А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для нахождения закона движения методом Гамилльтона — Якоби необходимо: 1. Записать уравнение Гамильтона-Якоби. 2. Методом разделения переменных найти частное решение уравнении — полный интеграл уравнения Гамильтона †Яко (пере»генные делятся суммой: производящая функция, как функция всех обобщенных 162 Задача 3.6.1. Методом Гамильтона-Якоби в сферических координатах найти закон движения в квалратурах лля частицы. движущейся в центральном поле (У(т). Решение. Лаграмжиан частицы. движущейся в центральном иоле Б(т) в сферических координатах, имеет вид: х.
= — (т -~- т~В~ + т~ е1п~ Вф~) — Ии 2 (3.121) Дли проведения преобразования Лежандра выразим обобщенмые скоро- сти через импульсы. Лля этого последние построим по определению: дС р, = —. = тт, дт дь" р» = —. = тот~В дВ (3.122) (3.123) 163 координат и времени, ищется в виде суммы функций, каждая из которых зависит только от одной переменной). 3. 2(ифференцируя найденный полный интеграл по неалдитивным константам н приравнивая производную к другим произвольным константам,находнм закон движения (явно или неявно). Значения введенных комстант могут быть одмозначно найдены изначальных условий. 4. Смысл и значения неаддитивных констант, возникающих при нахождении полного интеграла, определяют путем дифференцирования полного интеграла по обобщемным координатам и приравнивая полученные производные к соответствующим канонически сопряженным импульсам.
Затем, выражая, по возможности, неалдитивные константы немым образом, полагают С = се н, используя начальные условия. находят их значения. Следует понимать, что успех применения метода Гамильтона-Якоби для нахождения закона движения системы определяется возможностью полного разделения переменных. То есть, к великому сожалению, данный метод ме может быть применен к абсолютно произвольной системе! Однако всегда имеется шанс удовлетворить этому условию (условию полного разделения переменных), например, переходя к «новым» каноническим переменным, в которых, возможно, оно будет выполнено. дС Рг = — = гпг в!п Все, дэу 13.124) откуда р" г= —, гп' В= —, Ре пи.е Рт тех вуп В 13.125) (3.12б) 13.127) Тогда фу.нкцин Гамильтона Н =.
Р,г + реВ -1- рт р — С = Є— ' + ре —, -ь р„ Р Ре Ре т тгв тге вш В = — ' ч- — -ь — — ~- -> У(г). Р) Ре Р» 2т 2тге тгвв!и В (3.128) В уравнении Гамильтоиа-Якоби: др (др —.'+Н~ —, 1) =О, д1 1 де (3.129) первый аргумент функции Гамильтоиа в виде частной производной озна- чает, что в функции Гамильтона иеобходимо все обобщенные импульсы заменить иа частные производные по соответствующим обобщенным ко- ординатам: дГ ВР ВЕ Р ~: Ре е Ре дг ' дВ ' е д~е' В нашем случае уравнение Гамильтона-Якоби принимает вид: (3.130) г 1й г. В, Че) = т1 г) + 17(г) + В(В) + Ф(Ф). (3.132) 1б4 Согласно теореме Якоби, для нахождения закона движения частицы, требуется кайти частное решеиие этого дифференциального уравнеиия под названием полный интеграл. Это решение ищется методом разделеИпя ПЕРЕМЕННЫХ.
ПрвдетаВИМ фуНКцИЮ г" 11, Г. В. ЕЕ) В ВИДЕ СУММЫ ЧстЫрЕХ функций одного аргумента: Подстановка в уравнение (3.131) дает: Т(1)+ — (Н'(г)) Ч вЂ” (Э (В)) + — — 4 — (Ф(„.)) +Цг) — О. (3.133) Здесь штрих означает производную функции одной переменной по ее аргу.меиту.
