Э.Ф. Тейлор, Дж.А. Уилер - Физика пространства-времени (1120533), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пока'ките, что приведенное выше уравнение движения релятивистской ракеты в нерелятивистском пределе принимает вид обычного уравнения движения ысрелятивистской ракеты: з. импульс и енкггия движения тогда принимает вид 8=1п — (для ракеты с фотонными двигателями).
М« (Но) е) Иногда высказывают следующее обобщающее заключение: «Наиболее экономична ракета с фотонной тягой». Покажите, что ато утверждение и верно, и ошибочно одновременно. Обсулсдение. Найдите «коэффициент полезного действия» для двигателей, тягу которых создают световые вспышки. Насколько акономично продолжать ускорять «шлак» (исиользованные элементы) вместе с полезным грузом? Существует ли хоть один ти~ взаииодействия алементарных частиц, при котором вообще не остается «шлака» н образуется лишь свет (т. е. гамма-лучи)? См. стр. 162 и упражнение 97. ж) Чему равно наименьшее отношение масс (отношение начальной »~ассы к конечной, когда горючее исчерпано) для идеальной ракеты, в которой масса полностью превращается в свет, при котором ракета ускоряется из состояния покоя до такой скорости, при которой течение времени замедляется в десять раз? Чему равно ато отношение масс в случае наибольшей скорости выброса, достижимой в ракетах с химическими двигателями (около 4000 м/сек)? Замечание.
В технической литературе часто говорится об «удельном импульсе» (обозначаемом через 1) ракетного горючего; например, 1 = 260 сек для керосина с я<идким кислородом и 350 сек для жидкого водорода с жидким кислородом. Умножьте зти величины на 9,8 м/сек', чтобы перейти к физическим единицам (скорости выброса в м/сек или к импульсу в кг м/сек, сообщаемому ракете каждым килограммом отработавшего топлива). Последний способ выражения через имнульс в противоположность использованию единиц времени применим и на Луне, где а (1/6) 9,8 м/сек', и на Земле, где Ю = 9,8 м/сек'. 59«. Парадокс центра маее Пусть в системе отсчета ракеты вдоль оси х в состоянии покоя закреплена длинная труба.
С двух противоположных концов в нее одновременно и с одинаковой скоростью (с точки зрения системы отсчета ракеты) выстреливаются два одинаковых пушечных ядра. Эти ядра упруго сталкиваются в середине трубы и разлетаются вновь к ее концам. До того как ядра достигают втих концов, их наглухо закрывают, и в дальнейшем ядра все время движутся взад и вперед в трубе без трения.
а) Опишите движение центра масс етих двух ядер в системе отсчета ракеты. б) Одновременно ли производятся в лабораторной системе отсчета выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу? Опишите движение центра масс ядер в лабораторной системе отсчета. При зтом удобно воспользоваться диаграммой пространства-времени. Инвариантно ли положение центра масс в теории относительности? в) Предположим теперь, что в системе отсчета ракеты труба не закреплена, а лежит на абсолютно гладкой поверхности. Рассмотрите движение центра масс трубы в обеих системах отсчета. Как движется в каждой из систем отсчета центр масс системы, включающей трубу плюс оба пушечных ядра? Р в о.
99. Пушечные ядра, летящие в«встречу друг другу. упэлжниния и гл. г Р и с. 100. Коипоневты скорости ше- рон А и В з лабораторной системе отсчета до столвноеенвв. Вертикальный пунктирный отрееок1 (Вертввелъвый пунктирный отрезов) ( на диаграмме иипуаьса ) на диаграмме скороств х-исмпонеима снорасви Ф Ег изменение нмпрпвса е процессе соудареноа ровно с паромным зиаиом изменение нмпупма медпанпп дбнлучиои вора 6, в.е Ямд Лзмвненпа мирмвн а процессе аоударвнан здРсзег Р и с.
101. Диаграммы свороств н импульса шара А з лабораторной снстеие отсчета. 60а. Второй вывод релятивистского выражения длн импульса а) На рис. 85 в системе отсчета ракеты между моментами столкновения двух шаров и попадания шара А в верхнюю стенку проходит интервал времеви Ы'. В лабораторной системе отсчета этот промежуток времени равен Ы.
Пользуясь формулами преобразования Лоренца, найдите связь между этими двумя промежутками времеви, Ь|' н Ы. Найдите связь между значениями у-компоненты скорости шара А в обеих системах (см. упражнение 20). Привяв за () скорость шара А в системе отсчета ракеты, покажите, что у-компонента скорости шара А в лабораторной системе отсчета рлп, „,с определяется выражением ле Р рл, лаз= са0, ' б) Проанализируйте теперь это столкновение в лабораторной системе отсчета.
На основании его симметрии в лабораторной системе и в системе отсчета ракеты проверьте правильность данных о компонентах скоростей, приведенных на рис. 100. Вспомните, что импульс частицы должен быть направлен вдоль ее движения (равд. 11). Поэтому треугольник векторов слоросши шара А до и после столкновения подобен треугольнику векторов вьилрльса шара А до и после столкновения (рис. 101). Предположим, что шар В в лабораторной системе отсчета движется настолько медленно, что его импульс можно определять по ньютоновской формуле тр. Потребуем теперь, чтобы изменение импульса шара А в процессе столкновения было равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса шара В.
