Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Огибая угол, электрон испытывает сильное и резкое ускорение. К счастью, мы можем анализировать по отдельности шарики А и В, движущиеся с одинаковыми по модулю скоростями в направлениях, образующих в лабораторной системе отсчета угол а, как зто изображено ва рис. 130. Ни один из этих шариков пусть не ускоряется, но в момент их встречи наблюдатели, движущиеся вместе сними, могут зарегистрировать одинаковое направление осей вращения шариков А и В. Рисунок в системе отсчета ракеты изображает относительную ориентацию сливов в той системе отсчета, где шарик А покоится.
Именно в этой системе отсчета ракеты наблюдатель на А проиаводит сравнение ориентаций векторов спина. (Вопрос: какой наблюдатель проводит сравнение — А или В? В том случае, когда угол а весьма мал, наблюдатель А и наблюдатель В будут почти локоитьел друг относительно друга, так что в пределе есе равно, кто ие них производит сравнение!) Так как мы заменяем одиночный шарик, огибающий угол, двумя шариками А и В, мы требуем, чтобы и системе отсчета ракеты проекции спина для А к для В были взаимно параллельны.
Главное здесь в том, что хотя эти проекции и параллельны в системе отсчета ракеты, опи непараллельна и лабораторыой системе он>счета. В результате направление вектора спина электрона изменяется, когда электрон огибает угол, при наблгодении в лабораторной системе отсчета.
На рис. 131 в крупном масштабе изображен шарик В. Обозначим, согласно этой схеме, концы проекции спинозой оси через Р и (>. Выберем начала координат в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета ракеты так, чтобы в момент у = г' = О эти начала совпадали с точкой Р. Тогда в системе отсчета ракеты точка (> пересечет ось х е ел>от эке момент г = го = О. Но в лабораторной системе отсчета это будет не так) На рис. 131 показан электрон В в момент времени г = О в лабораторной системе отсчета.
Пусть хг> и го будут соответственно другой точкой к более поздним моментом времени в лабораторной системе отсчета, при которых точка (> пересекает ось х. Пользуясь формулами преобразование Лоренца и полагая ге = О, покажите, что упзажннняя к Гл. 2 Вопрос: где находилась точка () в момент времени 1 = 0 в лабораторной системе отсчета7 К моменту со точка (г прошла расстояние р„го, как это показано на рисунке. Покажите, исходя из него, что за это время координаты х и у точки 4 изменились на величины Ьх = р„со соз а = р,хе зЬ О„соз а, (129) Ьу =* Щ зш а = р„хо зЬ О, з)п а, где на последнем этапе были использованы соотношения (128).
Это значит, что в момент 1 = 0 лабораторной системы отсчета точка Р была (по определению) в начале координат, а точка (г имела координаты хо — Ьх и — Лу. Поэтому угол наклона гкр отрезка Р(г к горизонтали, найденный в лабораторной системе отсчета в момент 1 = О, т. е. изменение ориентации вектора спина после того, как электрон обогнул угол, дается выражением 1я бр= (180) Подставляя сюда хе, Ьх и Ьу из соотношений (128) и (129) и производя упрощения, найдем — Яв1па 1 — Ясова В атоме р, <Е/137 (см.
упражнение 101), так что при малых Е р, (( 1. Поэтому 1н гор ж гйр нк — фз1па. Это и есть тот угол, на который спиновая ось электрона поворачивается при огибании электроном угла а в том частном случае, когда проекция этой оси на плоскость орбиты электрона направлена первоначально вдоль его движения. б) Возьмем другой частный случай, на этот раз когда проекция оси вращения параллельна оси х (ху — плоскость орбиты). Покажите, что теперь наблюдатели в лабораторной системе отсчета и в системе отсчета ракеты будут согласны между собой в том, что точки Р и Д пересекают ось у одновременно. Поэтому в данном случае при огибании электроном угла в лабораторной системе отсчета будет отсутствовать поворот оси вращения электрона. в) В процессе движения электрона по орбите проекция его оси вращения на плоскость ху (рис.