Начнем далее последовательио отделять переменные й г, В, р друг от друга. Для этого перепишем последнее равенство: -Т'(1) = — ()7'( )) + —,(Е'(В)) + + —;-у-(Ф'(эа)) + У(г) = А, (3,134) В левой части тем самым мы собрали всю зависимость от переменной ц правая часть зависит от всех остальных. Две функции разных и независимых аргументов равиы друг другу при любых значениях их аргументов тогда и только тогда, когда обе оии равнм одной и той же постоянной. Так мы ввели неалдитивиую константу В1 и приходим к двчм уравнениям: т'(г) = -Вп (3.135) — (й'(г)) + — ((еу(В)) 4- —.у-(Ф'(Ф)) ) + Ь'(г) = 31 (3.136) Первое уравнение тривиально интегрируется: Т(1) = -В11+ сь (3.137) где С, — произвольная алдитивная константа.
В уравнеиии (3.136) произведем отделение переменных В. л от г переписав его следующим образом: (Еу'(В)) + —,з (Ф'(г)) = 2глг~(В1 — — (77'(г)) — У(г)) = 11ю (3.138) Левая часть равенства представляет собой функцию двух перемеиных В, л, правая — функцию переменкой г. Эти две функции независимых перемеиных равны друг другу, если каждая из них равна константе. Так 16о иы вводим вторую иеалдитивиую константу 4, В итоге получаем два уравиеиия: (3.139) (3.140) Последнее уравнение позволяет найти функцию Я(г): 14(г) = + / Йг ч. Сз, (3.1 4Ц где Сз — произвольная еддитиви ая константа. Наконец, в уравнении (3.139) произведем отделение переменной д от переменкой р, переписав его следующим образом: х пв ем=+((ь-(еГЕГ)."в) =еи. (зчс И вновь мы обе части этого соотношения приравняли к новой неалдитивиой константе бз вследствие равенства друг другу двух функций иезависимых аргументов д и 1е.
Интегрируя возникающие два уравнения (3.143) (3,144) находим: Ф(,о) = )Звало ч- Сз: Гэ(о) = х ) по\1~да —; г + Са, (3.145) (3.1467 / бз Е(й г 9, р) = -3~1 х )' Иг ~ 2гп (Д вЂ” — — У(г)) т 1( ( 2тгз бэ ~/'46 г1,— — ', +Взр+З.. (3.141) е1п В 166 где Сэ, Св — произвольиые адаитивиые константы. Собирая все вместе, объединяя четыре произвольных аддитивиых константы С, С„ Се и Се в одну Зь находим полный интеграл (3,132) уравнения Гамильтона-Якоби дд 7 д, — — 2т 1, — —, У(т)).
дт ~( ( ' 2тптз ОЕ,1э дв г дО в1пт О (3.148) (3.149) дН Р, = — = дз. д (3.150) откуда, выражая иеаддитивные константы, находим: А = —" т —, ад(т), р дв 2пз ' 2тлвз э дз ~2 рв4' . з э1п О А=О,. (3.151) (3.152) (3.153) Мы видим, что выписанные комбинации канонических переменных сохраняют свои значения со временем, то есть являктгся интегралами движения. Чтобы иметь возможность найти их значения. выразим обобщенные импульсы через обобщенные скорости на основе уравнений Рамиль- тона: дН др. дН О=— дрв ОН ВО (3.154) (3.155) (3.156) др гптзэ(п О' 167 Как и положено полному интегралу для системы с тремя степенями свободы, найденное решение зависит от трех неаддитивных констант дп дз, дз и одной адаптивной константы 34.
последнии не оказывает влияния на динамику систему, поэтому зачастую ее просто ие выписывают. Прежде чем непосредственно находить закон движения, выясним смысл и найдем значения неаддитивных констант. Для этого, согласно теореме Якоби, необходимо вычислить частные производные от найденного полного интеграла по обобщенным координатам н приравнять результат дифференцирования соответсвунзщим канонически сопряженным обобщенным импульсам. в которых мы узнаем ранее уже полученные при проведении преобразо- вания Лежацлра выражения (3.125) — (3.127). Соответственно, обобщен- ные импульсы выражаются через обобщенные скорости согласно равен- ствам (3.122)-(3.124).
