А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Н(,У) =,Ущо. (3.211) Поэтому собственная частота осциллятора согласно соотношению (3398), м = — = ' 'э. дН(7) д,7 (3.212) 179 И поскольку обобщенная энергия и функция Гамильтона по смыслу од- но и то же, получаем выражение для гамильтониана осцилпятора, за- писанного через переменные «действие-угол» (реально, как видим, он оказывается зависящим ~олько переменной «действиеь); Задача 3.6.2. Шарик массой т, двигаясь по гладкой наклонной плоскости АВ в однородном поле тяжести д, в нижней точке А испытывает упругое столкновение со стенкой. Найти, как со временем изменяются энергия и максилшльная высота подъема шарика при адиабатнчески медленном изменении угла а наклонной плоскости. Решение. Общая идея решения этой и подобных задач заключается в построении адиабатического инварианта, который представляет собой некоторую комбинацию меняющихся со временем энергии Е(г) и параметра а(С). Именно отсюда представляегся возможным нахождение закона изменения эмергии со временем.
Можно было бы попытаться записать выражение для энергии шарика и, зная закон его движения, подставить зависимость его координат от времени в него. Однако зто представляется практически невозможным, хотя бы потому, что мы не знаем явного закона изменения параметра гл со временем, что затруднит решение дифференциального уравнения движения с целью явного нахождемия закона движения. Очевидмо., система имеет одау степень свободы (положение шарика на наклонной плоскости можно однозначно задать, введя одну координату, поскольку угол наклона ее считается известным в любой момент времени: гл(г) — заданная функция). И так как нам в дальнейшем придется находить максимальную высоту подъема, рациональным будет в качестве обобщенной коордиматы выбрать ординату у шарика в системе координат.
оси которой изображены на рнсу.нке. 180 Для построения адиабатического инварианта, коим является переменная «действие» 1 г У = — У р(у)(у, 2хУ (3.213) иам необходимо найти обобщенный импульс р как функцию обобщенной координаты у. Сделать эго можио. например, построив лаграяжиап системы.
Кинетическая энергия шарика, совершающего плоское движение, Т = — (х + уэ). (3.214) Координату х пеобходимо выразить через обобщенную координаты у. Из чисто геометрических соображений (см. рис.), (3.215) х = усгйа. Лиффереицируя по времени, х = — (Усгйа) - Усьйа — Уа-;-у —. «11 э1п а (3.216) (3.217) х ш усгйа. Сей факт позволяет считать медленно меняющиеся параметры фиксированными (коистаятами) при построении лаграижиаяа системы. Вспоминать о том, что они все же изменяются со временем, необходимо при составлении уравнений движения по построенному лагравжиаиу.
Итак, кинетическая энергия шарика гп '2 Т = — У (1+ сгй а) = —,т —. 2 2э)п а (3.218) Потепциальная энергия шарика (3.219) 181 Однако не стоит забывать, что угол а меняется со временем очень мед- ленно, что позволяет считать второе слагаемое, содержащееа, ничтожно малым по сравнению со слагаемым, содержащим у, тогда Стало быть, функция Лагранжа рассматриваемой системы Е = —,— у — — тпду. 2этп о (3.220) Обобщенный импульс дь" ту р (3.221) ду Би! о обобщенная энергии дб тут Е = у — — Е = —;-у- + тду. ду 2Б1п о (3.222) Выражая у из (3.221) и подставляя в (3.222), запишем рт Б1пз о Е = +тду, 2т (3.223) откуда находим импульс р(у) как функцию обобщенной координаты у: 2т р =- к — -« — (Š— тду).
(3.224) Поэтому переменная «действие» (3.213): 1 2т ,7 = — ~ду у — (Š— тпду). (3.225) В предылущей задаче мы выяснили, что данный интеграл «с кружоч- ком* сводится к удвоенному определенному интегралу, пределами ко- торого являются точки поворота, ограничивающие область финитного движения: ,т = — ) т(у — у — (Š— тпду). 1 2т т! (3.226) (3.227) ут тд 182 Левой точкой поворота является у, = 0 (она обусловлена барьером в нижней точке наклонной плоскости). Правая точка поворота уз опре- деляется стандартно условием равенства потенциала (3.219) и энергии Е: Интеграл в (3.226) как интеграл от степенмой функции, 2 1 2т Ыг »7г "' г,=е (3.228) , 2 Х Ыг Ез!г(З) — ~ — ) —.
