Е.С. Соболева, Г.М. Фатеева - Задачи и упражнения по уравнениям математической физики (1120416)
Текст из файла
Ф Реггомеидовано УМО по классическому уггиверситетскому ггбрааоваггггго и качестве учебного гныобии по уггавнеггиггм математической гриигпог для студегггов высших учебных ааведеггггй, обучагощихса по естественно-иаучиым сиециальностим МОСКВА ФИЗМЛЧЛИТ© 20'г2 П))к 517,95 1)1))к 22 161 6 С 55 ииучнии Фийяиотекз ввг у ИИИ$1$11 3761 6204 Π—. и( г. ц), и: — к')х, ц). 'г, ФИЗМАТ)!1)1;, ФМЕ фт 1 С. Г ВСГКОКГИК.).И кцкокк.
Лня 1; )ЦУ) Н)'йтй-9221-105гц2 Соболева Е.С. Фктескк Г,М. Зклкчн и уиркжкккизкн ко урккивнннм матемзтикеской физики. - Й ФИЗМЛТЛИТ, 2012 'к) с 1ЬВМ Нтк-б Я221-П)5Д 2 1)зеков~нее нздкпги сом'ржкт около 2)К) ккк к сикбгкенгикк ртмин,о, Л.м кклз к отнк ккнык зксзло ~к~ й, к)гкксккно )ккк:.
ккя, рекгнеикпккио цмО ек клкссккиыккк) яггкерсситетсмгнт ооп . кккгко в кккек гее ккегзгиго гюсоякк по урккнсги.кн кгзтечлткккеккгг)1 фг кк: ~ злк сгуле пик оы кнгк уиоиик ккколгкк)). сттккг мкся по егтскпееиои ккзккые с як тгкклгкккн як. с) ). кклнссификикдия язиинеиий и их хк)киктериятикн 1 . Урвяпеиие д-и де к г)си г дц дп к и~, г, )г) — —,, т 2)йз. и) —,— — ~ г.)Л, ц) --;, к „~(.г, ц. и, —,—. — ) -- 0 дкц '" ' д.гдц ' ' дцк "' 'дзг'дц.
оз'цк ~ 'г)0. (1 1) ~Н 1 ккз 1~ лгнт ппсрйоликескому гипс, если 1)н - а )! .'. О. .,ыркйолн ~ескок1у ~ииу, если Ог' ог)) ы — О, кллигынкескому кипу, если 1)г "и.), 'с с О, г)гкккиовюиос дифференциальное урзвне(ггке ~)ц '-' )ц г(зкц)~ -'- ) — 2Ь(х,ц) --'- к г(зк)г) .= 0 о! ' " ' ° ) г г ' ' ' г).г и,.
кзвзстся урзккением хзрзктернс гик лзк (1 1). Из 11.2) следует, ито цц ц+ кгР:пг. гЬ а 11)ктк -(.г, ц); — г н с (.г, ц) — г — неззвисимые первые иитегрзлл~ 12ни определгиот двз семействе кзрзктеристик. 1),,г2гкскрккгггггзнт )) > О. Оов сскгенствз вицествеикые. Невырожизк зкменк крггколпг т)гкписиис гт1исрйолг1кеского гипз к кснизии ~ясному визу ))кк ойг гцгк )г~с, г), ~г, 11А) иг, гд г ы(г, ~)) кг(.г.ц) с'1з, ц! и урзвиегинс ириюдк~тся ко второму кзяоиичегк<ому виду. г)з г ()зи г ~)ь ди Ф(гцд и.
— —,—,-) дмк д,)к ' ' ' дгг' ~'В 'с!г'' сл!(ЛсС И ы ди - — ссби х — 1)1, дп '' ди с)сс ди ди -; — (к)из .;- 1) -' д.с. д;, д.и до дзи дсс ди ди с) б, . до сЬ!з дг др й", дхдд дд дс'ди с1,1!) 4 2). Р .-.. 0 (зллюстическос ур шсиннс), Ха)сзктсрйсгссоссс ы ьсссзгссс-с ио-сопряйсснныс, и:сх, П) -- „-.(.г, Й).
