А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 14
Текст из файла (страница 14)
— расо»В Уе в1п В (2.427) Тогда., выражая из соотношении (2.423) обобщенную скорость»1 с учетом последнего равенства, имеем: ы = — — ф сов В = — — ~рг — р», соа В) . (2.428) ре рч соз В ,У У,У»в1п В Подставляя х и у, выраженные соотвественно из (2.420) и (2,421), а также выражения (2.427) и (2.428), в обобщенную энергию (2.419), получим дифференциальное уравнение относительно одной обобщенной координаты В: (р — рч сое В) =-и'(», »» '») ° ' ' ° д»» ° 2 2У»ап  — — — — (2.429) 2(У и» ту' откуда находим НВ д= — = ггг 2 (Е' — — Я ~ »), »430) ~~ Уе+тУУ»сов»В( 2У»е1п В 126 Значения этик интегралов движения однозначно определяется начальными условиями.
Равенства (2.420) и (2.421) моментально интегрируются, что позволяет найти явные зависимости от времени х = х(Г) и у = 9(1): где с целью сокращения записей введено обозначение (2.431) 21 з' /и пг) Разделяя переменные. находим квадратуру., определяющую неявную зависимость В = 0(с)/ е зе Ч- т11г сонг В 20ов1п 0 Рассматривая далее отношение обобщенных скоростей „-' и В с учетом соотношений (2,427) и (2.430) — 9 Ф Ф /, / 0 /(В г ( (ре — р,/.
сов В) +~/ г* /(~ ~/''/ после разделения переменных получаем квадратуру, которая определяет неявную зависимость л = уг(0)/ р, — ресовВ '/г /ге==я ( п0 . г х уосйп В ш г /ш (р,-р„с яВ) ( уе+пгйгсовгВ(, 2уев1п'В Наконец, вычисляя отношение обобщенных скоростей с/ и В. сосласно равенствам (2.428) и (2.430) ре сов 0 г (р/ ре ) У Ув!п В и 00 В 00 2 ( ( ь" /) Е— — упд/1 в1п В~ /+ Я 6( //\ 9 127 Разделяя переменные, находим третью квадратуру, определяющую неявную зависимосты~ = фд). в (р сов О ы — бо = + ~НΠ— — — -у — (р — р говд)) х 1,/р в1п д ва г - ыв 2 Р (Ре — Ре сов О) (е'- ' ', — дл В)) пАзм ~,4 Е гпйз савв О ~ 21в в1пв О Соотношения (2.424), (2.425), (2.432), (2.433) и г2,434) определяют закон движения монеты.
Задача 2.8.4. Определить моменты инерции однородного параболанда вращения высотой й и радиусом о плоской поверхности в системе координат с началом в центре масс. Решение. Сначала нам удобней будет поде ~нтать компонен гы тензора инерции в системе координат с началом в вершине параболонда.
Как известно., уравнение параболоида в этой сисшме координат может быть записано в виде в=С(х +у). !28 Коэффициент С найдем из данного в условии задачи размера параболо- ида: при х~ + у = С~ (уравненне окружности плоской его поверхности) координата х = Л, то есть х = —,(х'+ у') (2А36) Поскольку ось х мы направили вдоль оси симметрии параболоида, тензор инерции /и (2.436) (2,43?) Ыгп = р„, Лг, где р,„— обьемнан плотность парабо;юида. Его. в свою очерелгч запишем в цилиндрических координатах: (2А38) с якобианом перехода ог декартовых координат к цилиндрическим (2.439) То есть (2.440) агп = Р~ Рар'цгг(х.
причем 0 < р < а, 0 < р < йя. 0 < з < б. Напомним, что связь декартовых координат х, у с цилиндрическими координатами имеет вид: 129 б С = —,. аа Таким образом, уравнение параболоида У, = ~г(гп(ггбч — х,х,) будет диагональным (зч = 0 лля г' ~ 1). Элемент массы Ыгп удобно записать через элемент объема Жг: ~(К = Нхг(уг(х = ' дарг(зэг(х Р(х.
