А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следует понимать, что существование интегралов движении нвляется следствием уравнений движения Гамильтона, что и делает решение системы уравнений, составленной из интегралов движения, эквивалентным решению системы уравнений движения. Задача 3.3.1. Найти закон движения в квадратурах для системы, которая описывается лагранжианом (а=совет) ~= — (р+д~)— пз о з ., асоэзэ 2 рз Решение. Отметим, чю используя известные на данный момент методы, по виду функции Лагранжа можно найти только один интеграл движения— 146 дС рр — — — —— гпр, др (3.58) откуда Р= Ре (3.59) Аналогично, обобщенный импульс ргд дС Рк = — = пэл Ф, аф (3.60) откуда 2' Ре (3,61) Функция Гамильтона я = р,р+ р,ф — С = р, Рр + р„.
Ре— Построенная функции Гамильтона не зависит явно от времени ( = дУ вЂ” = О, и отсутствуют диссипации, она сама является интегралом дг движения: (3.63) И = сопвг = Е. 147 обобщенную энергию. циклических координат нет, поэтому ни один из обобщенных импульсов не является интегралом движения. В то времн как рассматриваемая система имеет две степени свободы. Однако следует долускатгч что невозможность найти недостающий интеэран движения по виду функции Лагранжа, не означает вовсе., что он не существует. Перейдем к гамильтонову описанию системы. Подвергнем заданный лагранжиан преобразованию Лежандра и построим функцию Гамильтона. Для этого сначала выразим обобщенные скорости через канонические переменные. По определению, обобщенный импульс р„: (Поскольку гамильтониан по своему смыслу есть обобщенная энергия системы.
значение его имеет смысл обозначить константой Е.) Для на- хождения второго интеграла движения. перепишем функцию Гамильто- на следующим образолс Н = —" -1- — ( — г+асозр 2т рг (,2т (3.64) Такая форма записи гамильтониана позволяет сделать вывод о том, что выражение., стоящее в скобках, есть функция пары канонически сопря- женных перемеинмх р . р Г(Рг,,й) = -д-+ асоэлг, рг (3.65) которые нигде более, как в ней, не встречаются в функции Гамильтона. В этом случае говорят о том, что имеет место факторизация зависимости функции Гамильтона от пары канонически сопряженных переменных р.. уг в фунхцию ), а потому последняя является интегралом движения: г — + асар = С = сонэк рт 2т (3.66) Г!ри этом сама функция Гамильтона, как интеграл движения, теперь может быть записана как Н = и- -!- — = Е.
рг 2гп рг (3.67) Согласно общему алгоритму, далее необходимо, используя уравнении Гамильтона дП рр дрр т.' дН р, рг (3.68) (3.69) др гпр' 148 выразить обобщенные импульсы р . ре через обобщенные скоросгн р, р и переписать интегралы движения (3.66) и (3.67) в виде дифференциальных уравнений. Однако, поскольку исходно задача была сформулирована в лагранжевом формализме, и мы совершили переход к гамильтонову, < тр~ С Е= — + —, дф 1 С = — гпд ~1 + Осоаф. 2 (3.70) Выражая из первого уравнения р рш — — = х — Š—— (3.71) и разделяя переменные, получим квадратуру, которая определяет неяв- ную зависимость р = д(1): и ы (3.72) Выразим из (3.66) обобщенную скоростыр: 1 2 л = т —, — (С вЂ” ассад).
дх тп (3.73) Рассмотрим далее отношение обобщенных скоростей р и 1г, которое согласно равенствам (3.71) и (3 73) может быть записано как (3,74) тг яр 1 2 — — (С вЂ” а совр) дх ги Разделяя переменные, получаем квадратуру, определяющую неявную зависимость Р = Род) (3.75) 149 необходимые нам выражения (3.58), (3.60) уже имеются. Подставляя их в найденные интегралы движения, получим систему; Выбор знаков «х» осуществляется исходя из следующих соображений. Знак перед интегралом по углу э» слева определяет знак обобщенной скорости л (3.73): знак «+» берется в том случае, когда при движении происходит возрастание угла Р, знак «-» — в случае уменьшения угла д, Знак перед интегралом по переменной Р в правой части определяется знаком обобщенной скорости Р (3.73): знак «+» необходимо поставить, если при движении координата р возрастает, в противном случае ставим знак «-».