Вспи ствсицай зсскссгнп Р(1* К) Ь'(СЗ(С) Йг(»З и) ' си(*Г. и1 11 бс 21' прйводит ъраькснис (1.1) к ксн!Ониьсскиму кид)ч с)зи, даи, сбс диз (1.7) ' сдсгсз д,)з 1' дс д,),1. 3). д =--. 0 (параболи покос ургишскнс), Имеем только о!шо гсмсй- СТВО ХЗРЗКТСРнстнк, тзк как уг(хп р) "' 1*(х, и). Л1Обзя ЙссисрОГКСтсцйзя ' замена,", = сс(сг,!С), д -:: 11(.с,р) (састо ссолзгавт г! -" .1, снс()11 11 — сд ' приводит уравцснис (1 1) к кзпоци жш ому юссзу: д" и, сдсс с Ссс ') (1.В) ' дтгт " " (Ь с)11~ ОтМСГИМ, спО ПРОИЗВОЛНЫС ПО СТЗРЫМ ПСРСМЕИИЫМ ИЬЦЫЛО1ГОГСК в Новых псрсмсинык по слслусоГЙЙМ формулам: ди до дг до дс) дх дб дх дл дх' дн ди дб ди сд) др дб др ссгс д!С' дти ссзсс Сд»')з дао дб дс! даи ссЬ)~З до ГСЗ' ди с)З1! дхз дсз удг~ дбдс! дт дх дггз 'ус);ссг дб сди дс) с)гз д' и д'и сс)0тз с)ин дб сЬ! д" и 'дгдя гбс сд» ди д"и дпс с)бз Удр.
' дб дсс др др ' сдс(т др г()ьс с)рс 'Ь; дрс' дзн дзсс дб дб дгн (д; дсс с)б дс)~ ГЬ'дя дссс дт ду дбдг)(дх сгсс др 121.) 2". Примсры. Опрсдслить тип уравнепия и привсстк смс к ьсссссйссс- ЧССКОМГ' ВИДУ" дти дзи :. дзи дк з) -,--:; . 2ьшхто — —. сьсь-.г —,—;,. ссмх-- .: 0; 1! 1О) дх' дз дп дии др сг"и з джесс о сссисс ди б) .г —,: —;, . 2и-"г. -;. ', 2х'т — з —. -,— -= О, х Г(01 дхз сбс 1?р дра Ыг до Эсо здн, дн (1,12) с)хл дгда ' ' дуз " сг)с КЛДН01НРЙКДЫЙЙ К(Л111ССНссь! и ЙХ КссссСУКТС:Гсйбтикс~ б 111 шс иия, а), Урасссссссис (! 10) отйоситсй к гигсрболнческому типу, ипи!с к!н х ! гои х - 1. Диффсренпизлькым уравнсиисм хзрзктс- рш"!Й1 сля нс о ЙВЛК11ся 101кйсннс сдсс уз . 11и л .1.
2 Йш х --". - созз.г —., О, дх сдг Йи иску З.С СЗСД"Ст, ЧТО --'- .= Й)и.г 31 1; к итоги имссм о .— с.оьх с.,с. -1 с с.игссигы слсдусонсуссз нсвыролкдснйую замену, с:-- р — гокх -..Г. гой,с - .сз сскобкан которой — —. 2, г)СГЙ 1!) !И1пх и 1 Й)их: — 1! д,.с,! с)ссс з , с)с о , ,'Й!11.г и 1) с-2 —,--;.- (а!и х . !1.с ссгг габт ' ' д.';дг) д- и з дн с)сс —;.
(Йш.г — !) . - — — ссмз:+ .,— Мк з, дс)с ' суб дсс сСзн ди, до до д,(-' д.:"У ' д,'()11 сус(з ' 1'11 и дзн,, д и, дзи, . — (кис х -' 1 1- —,—;-- (Инх.с 1 Й кюх -. !) + —,",; (Гбпх 1). дг ди дгз ' дс 101 сЬ)з ' И си а» Л;«- (110),; с')л дс) по позволит Йам рссиить урависйиа в явном вида.
дн . дг В самом дслс, обозна снм —; — -- и. Тоглз получим —; — „== О и, слсгки ссстс"льссси 1 кс зависит от,'. т.с. 1 --. Ь(д), гдс Ь(д) — произволысая ди пллдшш функция. А сак как —,—. — 11(11), то и!с„д) —.- ~ Ь(11) дс! '..