у, х) Р(р.р. х) Р(х, у, х) Р(р. р. с) х = рсоа„ у = ргбп |р. (2А41) (2.442) Полагая в (2.436) значения индексов 1 = у = 1, находим /» = ~с)тп(г — х ) = / 1Гт(р'-Ь л ), Г!одставляя сюда соотношения (2.440) и (2.442), запишем (2.443) .7» — — 11м / дй~~«Гох12(д е1п 22+ ). (2.444) Л «Ч'*1'Ь =р ~4(22~32 ~ д3д(д о1п "+2 ), (2.445) о о о «Внутренний» интеграл по координате р .~/'74 2 1 4 2 р«Гр(р е1п'22+ 2 ) = (- р е1п~42+ — горо) о р=а~/ а/й р-о 2 . г 1 о 2 г 4 2 = — — 2 Б1п 224- — — 2 р . 4 62 2 6 Тогда 2 ь р 4 2 1о , , 1о 111 = дм 022 ог — — 2 о!П ф+ — — 2 ~432 2 й о о (2.446) Вычисляя интеграл по координате =, имеем: 2«4 *=и 2 2 1 о 4 Х» = 42 1ГО2 — — 2 е!п 22+ — — 2 ( 12 /12 86 ),' о ~*=о 2 = р«~322( — а 1«з1п 22+ — а~1«2~.
(2.441) о 130 причем заметим, что для значений координаты 2 В пРеделах 0 < 2 < П координата р пробегает значения в пределах О < р < а1(Г«/Ь, то есть, пра- вильно расставляя пределы интегрирования, приходим к необходимости вычисления следующего интеграла: Наконец, вычисляя последний интеграл по углу ~, получим: гр рн = р ( — а )г(;р — — ып2гг) -г — а 6 чг) 4, 1,, 1 г э (24 2 8 = — р яагб(-а'+ йг) . (,з (2.448) Р' = (' а1г = ~ На 4у 8л = ~ Гх(рг(Ог г(г = ( а р / дг ~ р8р = о о о р=рзугГь =2я й — р~ г = — ха )ь г 2 2 ~р=о (2.449) Поэтому М 2М Р Ъ' ялга' (2.450) где М вЂ” масса параболоида.
Подставляя (2.450) в (2.448)., окончатеоьно получаем лля компоненты уп тензора инерции следуюпгее выражение: г г р'и =.— М(-а +Ь ~. 2 13 (2.451) Полагая значения индексов г = у = 2 в (2.436)., для компоненты Угг получим интеграл Угг — ~г)т(гт — У ) = / Игп(гх + г ) =- г л рчг'т = ф„, ~ног~с)г / рг(д(л соогп 4 гг). (2.452) о о о который, как несложно сообразить, приводит к тому жс результату, что и интеграл (2.445), а потому, так же как и компонента Ун, Угг=-М(- +5 ). 1 51 (,3 (2.453) 131 Лля нахождения объемной плотности р, вычислим обьем параболоида: Наконец. полагая значения индексов з = у == 3 в (2.436), для компоненты узз будем иметь интеграл зр л .~/7л ,1зз = / Ут(г — з') = /4)т(х'+ У') =- Р /ЙР /4)з / РЙРРз = о о а л 1 ~р=рьр*7л 1 4 л = ррр 2я ' /~4з р ~ = рмя / 4)х = -р ка А.
(2.454) У 4 ~ 2 Аз/ 6 о р=о о Подставляя сюда выражение (2.450) для плотности р, окончательно запишем Узз = —,Ма . 1 з 3 (2.455) Теперь остается преобразовать найденные компоненты тензора инерции в систему координат х'у'з' с началом в центре масс параболоида при помощи теоремы Штайнера. Но для этого необходимо знатен на сколько начало одной системы координат отстоит от начала другой. Другими словами, нам необходимо рассчитать положение центра масс параболоида в системе координат хуз. Совершенно очевидно, что его координаты (2.456) х„„= уа„= О. А вот координату з „прилется вычислять но определению; 1 г 1 зо„— — — / йт з =- — Р /о1Р х =- М р=',/*7л = — р,„-2.4 / Изз -р М'" '/ 2 Подставляя в последнее равенство выражение для плотности р согласно (2.450), окончательно запишем 2 3 х„„= — 5, (2.458) Другими словами, начало системы координат х'у'з' отстоит от начазза системы хух на вектор 2 о = — — Аез 3 (2.459) 132 2 Л я -/"'./' о о Л а ЛУрУЛ о (2.451) у(4 у ))у( зб ) (2.460) Поскольку компоненты вектора а) = аз = О., то, очевидно, компонента у(Е) и: 2 у)) — — уп — Ма = — М (-а +)) ) — (-))) = — М ( а Ч- -))з) .
