И.М. Капитонов - Введение в физику ядра и частиц (1120452), страница 51
Текст из файла (страница 51)
1"рафическое изображение такого процесса на примере распада нейтрона показано на рнс, Ж.2, б. Электрослабая модель не отменяет многих результатов теории,б-распада Ферми, излагаемых виже. Лействительно, радиус слабых сил 10 з Фм (Лекция4). При столь малом радиусе взаимодействии теория Ферми, в которой взаимодействие четырех фермионов считается точечным> будет справедлива в области низких и средних энергий взаимодействия, В частности, она справедлива при энергиях,б-расцада ядер. Отклонения процессов слабого взаимодействия от теории Ферми, предсказанные электрослабой моделью, проявляются при высоких энергиях частиц Е > тггсз сз 100 ГэВ, где глзг — масса промежуточного бозона. Малая интенсивность слабых взаимодействий позволяет для получения вероятности,б-распада нспопьзовать теорию возмущений и формулу (Ж.З).
Ниже для определенности будем говорить о,б -распаде, когда ядро ислускает электрон и антинейтрино. В этом случае в начальном состоянии существует ядро, описываемое волновой функцией р;, а в конечном — ядро, электрон н антинейтрнно, описываемые волновыми функциями ру, 4, и 4„. Считая, что конечное ядро, электрон и антннейтрино не взаимодействуют друг с другом, получаем следующее выражение для волновой функции конечного состояния системы: з'у = Уут Ф (Ж.17) Прн этом матричный элемент ф-распада имеет вид Лля вычисления матричного элемента необходимо выполнить интегрирование по объему ядра.
В первом приближении (это впервые сделал Ферми) этот матричный элемент можно заменить следующим: Ог ~КР Р 4'а" (Ж.18) где с л — константа Ферми, определяющая интенсивность сла- бого взаимодействия. Из опыта найдено Сл = 0.89 10 ЯМзВ ° Фмз ф„= ецэ"~ ~. (Ж.19) Функция ф, представляет собой волновую функпию электрона в кулоновском поле ядра и электронной оболочки. Однако если зархи ядра мал, то потенпиальной энергией электрона в кулоновском ноле можно пренебречь по сравнению с его кинетической энергией и взять волновую функцию электрона также в виде плоской волны ф, = ецв"~а~. (Ж.20) Для нахождения плотности конечных состояний ру обратимся к формуле (Ж.1б). Учтем, что число независимых конечных состояний системы в данном случае равно произведению чисел конечных состояний электрона и антинейтрино (состояние конечного яира однозначно определяется состоянием электрона и антннейтрино).
Поэтому плотность конечных состояний при выбранной нормировке волновых функпий дается выражением йЕ (2згЬ)~ (2тй)з ' (Ж.21) Теперь можно, используя золотое правило (Ж.З), получить выражение для энергетического спектра электронов при ~у-распаде. Так как нейтрино (антинейтрино) очень слабо взаимодействует с другими частицами, ее волновая функция может быть выбрана в виде плоской волны (Ж.14), Полагая У = 1, имеем Приложению Спектр злектроиов Д-распада. Цравило Сарджеита Преобразуем выражевие (Ж.21).
В этом выражении Ея = ы «,«й — энергия «б-распада, разват сумме кииетических энергий электрола и автввейтрвво (отдачей ядра превебрегаем): (Ж.22) Ея Ы Яя = Те + Тт. Учтем, что Т„= Е„= р„с, (Ж.23) где тп — масса электрода. Мы хотим найти вероятдость вылета электрода с определеввой кинетической эвергией, поэтому фиксируем зту энергию. Тогда из (Ж.22) получмм МЕд ав «Цр = Ж'„.
Кроме того, из (Ж.22) в (Ж.23) имеем р.= — ут,«т..~г е«, „ет,=( — 'е )ет.. 1 Те с Рз = («е«Р Те) 1 ««Ру ° (Ж.24) Подставляя все это в (Ж.21), цолучмм р — у'т.«т.ее~~~<. «ет,— «О -т.à —"— ««тТу с ' ' 1, сз,« 'сз ' с (2яЬ)е =,,'„,,/от.ег ««т.е ««О,-т.Гет.. «ж.ге) С учетом вида матричиого злемевта «3-распада (Ж.18) и волновых фувкций электрона (Ж.20) и автивейтриво (Ж.19) из золотого правила (Ж.З) получаем следующее выражение для вероятвости Йо, вывета в едиивцу времеви электронов с квветической энергией Т, в интервале ««Т,: йо = — СР~ «р~~ р«с «~~'~~" ~~~~ «1е ру, (Ж.26) где ру дается формулой (Ж.25).
Вероятность вылета электронов в единичном интервале их энергий (спектр электронов) будет описываться формулой —,, эс,Гт~Т, + ~ 'ис -;- "хек — сг, (ийс 2тз тсв где (Ж.28) — матричный элемент,б-перехода. Спектр электронов (позитронов) ф-распада искажается кулоновским полем атома, которое складывается из поля ядра и электронной оболочки. Поэтому в выражение (Ж. 27) необходимо добавить множитель Г(Т„Я), который определяется как отношение вероятности появления электрона с энергией Т, с учетом реального кулоновского поля атома (В ~ О) к вероятности без учета этого поля (Я = О).