«1(б) --.-,"1(б) 1 (ср(), (1.13) ВО1ВОгнцзясь к старым псрсмсгснсым, пОлучим Обпсссс (ьснжнис исхОднОГО у)ссскнсисос. 11(х; 1,1 — гс(р — сон.г -,1 ) ь "з(р - мых -1 з). слс 11 и (з — пропзвольныс гсважды диффсренпирусмыс функции. зк и ."Ы)(Ф И1 Фи ди дзи тди 'д.г ' д. ОУ 'дуз г)х 6). Урааиеиис (1 11) есть ураанеиие зллнпти~1еского типа, тзк как: (д:-: - з" ' О. Днфференцнальным уравнением характеристик лсги него. служит урааиение ;н(у з, Й~ х( —.
~ + 2х" —,' -,2зы — О. .г(,гх ' ' и.г Отсела получаем ду —.г д ис или у -- — — ='. (-- д 4'. г(з 1 11огахжнм г — и е — х, г/ =.;, 3' 1(ри х У О преоб)гззоаснпм ~ииихрохс- 2 ' 2 ленное: (М 11) —:==- .хУО. д(.г, у) 1 О( В ноаых переменных (см (1.9)) урааиеиие ирнм~ т нид а дьи (дуи а). Уравнение (1,12) о тсосится к уравнениям иарзздолииескиго тниз, так как х) — О, и ему соотьезстаует следуаидее д114и)к'(ииии1алыюс, урааненне характеристик: ~.) ду хз из ., г(11 плк г гЬ Х ((и ' ' дх У(нтегрнруя его. колунам адно ссмсйстао характеристик у, ;,г- 1 Положим д .--- у 1 2.гт, у '- х, тогда д(х, 4 ,'х д(х у) ',1 О| Вырезна пргзнзаодиые, аходящне а урзакение, ь1ерез и(их~ехидные ио неаым переменным (см, (1.9)), подставив найденные аырзжениа и уравнена* (1.12), принудим <мо к следукипему каконикеекому аиду, да и ди дд 3'1 Задаии.
()И(тсдсхити тии Н Найтн ХараКтсрнетикн триыи Иий ,()ги д'и З1Ри ди 2. хз —., -. 2гу -,'— — - Зу -'-:; ' 9у —, . и .-- О, д,г ду '" гг|г " ду КЛМХ Игаихх1Ц1Н УРЛВНКИИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 7 Уи, (~ и ° '1зи ди ди 14.,' . 2х и — ~ хл--х.1 "-; — -- -; — -:2и -О, д~ ду дут йх ду гьд«д"их ... д"и и и . ди Ф, иир х1'--:;.. тх~ —. :Ыи2х —,--- е ---.
-ь к(их —.—:- О, дг ду (1~«)х ~ги де ди ди ди Ы ду «)у дз' ди Ф'и . д" и, ди ди (1, и -:, ' Оиу —,; — 1 дг"' ",. з у; — ~ х;--: О. ,Ьг' " ди ду ди ' дг ди 1 и д и ди ди 7. ~ 1 ~ г'; -'--', гу (1-1 у") —, + х —, е у --: — 2и —. О. д~з ' ду дх * ди 1(ли~и одластк гипсрболн аости, иарздолииностн н зллнпти изости храми иий и ду и и дри ди ди диз ' дх ду з ди, ди,ди 1О.!,г' 1) — -г —, 2и у.,— -, (у — 1, '—;- .-: О.
' дз ' гдхс~~у ' ди и" и,, д и и" и ди 11, ---, 2х, - ( у —..', 1.;.1:= О, д.ду ' " ггуд 'ду' '" 1(унаестк к канани сескому аиду следукпзис уравнения. 12, 2 --х 1 3 —,— е -' —, -', 7 — 1 4 ---' — 2и::. О. суи . иуи ди, -ди, ди, ;Ы" дх дз ди' дх ди д~-* ди ду ' дух дх дгд дх ду г),,гг ду „тди г, г)и, ' ди 2уз,, дл иуГ зди ди ...ди 16.
11 Ь Хе)ь . —, -Ь --; 1 2Х(1 я.,Г'1- — = О. ем ду дг ~1 и 17. 4у' — ', 12.гу; — -;*- и 9хе — --, =- О. дг ду дуг и" и,, д" и,„д" и и:г' дх ду ду ал)1л'1и дх дх ду и:гг д«ц, .- д»««ада а до 27. хд» '-:; 2тад ' Ч .с' — -., — да -'- = О, х ~: О, «Зг дх д«Х д«Г" дх 11айти общее решение следую!пик уравнений. 28 ' О д«г ду Зз. ---. =. 6Х'Р, д 'и дгг 29.