(2.461) 6 (, 3 Совершенно аналогично, компонента ззз: (с), Узз Узз Мо М '(о )) ) (в) 3 2 з б (, 3 ) (2.462) А компонента тензора инерции ззз: (с) () ( ° з( Узз = Узз — М(а — аз) = ум = — Ма . 3 (2.463) 133 (начало вектора находится в центре масс). Согласно теореме Штейнера, компоненты тензора инерции /„"' в системе координат с началом в центре масс могут быть найдены по компонентам тензора у, в другой системе координат. начало которой отстоит от начала первой на вектор а, по формуле: Глава 3 Метод Гамильтона 3.1 Функция и уравнения Гамильтона Обгцие рекомендации, Для построении функции Гамильтона необходимо, как говорят, подвергнуть функцию Лагранжа преобразованию Лежандра. При этом иапо иол~нить о том.
что гамильтонов формализм развивается на множестве так называемых канонических переменных рп о, — обобщенных импульсов и обобщенных координат. функцией которых гамильтониан и является, поэтому необходимо проследить, чтобы все обобщенные скорости (в частности, фигурирующие в лагранжиане) были выражены через них и только через них.
Так же как и в лагранжевом формализме. наличие снл трения никоим образом не отражается на виде функции Гамильтона. Поэтому, при построении гамилыониапа диссипативных систем просто забываем про наличие таковых сил. О них необхолимо вспомнить на этапе пост~юения уравнений движения. силы трения лают о себе 'знать в правых частях одной из групп уравнений Гамильтона. Необходимо всегда помнить, что по своему смыслу гамильтониан представляет собой обобщенную энер1ию системы, записанную в терминах канонических переменных.
Задача 3.1.1. Построить гамилщониан системы, которая описывается лаграижианом 134 ь" = — (тз а тедо с тво)поО Уз) + е ото з)поду. 2 2с дС р, = — =тт. дт (3. Ц откуда (3.2) т=— т Обобщенный импульс рв.. дС рв = —. = тот~В. дВ (З.З) откуда В = —. рв тто (3.4) Обобщенный импульс рт; дС з в еНов,з р„= —. = тлт в1п Ор -ь — т з1п О.
дчУ 2с (3.5) откуда 1 г еНо, уэ = — —:-1-(р„— — т в1п В) . тпт Б1п В 2с (3.6) Теперь запишем преобразование Лежандра: Н = р,т+ рвВ+ р„1У вЂ” Е = р Рв 1 / еНоо.о = р, — '+рв — +рв — — у- '(р„, — — т вш В) — С. (3.7) тп тпвл пвтоз)п В (, 2с 135 Решение. Перед тем как непосредственно провести преобразование Лежандра представим обобщенные скорости как функции канонических переменных. Для этого, используя заданную функцию Лагранжа, построим обобщенные импульсы, откуда и выразим обобщенные скорости через обобщенные импульсы о координаты.
Обобщенный импульс р„: Подставилс сюда выражение для лагранжиана, заменяя в котором обобщенные скорости на выражения согласно равенствам (3.2), (3.4) и (3.6): Р Рв еНО,, 1 Р„' Н = —" а — -Ь вЂ”;-и-1 Р— — г В1П О) — —"— т гпго гпгзяп 0 (, 2с ! 2т Рв 2 1 ( ОНО 2 2 2 (Рг — — и Яп 0) 2тгз зтгзяпзВ л 2с ОНО 2 . 2 1 ОНΠ— — г яп В . ~Р.— — г зш О). (3.8) 2с тгза1п20 1 2с Приводя очевидные подобные слагаемые, вынося общий множитель в третьем и последнем слагаемых, перепишем: Р'„Рв 1 еНО 2 . 2 Н = — + — 2+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