Стало быть, иеалдитивиые константы Д = — + — ч- (7(т), :2 6 (3.157) 2 2тигз 1в ,Зз = гпгз ешз Вф, (3.158) (3.159) — =-1+ / дг' Нг ~Г2шп = оп (3.161) дд! 62 2 А- — -и(г) 2гпгз Полученное соотношение уже представляет собой неявную зависимость координаты г от времени й Однако перепишем его иесколько иначе, что- бы лишний раз не заниматься нахождением значения консгаиты о,: С вЂ” се= ~/ ь (3.162) 168 И вот теперь, полагая в этих равенствах $ = $е и зная из начальных условий (которые в данной задаче явным образом не заданы, ио они всегда подразумеваются!) значения обобщенных координат и обобщенных скоростей, мы сможем найти значения неаддитивиых констант; 6,=6;! (3.160) ~ь=м Перейдем к нахождению закона движеиия. Согласно теореме Якоби, для этого необходимо результат дифференцирования полного интеграла по неалдитивиым консгаитам приравнять к другим произвольным константам, которые в дальнейшем могут быть найдены из начальиых условий.
Вычислим производную от вайдениого полного интеграла уравнении Гамильтова — Якоби (3.147) по иеаддитивной константе Дм рассматривая зависимость его от Д как параметрическую, и приравняем результат к какой-то произвольной постоянной а,: Переход от (3.161) к (3.162) можно понимать так: константу оо была разделена иа две части.
Первая есть !е, а вторая представляет собой подстаиовку значения интеграла иа нижнем пределе. далее вычислим производную от полного интеграла по констаите дг и приравияем результат к произвольной константе аг. о !~ ~/2 дР' д,дг дг — аг, (3.163) дзг 2 дг (1(т) 2 дг -. + 2тптг Бгп В которую вновь разобъем на две части, каждую из которых представим как результат подстановки значений обоих иитегралов иа нижних пре- делах: г ~ (3 164) 1 пт о ~ г (о()о в д 3 т'1 2ттг ( з з!и В Данная квадратура представляет собой неявную зависимость т = т(В). Наконец, вычислим производную от полного интеграла по константе дз и приравияем результат к новой произвольной константе оз: дЕ ( в!пг В) — =!в~ огд =аг.
ддз йг 2 А — -+ з1п В (3.165) Разбивая константу аз на две части;!ве и значение подстановки интегра- ла иа нижнем пределе, запишем в / Зз ВВ 'Ф !ве=ш/ г з!и В дг Во дг — —.ч— з!и В (3.166) 169 что представляет собой зависимость;в = л(В). Соотношения (3.162), (3.164) и (3.166) задают закон движения частицы в квадратурах. Отметим, что интеграл в соотношении (3.166) может быть легко вычислен, а получающееся выражение будет представлять собой уравнение плоскости, что говорит о том, как мы знаем, что движение в любом центральном поле является плоским. Выбор знаков «шэ в полученных квадратурах осуществляется стандартным образом и определяется исключительно направлением движения частицы.
Задача 3.3.2. Система описывается гамильтонианом Методом Гамильтона — Якоби найти закон движения системы в квадрату- рах. Решение. Сразу скажем, что эту задачу мы не смогли бы решить методом интегралов движения., используя известные нам правила нахождения нх по виду гамильтониана. В самом деле, по виду функции Гамильтона мы заключаем, что интегралами движения являются: сам гамильтониан (он не зависит явно от времени)., а также функция 1 1(Рь ЧЙ = рз ь (3.167) в которую факторизуется вся зависимость функции Гамильтона от пары канонически сопряженных переменных рз, оз. Однако этих двух интегралов для системы с тремн степени свободы недостаточно, чтобы найти закон движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