Зная координаты р, »» и их первые производные р, »» в начальный момент и полагая г = гл в равенствах (3.70), найдем однозначно значении констант Е и С. Итак, закон движении системы с заданным лагранжианом определяется равенства»»и (3.72) (3. 75) . Задача 3.3.2. Частица описывается лагранжианом и» Е = — (бл -» г»Вл + глэ!п~Вф~) — ас» сое В. 2 Найти закон движения частицы в квадратурах (а = сопят). ВЕ = — = тат, дг (3.76) откуда Р- г = —.
га (3.77) 150 Решение. Отметим, что по вцлу лагранжиана можно установить два интеграле движения: обобщенная энергия и обобщенный импульс, соответствующий циклической координате Р. Однако их нам недостаточно лля нахождения закона движения системы с тремя степенями свободы. Подвергнем лагранжиан преобразованию Лежандра и перейдем к гамильтонову описанию.
Выразим обобщенные скорости через канонические переменные. По определению, обобщенный импульс р;. Обобщенный импульс рв. дС рв = —. = тлгвВ. дВ (3.78) откуда В = —. рв щ,л' (3.79) Аналогично, обобщенный импульс р,: рв = — = тат' вш В1в — а сов В, дЕ дф (3.80) откуда 1 ф = — — в — (р,, -~-асовВ). тптв взп В (3.81) Функция Гамильтона р, рв (ре+ а сов В) н=,~ ю ~,~-с= .— ',.— р,.
тл тптв тптв гйп В в —.((-)'- ( — ".)'-"" ( — "- ) ) в)1 — а .В= щ в ттвв~пвВ ) = — "+ — +, (р ч-асовВ) . (3.82) р, Рв 2ти 2пщв 2ттвсбп В дН вЂ” =. О, дС а потомт она сама является интегралом движения Н = сопев ю Е. (3.83) Обобщенная координата у являетси циклической: дН вЂ” =- О, дч> 151 Построенная функция Гамильтона явно не зависит от времени: а потому обобщенный импульс рг, ей соответствующий, явлиется инте- гралом движения: 13.84) р„= сопэс = Р. Перепишем гамильтониан следующим образом: зт Н= — '+ — (р~+ —., (р +асоэд) ).
13.88) 2т 2тгз г, э1п' О Выражение, стоящее в скобках, может быть интерпретировано как функция двух пар канонических переменных рв., д и р . у 1коорднната д, как уже было сказано, является циклической, потому эта функция реально не зависит от нее; тем не менее, не будет ошибкой, если мы скажем так), в которую факторизуется зависимость гамильтониана от этих канонических переменных: 71ра,д:р..д) = рв+ ъ (рг+асоэд)) . 1386) Действительно, вне этих скобок перечисленные канонические перемен- ные в функции Гамильтона нигде не встречаютсн. Следовательно. эта функции н представлнег собой необходимый нам третий инте~ран дви- жения; 13.87) )атрид, р, сэ) = сопят = С. С учетом этого интеграл движения 13.83) перепишем как Н = — ' - — = Р,' р', С 2т 2тгэ 13.88) дН р, г= — = —, др, т' дН рг д = — = —.
дрв тгэ 13.89) дН 1 р= — = . з (р ч-ассад) др тгэьбп д 152 Далее перепишем систему из интегралов движении 13.88), 13.84) и 13.87) в виде системы дифференциальных уравнений. Для этого, в самом общем случае, необходимо было бы из уравнений Гамильтона выразить обобщенные импульсы через обобщенные скорости. Однако этн выражения у нас уже получены при проведении преобразования Ле- жандра. С учетом (3.76), (3.78) и (3.80) перепишем интегралы движения (3.88), (3.84) и (3.87) в виде: пггв С Е = — -!- —. 2 2нтгв (3.90) Р = тпгв в1пв д42 — и говд.