Пропорциональность соответственных сторон подобных треугольников дает равенство: ( Горизонтальный пувктарвый отрезок) на диаграмме импульса г. импульс и енеггия Ол е Ш! Р и с. 102. Анализ упругого лобового столкиовеиия частиц разных масс в ньютоновской мегаиике. Скорости частиц до и после соулзреиия в лабораторной системе отсчета (верткий рисунок) и в светел!е отсчета ракеты (иижиий рисуиов), пайдеииые по иьютоиовскому закову сложения скоростей. Покажите, что ото!ода следует выражение р" =та!л8, для х-компоненты импульса быстро движущегося шара А.
в) В пределе л!а.чыг у-компонент скоростей величина р' становится равной полиол!у импульсу р шара А, а параметр относительн<лй скорости 8„ становится равным паралштру 8 шара А, Отсюда следует выражение для релятивистского ил!пульса частицы р= Ь8. 61е. Второй вывод релятивистского выражения для энергии а) Сохранение ньютоновского излнульса. Рассмотрим лобовое упругое соударение частиц различных масс покоя (тл и тг). Частица 1 отскакивает от частицы 2, потеряв часть своей скорости и передав часть импульса частице 2.
Рассмотрите это столкновение с ньютоновских позиций. Основываясь на рис. 102, покажите, что в лабораторной системе отсчета из ньютоновского закона солранения ил!пульса следует уравнение тлаг! + тгякг = тяк! + тгякг 187 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. 3 в котором величина р, отрицательна в случае указанных на этом рисунке направлений двн'кения. Черточки над буквами означают, что соответствующие величины взяты после соударения. 1'ассмотрим теперь этот же процесс в системе отсчета ракеты.
При малой относитеяьной скорости движения ракеты )1„ скорость каждой частицы в системе отсчета ракеты находится путем простого вычитания р„ из скорости этой частицы в лабораторной сигтеые отсчета. Примените ньютоновский закон сохранения импульса к столкновенноо с точки зрения системы отсчета ракеты. Покажите, что если ньютоновский импульс сохраняется в лабораторной системе отсчета, он будет автоматически сохраняться и в системе отсчета ракеты, движущейся с малой скоростью относительно лабораторной система отсчета. б) Из сохранения релятивистского импульса следует сохранение релятивистской энергии.
Рассмотрим теперь то же столкновение с релятивистской точки зрения. Покажите, что закон сохранения релятивистского импульса в лабораторной системе отсчета вырангается уравнением т, эЬ О, + т, эЬ Оз = т, эЬ Ос+та зЬ О». (111) При этом массы обеих частиц остаются неизменнымн, так как столкновение является упругим. В случае указанных на рнс. 103 направлений движения Р я с. 103. Анализ упругого лобового столквовсввя частиц развых масс в рсзвтввистской механике. Скорости частиц до в после соулареввв в лабораторной системе отсчета (верхввй рисунок) и в системе отсчета ракеты (ввжввй рисунок), найденные по релвтвввстскому закову сложения параметров скорости. г.
импгльс и энвэгия величина О, отрицательна. В релятивистской механике скорости частиц в системе отсчета ракеты могут быть найдены путем вычитания параметра относительной скорости О, из параметра скорости этих частиц в лабораторной системе отсчета (см. стр. 69). Примените закон сохранения импульса к этому столкновению, рассматриваемому в системе отсчета ракеты. Используйте данные табл, 8 (стр.
77 — 78) для того, чтобы преобразовать все гиперболические синусы, зависящие от разностей параметров скорости. В получение>> уравнении перегруппируйте члены, объединяя те из них, которые содержат сЬ О„или зЬ О„: (Скобка № 1) сЬ О,— (Скобка № 2) зЬО,=О. Величины, стоящие в скобках, уже не зависят от параметра относительной скорости 0„. Если теперь потребовать, чтобы импульс сохранялся в системе отсчета любой ракеты, то полученное уравнение должно выполняться при всех значениях параметра относительной скорости О,. Мы можем взять систему ракеты с любым значением параметра скорости — от нуля (когда сЬ О„= 1 и зЬ О, = О) и до бесконечности (когда сЬ О, равняется зЬ О„).
Но полученное уравнение может выполняться при всех значениях О, в указанных пределах, лишь если каждая из скобок по отдельности равна нулю. Покажите, что скобка № 1 равняется нулю, если импульс сохраняется в лабораторной системе отсчета. Покажите, что скобка № 2 равняется пулю, если п>чсЬО,+тзсЬОз=т>сЬО>+тзсЬ Оз. (113) Уравнение (112) выражает закон сохранения импульса в системе отсчета ракеты. Очевидно, что импульс сохраняется в системах отсчета всех возможных ракет тогда и только тогда, когда в лабораторной системе одновременно выполняются уравнения (111) и (113).
Уравнение (111) выражает закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчета. Какой >ке закон сохранения выражает уравнение (113)? Выясните смысл величины т сЬ О и назовите новый закон сохранения. в) Останется ли справедливым приведенный вывод, если обозначить массы покоя частиц после столкновения через т, и те и допустить, что они отличны от масс покоя частиц до столкновения? Будет ли оставаться верным закон сохранения релятивистской энергии и в этом случае? Сохраняется ли при таких столкновениях релятивистская кинетическая энерезп? Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