127) будет иногда параллельна направлению его движе- х Р Р к с. 131. Исследовавна орнентацяп осм вращения шарика В в лабораторной скотные отсчета я в скстеме отсчета ракеты; схема начерчева для того, чтобы получить ответы ва вопросы: где н когда точка 0 пересекает ось Н Где вследствие етого расположена точка 0 в момент времени с = 0 в лабораторной снстеме отсчета3 т. имппльс и энвргия Р н с. 432. Частный случай, когда ааенгров нс напевает орнентацвн своей осн прн нзмененнм напразлення дзвженмн. ния (случай (а)), а иногда — перпендикулярна этому направлению (случай (б)). В общем случае она будет составлять некоторый угол ф с направленнеы движения электрона, меняющийся на йр, когда электрон огибает угол. Чему может быть равна величина атого изменения, йр? При ф = О !случай (а)! йр = — рр з1п а; при ф = 90' (случай (б)! Йр = О.
В общем случае изменение должно лежать между нулем и — Я з1п а. Исходя из рис. 133, проведем следующие рассуждения, чтобы показать, что при малых а и Я искомое изменение равно — р', з1п а соз' ф. Дополним первоначальную линию Р() ее горизонтальной н вертикальной составляющими РЛ и ~)Л. Из пунктов (а) и (б) мы знаем, что вертикальный отрезок (Ж не подвергнется повороту, когда электрон обогнет угол, тогда как горизонтальный отрезок РЛ повернется по часовой стрелке на угол Я з(п а.
Покажите, что прн малых углах а зто приводит к неизменности л-компоненты Р0 и уменыпению у-компоненты на величину (Ь соз ф) (Я з(п а). Поэтому тангенс нового угла ф + пф равен Требуется найти ФдЫф Ыф; согласно табл. 8, Гн (ф+йР) — гй ф р ~- о~о-;~о-н=-д-„-лтжч —, Используя равенство (ПП), получим Фя Й~— 1д ф — рр з! и сс — Вй ф 31 а(п о 1+(~3 ф — рр з(п а) ~3 ф а+где ф — ррз(п о ~3 ф „гз1пн) Р н с. 133. Общий случай намененмя орнентацнн осм вращення электрона, когда восаедммй меняет напранленне своего дзнжепмн.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. 2 При очень малых а можно пренебречь последним слагаемым в знаменателе, где останется тогда сумма 1+ + в!лв ф сова ф+ вша ф 1 ссввф соввф ссввф ' тае что 1и г(ф ж йр = — ф вш а сов' ф. (132) Это и есть тот угол, на который поворачивается (прецессирует) ось вращения электрона, когда последний огибает угол, изменяя направление своего движения на а, е общем случае ориентации проекции этой оси вращения на плоскость орбиты под углом ф к направлению движения электрона. г) Иа уравнения (132) видно, на какой угол бф поворачивается вектор спина электрона, когда электрон изменяет направление своего движения на а, один раз огибая угол.
Чему будет тогда равен полный угол прецессии Ьф при обходе электроном всей замкнутой орбиты? (См. рис. 127 и 128.) В замкнутой орбите содержится и поворотов, каждый из которых происходит на угол а = 2я/и. При больших и (малых а) 21п аж а, так что полный угол прецессии спина при одном обороте электрона вокруг ядра составляет Ьр ж — ()в (псс) (сов' ф)м, ж — 2гфв (сов' ф),р. Чему равен множитель (сов' ф)ср? Предположим, что полный угол прецессии Ьф эа один оборот является малым (скорость р„мала!).
Тогда при обходе электроном его орбиты угол ф между переменным направлением движения и проекцией оси вращения на плоскость орбиты пробежит все значения от 0 до 2я. Покажите, что в этом случае вв (сов ф),р — — сов'фс(ф= — . о Поэтому полный угол прецессии спина электрона аа один полный оборот по орбите равен Ьф= — я()) (угол прецессии аа один оборот). (133) д) Электрон, двигающийся со скоростью () = р„ва один полный оборот по орбите прецессирует на угол Ьф = — яр, *= — я(22.