4 (Р+ д) 2 492 ч в!ив д Ну, а дальше решаем эту систему стандартным образом. Г!ервое уравне- ние допускает разделение переменных и может быть сразу проинтегри- ровано. В самом деле, выразим из него т: г зв — = х)) — (Š— — ), дг 2 С (3.91) откуда после разделения переменных, получаем квадратуру, определяю- щую неявную зависимость г = 2(!): /де =+~ (3.92) Выразим из третьего уравнения системы (3.90) д: (Р+ асовд) д=~ — С— глгв в2пв д (3.93) и рассмотрим отношение обобщенных скоростей 2' и д.
В соответствии с равенствами (3.77) и (3.79), (3.94) д Дд 1 (+ д) 153 Разделяя переменные, получаем квадратуру, которая позволяет найти ненвную зависимость г = г(В): в ~» в)' „..., »~» (С— 7 и» ~ 2п»гэ/ а1п В Наконец, рассмотрим отношение обобщенных скоростей О и «».
Принимая во внимание соотношение (3.93) и выражая э» из второго уравнении системы (3.90), (» - с' (3.96) э1п~ О найдем третью квадратуру, позволяющую определить неявную зависимость О = В(Р): (Р -Ь а сов В) с(О (3.97) «» «, ~ (гР+ а сов В) Ч о 'С— Значения констант Е, Р и С однозначно определяются начальными условиями: пола~пи 1 = Го в (3.90), находим их. Закон движения частицы определяется квадратурами (3.92), (3.95) и (3.97). Знаки «"-» в этих выражениях перед интегралами по переменным г и В следует выбирать из следующих соображений, Знак перед интегралом по г определяется знаком обобщенной скорости т в соответствии с равенством (3.91), поэтоми в случае движения частицы в сторону увеличения обобщенной координаты г перед интегралами по г в равенствах (3.92) и (3.9о) следует брать «т», в противном случае — знак «-к Аналогичным образом, знак перед интегралом по О определяется знаком производной О согласно (3.93).
Следовательно. если частица движется так, что при этом угол В возрастает., перед интегралал»и по В в полученных квадратурах, необходимо оставить знак «+», иначе — знак «-и 154 3.4 Канонические преобразования Общие рекомендации. Также как и в лагранжевом форыализлге. в методе Гамильтона успех и простота решения той или иной задачи может зависеть от выбора переменных, что часто приводит к необходимости совершения их преобразования. Поскольку в гамильтоновом формализме незанисимымн переменными являются не только обобщенные координаты, но н обобщенные импульсы, необходимо задавать закон преобразования и для координат и лля импульсов., причем закон преобразования для одних автоматически не задает закон преобразования для других (в лагранжевом формализме дело обстоит иначе: задавая закон преобразования обобщенных коорлинат, автоматически задается закон преобразования обобщенных скоростей, которые на пару с обобщенными координатами объявлвютсн независимыми переменными в лагранжевом формализме).
Переходя от одних переменных к другим. важным являезся необходимость сохранения вида уравнений движения — уравнений Гамильтона, уже хотя бы потому, что заранее будет известна форма уравнений движении. а также будут действующими все методы. развитые на базе канонической формы уравнений Гамильтона (например, метод интегралов движения). Чтобы этого добиться, имеет смысл рассматривать только те преобразования канонических переменных, которые в определенном смысле согласованы. Такие преобразования называются каноническими.
Согласованность законов преобразования обобщенных координат и импульсов выражаетсн выполнением ряда требований, заложенных в две теоремы: необходимое и достаточное условие каноничности и критерий каноничности. Необходимое и достаточное условие каноничности утверждает, что для всякого канонического преобразования существует хотя бы одна из четырех возможных производящих функций, удовлетворяющих опредленным соотношениям (формулам канонических преобразований). Наоборот, каждая производящая функция соответствует строго определенному закону канонического преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
