Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Этот вывод справедлив для произвольного направления распространения света (см. упражнение 75). Итак, если мы связали фотоны со световой волной в одной системе отсчета, эта связь сохранится во всех других системах. Из теории относительности не следует определенного численного значения постоянной Планка /з в формуле, связыаающей энергию (в единицах массы) и частоту, "Е = (/з/се) ч. Из опыта следует, что 900 '. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ постоянная Планка Л равна 6,63 10 л' дж сек ').
Покажите, что, если знергия измеряется в обычных единицах, связь меяду знергпей и частотой принимает вид Еооычо=й» (знергпя в обычных единицах). г) Покажите, что формула, описывающая аффект Комптона (упражнение 70), принимает при зтом вид л (116) 1+ — (1- сол ф) вФ (115) Иден о том, что рассеянная (переизлучеяная) волна обладает поння'епной частотой, когда Электрон получает злектрическнй удар от поля волны фотона, встречала сильное сопротивление в 20-х годах нашего века.
73*. Гравитационное красное смещение Следулощие две задачи предполагают некоторое знакомство с определенными злементарными фактами теории тяготения: 1. Очень малый объект (либо сфернчески симметричный объект произвольного радиуса) с лхассой т, притягивает объект с массой те (также малый либо сферически симметричный) с силой г" = бт,тх/гл.
Здесь г — расстояние между центрами зтих объектов, а 6 — ньютоновская гравитационная постоянная: б =- 6,67 ° 10 лл м'/сек' кг = 6,67 ° 10 з см'/сек'г. 11. Работа, веобходимая для перенесения пробвой частицы единичной массы из точки г в точву г+ с(г против сил гравитационного притя'кения, вызываемых наличием закрепленной массы т, равна о'г бт —, гл Переходя от обычных единиц Энергии к единицам размерности массы, запишем зту работу как (117) (118) из расчета на единицу массы, содеря1ащейся в пробной частице.
а) Какая часть вашей ввергни покоя перейдет в потепциальнуго знергию, если вы подвинетесь на высоту памятника Вашингтону (555 фут, илн 170 м)7 Пусть ~с'3 1 ~з сл гз гз ') Более привычны единицы — грамм, сантиметр п секунда, в которых с = 3.10'л сл/сел, Ь = 6,63 10"л~ ере сел, з Е = 930 см/секс.— Прил. корев.
(работа, отнесенная к единице массы пробной частицы). Ш. В атой формуле первый сол~ножитель, т* = от/с'-, имеет очевидный смысл — это масса првтягивалощего центра, выраженная но в килограммал, а в метрах. Например, ыасса Земли (т = 5,988 10лл кг) равна в единицах длины тбскл„= 4,44 10 з м, тогда как масса Солнца (т = 1 987 10зо кг) равна тсоскде = 1 47 10" м. 1т'. Пусть пробная частица находится сначала на расстоянии г от притягивающего центра, а затем уносится на бесконечность. Необходимая для этого работа равна 20! упРАжнвяия к Гл. 2 есть ускорение силы тяжести аа поверхности Земли (радиус гз), выражеввое в мlмг.
б) Какая часть вашей энергии покоя перейдет в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитациоввого поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего вет. Зависит ли доля эпергии, теряемой в пуакте (а) или (б), от вашей первоаачальаой массы? в) Используйте результат, получеввый в пуакте (а), для аахоягдевия отвосительвого измеаевия эвергии фотона, подаимающегося вертикально аа высоту з в одпородвом гравитационном поле бв. Масса покоя фотона равна аулю, и формальво можао сказать, что фоток обладает киаетической эаергией Е = Т.
Поэтому фоток располагает лишь одним источником, а имеако своей кинетической эвергией, за счет которого ов может компоасировать возрастание потеяциальаой заергии при подъеме в гравятацаовпоы поле. Световая волаа с частотой ч состоит аз фотонов энергии Е = )ггlсг (см. упражаевие 72). Требуется показать, что отяосительвая потеря энергии фотоаами, подаимающимяся в гравитациоввом поле, соответствует следующему отаосятельаому измевеваю их частоты: — — г з (одаородаое гравитациоааое иоле), Ьт Ф от Мг У Г (119) Такое умевьшевие частоты вазывается гравитационнам красным смещением, потому что в видимом свете смещение состоит в сдвиге ливий к аизкочастотному (красаому) концу спектра.
Найдите величину отаосвтельвого гравитациоявого красаого смещения для света, испускаемого с поверхности Земли, и для света, испускаемого с поверхности Солнца. 74*. Плотаость спутника Сириуса Сиряус (Альфа созвездия Большого Пса) — самая яркая звезда неба. Сириус и его малепьквй спутник обращаются одиа вокруг другого. Ааализируя зто обращеаие с помощью вьютоаовской механики, астрономы смогли определить, что масса спутаика Сириуса приблизительао равна массе нашего Солнца (т ж 2 10гг кг, т* ж 1,5 10г м). Излучение спутпвка Сириуса было исследоваво спектроскопически.