—,--;- дх дд 30. -' — ". д«г дд 3!. —, «7««««'.»1» = 2 '.д'. Дт' дц -- —.- — — О. ду д.ц 34. —,, дд 35. — -.-, дх ди +,— = у. Рух Привести к каноническому виду и решить уравнения. д и дх«дх ду 12 — ", =:О. д««' 6 д'ц дд» дц ди 37. ---., - 5 а —,—.. д,т дх ду д«'" д«гид и, « 22 ' 1»" — '„+ !4««тт..— —,.— + 2»хь —, =-2'— —, 25-- —,—. «дц дц, ««ац, ««»62, х ди дх" дт«71Х дд " дч д «11» е дгц, д ц л «1»«« 23.
2цш-х — -„. — 5сйп2т —,-+ Зсоц х -'-;, = О, ' «2«Д ' " дтдл ' дда ,; дти, д"ц о; «)»«««7«« 24. дх —;:; + 2хц —,--- е 2х» —,, + у — .= О. и, дд ' .»це»1» а «7»««,, «тс««а«дци 25. кю'х —; — 2дюпх —. ! дь — -.; =-О.
дх д«.«: 1»д дц '« ийц сйи 26. х: —, + --;, =- О, .т > О. д»* ду' ди д«ц 27..г — ц+ — —, —.— О,,г -:. О, д;г' да' »ладил кдши .: Зч«»ти, «1««« . д' ц ««» " *»»'«Чд д«г .-«ц г ««ц, ди Ф«:«г .", у' — —,,' -. 2у -- - О. ,"!'«'«дд» ' «)«г .*«»ц «, дц,«дц 4!. «г -,:, 2хд .—,-- ц д' —,:.-- О.
д.г дд «уд «."ц «г*ц ц д 2 гоц, дцй и «" «'«х «!«««Чг«д.«' д«Г д ц «х««ц «Хц . «уц 43,:О ' - .':, — 5ху — + 2д —,, + Зх --. ;««дх «»у «7«»» дх и«» ' ' дхдд ' дд» гд дц а2д —,'- =. О. дд дц е2д; —:: !. дпг г . «Г ц д и '«д ц . Ои 4». '1,«х —:; . охд —, 1 йцц -- .т «3.«г «2у —,.— =- 2,«- д". дгт ' д«'ду " «!««У «Уг " «)д 1!«.1««ханш к полярным координатам, решить уравиш«ия. «ди ди 46. «.
-' — — д —" =- О. дд ' дх ди ди, а««. 47. г; — Е д —,.-: .=. 21хь 1 д 1- дг ' ду ;ди, ди, а«»ц 4й, .« -' —; + 2хд —,,' 1- д —,-т = О и»" «1«гда «»»г , дгц дц ., дцц, дц дц5 49. «д — '„-- 2»д--+ т- —;, — ).г —,'.— т д —,) =' О. дхг ' ду дд» дт ' «дд~ ф 2. Задича аьоши !'. Задачей Коп»»« для уравнения 17Я««,, дцц «гец «ди д««» ц1«,д! --;, «251ху) -- —,.— » с)т ««) —,—, ч- )) х,д и.
—,—. — ~: — О, дхе * *' ' Игдир '' ддт '' ' д.«' дд ц- !»ач «д '-О, 12.!) «ш ывается задача определения его решения, удовлетворявшего дополня.«"лцным условиям на некото!»ой кр»»п«»й !'' с)и ~ и)х, и)1, — ««««)х. д)! .. -',— ) .-. ««~)х.д)) „ .«Г '" «" Щ«. " 1 1'» 2) «;ш 1 — некасательное к !' направление, например нормаль и. Если кривая ! не является характеристик«»й (см. )! 2)), то н некоторой ЗИ!Дс11! ЗАыяд ьОши )'т) Зч 51 (' ч) ~ (2 )О) най !ем - -т)1::т,"!»1 1')!9);', -ь уз(е!1,ь„= !з- 2(я- )-Ь(' 6(9-2х) — !4(9.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