Покажите, что электрону требуется совершить 2я/Лф = 2)рв оборотов вокруг ядра, чтобы прецессия возвратила его в прежнее положение (прецессия на 2я рад). Примем теперь боровскую частоту обращения электрона вокруг ядра ва чв. Покажите, что частота прецессии Томаса чг (частота прецессии спина электрона) выражается черев боровскую частоту как — ж — рв (частота прецессии Томаса). чг 1 (134) чв 2 Мы знаем из упражнения 101, что скорость движения электрона на орбите 2 2 в элементарной теории Бора равна (1 = — = —.
Здесь 2 — число элен 137в ' ментарных эарндов в ядре, а и — номер энергетического уровня электрона, причем низший (основной) уровень соответствует и = 1. Отсюда следует, что частота прецессии Томаса для электрона в атоме определяется выражением чг 1 7 Г 22 — яе — ~ — ~ (частота прецессии Томаса). чв 2 1137к) (135) (Замечание. В некоторых атомах имеет место дополнительная прецессия спина электрона, обусловленная моментом силы, возникающим при взаимодействии магнитного момента электрона с магнитным полем ядра.
Для элект- а. имп>гльс и энвэгня рона находящегося на внутренней орбите атома водорода, такая магнитная прецессия имеет обратное направление и вдвое превышает по абсолютной величине лрецессию Томаса. Поэтому полный эффект состоит в прецессии с вдвое меныией частотой по сравнению с тем, что предсказывает один лишь учет магнитного взаимодействия беэ анализа эффектов частной теории относительности. ) Ж. МЕЖЗВЕЗДНЫЕ ПОЛЕТЫ 104«. Трудности межзвездных полетов ') Игнорируя полностью все технические затруднения, рассмотрим лишь те трудности полетов в межзвездные просторы, когпорые выаываютел самой теорией относительности. Пусть имеется (в 1989 г.?) ракетный двигатель, обладающий ничтожной массой. В нем можно регулировать соединение материи и антиматерии, поступающей иа баков, причем воэникают одни лишь фотоны, и двигатель направляет все это излучение в нужную сторону.
Этот двигатель ускоряет космический корабль, величина массы всех конструкций которого, включая защиту, ничтожно мала. Условия контракта таковы: нужно ускорить полезный грув до скорости, ври которой коэффициент эамедления времени равен 10, пронэвести торно>кение для посещения планет около далекой звезды (предполагается, что она покоится относительно нашего Солнца), а затем вернуться на Землю с такой же скоростью.
Полезный грув, включая пасса>киров, который требуется доставить по эамкнутому маршруту, равен 100 т (100 10» ке). а) Воспольауйтесь реаультатами упражнения 58 для определения полной массы топлива, необходимого для путешествия ло замкнутому маршруту. (Но яе учетверенной величины массы того топлива, которое необходимо для единичного акта ускорения ракеты иа состояния покоя до ее максимальной скорости!) б) Чему равно расстояние (в световых годах) до самой далекой авеады, которой можно достигнуть эа время жизни астронавта (предполагаемая продолжительность жизни человека в 1989 г.
100 лет)? (Для простоты пренебрегите временем работы двигателей ракеты по сравнению со аначительно более длительным сроком полета с постоянной скоростью.) Какой (приблизительно) промежуток времени пройдет на Земле в течение этого полета? в) Приняв плотность межзвеадной среды равной одному атому водорода на кубический сантиметр, укажите, чему равна кинетическая энергия этих атомов (в Бзв) в системе отсчета ракеты, движущейся с максимальной скоростью? Сколько таких частиц будет попадать на 1 ма лобовой поверхности ракеты в секунду и насколько велико это число по сравнению с мощностью пучка протонов высокой энергии от ускорителя (около 10>а протонов в секунду, каждый с энергией порядка 10 Бзв)? Для защиты работников от чрезмерного облучения на таком ускорителе устанавливают щит иэ железобетона толщиной 3 — 4 м. Оцените теперь воэможности межавеэдных космических путешествий! ') См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
