах, относящихся лишь к импульсу и энергии.) Каков был иачальиый импульс системыу Покажите, что искомый угол определяется выраягеиием а Т+ 2г1 соэг — =— 2 Т+ ево Отсюда с помощью тригонометрического тождества со ее — = — ($ + соэ а) а г 2 2 получите выражевие Т сова=— Т+ ггп ($24) 93.
Давид в Голиаф — подробиый пример Какой минимальной кинетической эиергией должен обладать электров для того, чтобы передать половину своей кинетической эпергки первоначально покоившемуся протоку при упругом лобовом соударекип? Проведите свои вычисления таким обраэом, чтобы в конце концов прийти к одиому-едииствеииому уравнению, решая которое можно (и должно) определить одну беэраэмериую веиэвестиую величину Т,(тг, где Т, — кинетическая эиер- Чему равев полный угол а: $) для ньютоновского упругого столкновения при малой скорости и 2) для ультрарелятивистского стелкиовеиия с очень большой величиной П э.
импгльс и зниргия 212 гия налетающего электрона, а тр — масса покоя протона. Онределнте величину Т„,с„„в Мэв, приближейно принимая трез 1000 Мэв. (Если вы будете решать это уравнение приближенно, дайте оценку погрешности.) Решение. Эта задача сводится к алгебраическим преобрааовапиям, и главное в ней — избежать ненужных алгебраических преобразоваыий1 Столкновение предполагается упругим, так что алектрон и протон не уничтожаются в результате его и не возникает никакого излучения. В этом случае закон сохранения энергии сводится к сохранению кинетической энергии. Обозначим через Т, кинетическую энергию налетающего электрона. В условии сказано, что после столкновения протон обладает половиной анергии налетающего электрона: Тр = Т,!2. Поэтому и электрон уносит также половину своей первоначальной кинетической энергии: Т, = Т,~2.
Столкновение является лобовым, так что все движения происходят вдоль осн х, а импульсы складываются как скаляры с учетом лишь их знаков. Электрон отскочит от протона, и поэтому его импульс после столкновения будет отрицательным. Иа закона сохранения импульса следует Рв=рр Р. Чтобы связать импульс с энергией, воспользуемся общей формулой Е' — рз =- тэ, откуда рэ = Еэ — тэ = (Т+ т)э — тэ = Т'+ 2тТ+ тз — т'= Тг+ 2тТ, подчеркнутые члены взаимно уничтожаются, так что р =УТ'+2тТ. Поэтому закон сохранения импульса можно переписать в виде Подставляя сюда следствие закона сохранения внергнн — т.
Тр Те 2 получаем УЛ+ 2теТе = у + трТе ~l — + в~вТа. Деление атого соотношения с обеих сторон на у' Т,энр дает У ' ''= ' ~г ,/ Тр, ю, юр в1р р 4т Г Как и требовали условия задачи, в атом уравнении имеется лишь одна неизвестная величина Т,~тр. Мы решим его приближенно, исходя из того факта, что масса покоя электрона приблизительно в 2000 раз меньше массы покоя протона, т. е. т /тр (( 1. Пренебрежем атим отношением в только что полученном выражений и найдем 215 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. 3 Р я с. 119.
4-вектор энергии-импульса составпой частицы после збсолвяно поупругого соудврепяя. Еэелэ. эооав Воаюдя обе стороны в квадрат, найдем 9 Т Т, — — 'ж — '+1, 4шр — 4р Т 1 ив, 2 Правильный ответ может отличаться от этого на часть или кратное величины т,/тр — — 1/2000. Умножая решение с обеих сторон на трс', получим лере 1000 Мое е е, обмов = е ес 2 2 = 500 Мэв, 92. Абсолютно неупругое столкновение На первоначально покоившуюся свободную частицу массы т, налетает вторая частица с кинетической энергией Т и другой массой покоя те. При столкновении частицы слипаются и в дальнейшем движутся вместе.
Чему равна масса покоя т составной частицы после столкновения? При каких условиях масса покоя составной частицы сводится к ньютоновской величине т = = т, + тв? Какой может быть с точки зрения этих условий максимальная величина кинетической энергии Т налетающей частицы, когда ньютоновский подход приблизительно справедлив? Обсуждение. Чеыу равен импульс системы до столкновения? Чему равен он после столкновения? Какие величины, изобраясенные на рис. 118, известны, а какие требуется определить, если дав импульс системы? Применима ли теорема Пифагора к «гипотенузе» этогс «треугольника»? 93 .
Порожденве частиц протонами Ускорители для получения частиц высоких энергий строятся, в частности, для того, чтобы создавать в больших количествах для исследовательских целей некоторые из частиц с коротким временем жизни, которые в обычных условиях попадают в лаборатории лишь случайно как результат воздействия космических лучей. В процессе их порождения часть кинетической энергии частиц высокой энергии, полученных в ускорителе, превращается в массу покоя этих новых частиц. В 1955 г. Сегре с сотрудниками получил в Калифорпвйскоы университете, Беркли, антипротоны (частицы той же массы, что протоны, но с отрицательным зарядом), бомбардируя пучком протонов покоящуюся мишень, содержащую водород (протоны) ').Ряд законов сохранения, действующих в физике элементарных частиц (сохранение варяда, сохранение числа барионов — тяжелых частиц), требует одновременного создания вместе с антипротоном и обычного протона.
Таким образом, налетающий протон н протон мишени должны сохраниться после столкновения, '] О. С Ь з ю Ь о г 1 а 1 и, Е. 3 о 2 г о, С. % 1 о 9 а и б, Т. У р в 11 в и е 1 в, РЬумоа! Вог1«м, !00, 947 (19551. з. Нмпнльс и энеггия Р и с. 119. Ошибочная диаграмма порогозого порождения протон-аитипротонной пары е лабораторной системе отсчета. но плюс к атому возникает протон-аптипротонная пара. Вопрос: чему равна та минимальная кинетическая энергия налетающего протона, которая способна гыгеать образование пары» Эту минимальную кинетическую энергию называют пороговой энергией, а) Персий (некорректный) подход. Проанализируем столкновение, иаображенное на рнс. 119, когда вся кинетическая анергия налетающего протона превращается в массу покоя, и все четыре присутствующие в конце процесса частицы покоятся.
Удовлетворяет лн эта реакция одновременно закону сохранения энергии и закону сохранения импульса"г б) Второй подход. Найдите систему отсчета, в которой все четыре частицы конечного состояния могут покоиться, но процесс совместим с законом сохранения импульса. Обсуждение.
Система отсчета, в которой полный импульс равен нулю, называется системой центра маге»). В системе центра масс столкновение протекает так, как это изображено на рнс. 120. Полная энергия сталкивающихся протонов может быть взята меньшей в том случае, когда все четыре частицы конечного состояния покоятся, чем когда эти четыре частицы разлетаются друг от друга. Почемуг (Рассмотрите столкновение в системе центра масс. Пренебрегите электрическим взаимодействием между частицами, так как его роль ничтожно мала при интересующих нас здесь высоких энергиях.) в) Третий подход.
Из анализа второго подхода мы узнали, что наиболее эффективный перевод кинетической энергии в массу покоя, совместимый с законом сохранения импульса, имеет место, когда образующиеся частицы не разлетаются друг от друга. Значит, в лабораторной системе отсчета все они будут двигаться вместе с одной и той же скоростью (рис. 121). Исходя теперь из этой схемы и пользуясь лишь законамн сохранения импульса и энергии, выраженными в лабораторной системе отсчета, определите пороговую кинетическую энергию Т,ер„порождения протон-антипротонной пары.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