Отождествленные по своему вэаямвому располон1евяю спектральные линни некоторого химического злемоата оказались сдвиаутыми по своей частоте ва 7.10 г от величиаы частоты тех же спектральных линий того же элемоптэ в лаборатории. (Эти опытные даавые верны с точностью до первой заачащей щгфры.) Иатерпретируя это красное смещение как гравитационное (см. формулу в конце упражвевия 73), аайдите средшою плотность спутаика Сириуса в граммах ва кубический сантиметр. Этот тип звезд аосвт пазвавие белых карликов.
г) Вывод, полученный в пункте (б), используйте для ваховгдеаия неличиаы относительной потери эвергии фотоном при его удалении ва боскоыечаость. (Примеаевие этого вывода является хорошим приближеаием с точностью до 1%, если сама величина отвосительаой потери эвергии ве превышает 2%.) Пусть, например, фоток испускается из какой-то точки ка поверхвости астрокомяческого объекта массы )м (кг) вли Мг (м) и радиуса г. Исходя из величавы относительной потери энергии, покажите, что отвосвтельвое измевевие частоты определяется формулой 2.
импульс и эннвгня 202 Г. ДОППЛЕРОВСКОЕ СМЕЩЕНИЕ 75. Формулы Допплера Пусть фотон движется в лабораторной системе отсчета в плоскости ху в направлении, образующем угол ф с осью х, так что он обладает компонентаии импульса р* = р сов ф, р" = р вш ф и р = О. а) Используйте формулы преобразования Лоренца для 4-вектора энергии-импульса и соотношение Е" — ра = О, справедливое для фотона, чтобы показать, что в системе отсчета ракеты фотон обладает энергией Е', Е' = Ес)16„(1 — р„сов ф), (120) и движется в направлении, образующем с осью х' угол ф', причем сов ф — б, совф =— 1 — б,сов ф (121) б) Найдите обратные уравнения, выражающие Е и сов ф через Е', сов ф и (),. Сравпите зги обратные уравнения с полученными в упражнении 22 (азффект пронректораа).
в) Если частота света в лабораторной системе отсчета равна о, то чему равна частота этого света у в системе отсчета ракеты? Такое различие частот, обусловленное относительным движением, носит название релягпиаислчсного эффекта Допплера (упражпенне 6). Позволяют ли полученные уравнения определить, в какой системе отсчета покоится источник фотонов? 76. Распад па-назона; подробный пример Нейтральный пи-мезоп (па-мезон), движущийся в лабораторной системе отсчета в направлении оси х и обладающий кинетической энергией, равной его энергии покоя, распадается на два фотона. В системе отсчета ракеты, где мезон покоится, этн фотоны разлетаются в положительном и отрицательном направлениях оси у .
Определите энергии фотонов в системе отсчета ракеты (в единицах энергии покоя мезона) и энергии и направления вылета фотонов в лабораторной системе отсчета. Рпиение. В системе отсчета ракеты яа-мезон до своего распада покоился (импульс равен нулю). Он никак не мог распасться на один фотон, не нарушив сохранения импульса. При распаде на два фотона импульс сохранится, если: а) фотоны разлетаются в прогпиеоположнмх направлениях в той системе Р в с, 112.
Решепие задачи о распаде ва-вазова. упРАжнения к Гл. 3 203 <«тсчета, где мезон до своего распада покоился, и б) импульсы этих фотонов в такой системе равны по абсолютной величине, так что фотоны обладают одинаковыми энергиями (для фотонов Е' = р'). Таким образом, в системе отсчета ракеты задача имеет следующее решение: каждый фотон уносит половину энергии покоя мезона, Е' =- т/2. Кроме того, зтн фотоны по условию должны разлетаться в положительном и отрицательном направлениях оси у' (ф' = ~ 90', так что соз ф' = О). Энергия и направление вылета как<дога из фотонов в лабораторной системе отсчета могут быть найдены по формулам, полученным в укражнении 75: Е = Е' сЬ 0„(1+ ~„соз ф'), со«ф'+ ~3г 1+5„со«ф' ' Прежде всего необходимо найти величины 0, и р,. Согласно условию задачи, кинетическая энергия меэона в лабораторной системе отсчета до его распада была равна массе покоя; тогда Е„= =т сЬ 0„= Т+ т = 2т, откуда сЬО„== =2, у'~-~в так что ))одставьте теперь этк данные и величину Е' =т/2 в уравнения преобразования, н вы получите Е=т, сОзф=~„= — ', у'З г так что ф = 30'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