Учет реального поля приводит к увеличению числа электронов малых энергий и уменьшению числа малознергнчных позитронов. Полная вероятность ф-распада в единицу времени юд, т.е. величина обратная среднему времени жизни гд ядра относительно,б-распада, равна суммарной вероятности вылета электронов Яз (позитронов) всех энергий, т. е. интегралу ) Яа ЙТ,: е 1 Гйе, топ = — = / — ЙТ,. / 1Т, е Обозначая .р Яя) ~аде + 2глс )(Т + глс )Яд Т ) Р(Т Я) ЙТ Приложения 884 получаем, полагая ~М(з ш сопят, тор = — = — )М) Р(9р).
1 Стр тд 2тзй~се (ж.гй) Г(сГр) сильно зависит от Яр. При очень больших энергиях Р-Распада имеем Те 2н шсз и (Ж.ЗО) Это соотношение, показывающее, что при больших энергиях ве- роятность р-распэда зависит от энерговыделения в пятой степе- ни, носит название праеила Сарджента. "Вш10 ~ К1 (Ж.31) где  — радиус ядра. При этом экспонента в матричном элементе мало отличается от единицы (интегрирование в матричном элементе проводится по внутренней области ядра, где ядерные волновые функции у; и уу отличны от нуля, т.е.
для т < В) и матричный элемент сводится к М = ~ ~р~м;аэ, т.е. к выражению, зависящему только от состоянвй начального и конечного ядер и не заввсюцему от импульсов лептонов. Форма 8-спектра в этом случае определяется только плотностью конечных состояний рг (Ж.25). Такие Д-переходы (и Д- спектры), кэл уже отмечалось, называются раэрешеннььмо, поскольку идут с наибольшей вероятностью. Пля таках переходов 0 < (у~у аэ < 1.
Если ~~фр,ае = О, то экспоненту в матричном элементе (Ж.28) нужно разложить в ряд по степеням Переходы Ферми и Тамона-Х'еллера В Лекции 4 (и. 5) отмечалось, что характерные импульсы лептонов при ~3-распаде таковы, что 335 показателя экспоненты. Степень первого члена этого ряда, который дает отличный от нуля вклад в матричный элемент, называется порядком запрещекносгли перехода, а сами переходы запрещенными, поскольку их вероятность мала по сравнению с вероятностью разрешенных переходов. Порядок запрещенности перехода (степень запрета) равна относительному орбитальному моменту Ь лептонной пары (Лекция 4).
При Д-распаде спин ядра меняется на величину ЬУ, равную векторной сумме спннов электрона и антинейтрино (позитрона и нейтрино) и их относительного орбитального момента йл (Ж.32) ЬЗ = Ь+е,+з„, Если суммарный спин лептонной пары з, + з„= 0 (спины лептонов антипараллельны), то имеем )7-переход Фермы Если з,+е„= = 1 (спины лептонов параллельны), то имеем 73-переходы Гало«о-Теллера. При разрешенном переходе фермиевского типа Ы = О и спин конечного ядра равен спину начального ядра: ,77 =,7;.
Пля запрещенных переходов Ферми орбитальный момент лептонов (степень запрета) У = Ь,У.,Пля переходов ГамоваТеллера Ы = Ь, 1~1. Пля фермиевских,9-переходов гамильтониан (оператор) слабого взаимодействия РВ = бг = сопзп Такой оператор, действуя на,волновую функцию начального состояния ядра ~р,, оставляет все квантовые характеристики этого состояния (спин,7, четность Р, суммарный орбитальный момент нуклонов, суммарный спин нуклонов) неизменными и в случае разрешенных переходов (Ь = 0) квантовые характеристики конечного ядра совпадают с квантовымихарактеристиками начального, в частности .77 =,У;, РУжР,. Пля разрешенных переходов Гемона-Теллера ЬХ = Зу — Л; = = 1 и .77 =,У,, У; х 1. При этом переход 0 — ~ 0 (из состояния с,У; = 0 в состояние с УУ = 0) запрещен, так как лептонная пара должна унести момент е, + е„= 1.
Четкость ядра в разрешенном гамов-теллеровском переходе не меняется (Ру = Р,). Оператор (гамильтониан) слабого взаимодействия гамов-теллеровского типа устроен так, что воздействует на сливовые состояния нуклонов. В простейшем случае разрешенного гамов-теллеровского перехода у одного из нуклонов ядра направление спина меняется на противоположное — происходит «переворот» спина иуклона. ЗЗб Прилоскения Примером рвэрешеыньгх;8-переходов является распад свободного нейтрона и -+ р+ е + р,.
Этот распад проысходит как за счет взаимодействия Ферми, так и зв счет взаимодействия Гамова-Теллера. Эти два варианта распада нейтрона можно проиллюстрировать следующим рисунком, где вертикальнымы стрелквмы показаны направления спадов нуклоыов и лептонов и -+ р + е + рю ~ -ь 1+ 1+ 4 переход Ферми, ъ 1' -ь 4 + 1 + 1 переход Гомоса-Теллера. В случае фермиевского распада нейтрона матричный элемент имеет вид ) 4~'4„4и и должен быть равен 1, так как в пренебрежении электромагнитными поправками волновая функция одиночного протона должна быть той же самой, что и волновая функция одиночного нейтрона (переход происходит между компонентами изоспинового дублета). Спин и четность нуклонв 1/з+ и распад нейтрона — это переход ь/з+ -ь ь/з+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