= сопвз., Зхд 1п») гйп а(З) (3.229) откуда находим, что энергии мемяетсн со временем пропорционально сте- пени 2/3 синуса угла а: Е(1) вгпюз а(1). (3.230) Максимвльнан высота подъема Л, по сути есть точка поворота уг, определяемая равенством (3.227), поэтому изменение ее со временем Лмь„(1) = — Е(С) - в1п а(1).
Е(1) г7» тд (3.231) Задача 3.6.3. Определить, как со временем меняется энергия системы, описываемой лагранжианом С = — (х, Е хг) — -(х, -Ь хг.Ь 2ахг хг), 2 2 при здиабатически медленном изменении параметра а (О < а < 1). Решение. «Лобовой» и стандартный путь решения, подразумевающий нахождение выражения для обобщенной энергии по функции Лагранжа и подстановки в него закона движения х,(г), хг(1) обречен на неудачу по причине невозможности нахождемия аналитическими методами последнего 183 И поскольку майденная переменная «действие» является адиабатическим инвариантом, полученная комбинация мемяющихся со временем энергии Е и угла а сохраняет свое значение неизменным; » «1 (1 з 1,д г) Л=(-б',-- ц,б,~~ (-б,— — ',,„8,).
)2 2 ) )»2 2 (3.232) На данный момент задача свелась к нахождению собственных частот системы. Как мы уже отметили в предыдущей задаче, при совершении каких — либо действий на уровне лагранжиана (а мы, фактически, хотим совершить преобразование обобщенных координат х, -» (, именно в функции Лагранжа) можно считать медленно меняющиеся со временем параметры постоянными. Так и мы будем искать стандартным образом, описанным ранее в параграфе 2.7, собственные частоты, позабыв об изменении параметра а со временем. Лли этого составим систему 184 (к примеру.
мы не знаем явного вида функции аП)). Поэтому. как и предписывают нам общие рекомендации поведения при анализе систем с медленно меняющимися параметрами, построим аднабатические инварианты, переменные «действие», ум .7» и через них выразим искомый закон изменения энергии Е(С) со временем. Однако сразу переходить от лагранжевого описания в координатах хм к» к гамильтоиову с целью построении переменных «действие» нельзя.
Причиной тому является перекрестный член )гс»х,х» в потенциале. Напомним, что переменные «действие-угол» могут быть введены не для всякой системы, а лишь для систем, удовлетворяющих определенным требованиям, среди которых, в частности, имеется условие существования набора канонических переменных, допускающих полное разделение переменных.
Указанный перекрестный член будет присутствовать и в гамильтониане, и именно он не позволит разделить переменные при нахоисдении полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Поэтому прежде нам необходимо, находясь в лагранжевом описании, подобрать такие обобщенные координаты, которые были бы лишены упомянутых проблем, и функция Лагранжа была бы диагональной. Рассматриваемая система, являясь системой, совершающей колебательное движение, имеет особые обобщенные координаты б, — нормальные координаты, в которых лагранжиаи удовлетвориет желаемому требованию; он диагонален и представляет собой сумму лагранжианов одномерных гармонических осциллиторов с частотами., совпадающими с собственными частотами ы»г системы: уравнений Лагранжа, ( спхс + lсх) + айхс = О., гпхс+ )схс+ а)сх) = 0 (3.233) и, считая а = соней ищем решение ее, как системы с постоянными ко- эффициентами, в стандартном виде: (3.234) с комплексными амплитудами Ад и Аз.
Результатом подстановки в систему дифференциальных уравнений будет однородная система алгебраических уравнений: ~+с ) ( ь ) (3.235) Полученная система имеет нетривиальное решение лишь при условии., что определитель матрицы ее равен нулю (характеристическое уравне- ние): в+ь з ! = ( — пиес -)- )с) — (а)с) = О. (3.236) откуда собственные частоты )с с (1") (3.237) Н=б,—,, ч-бв —.— С= ~ — + — ~+ ~ — + — ~. (3.236) дС дЕ /р) ссср)бс~ ~ /рс~ ссссо ~ дЕ) дбг ~2 2 ) ),2 2 Обозначим Р) ып)б) = )3) 2 2 Рс Сс)ч2 Лз 2 2 (3.239) (3.240) 185 Итак, теперь будем работать с лагранжианом (3.232) в нормальных координатах бг Проводя преобразование Лежанцра стандартным образом., построим гамильтониан: тогда энергия Е системы (гамильтониан по смыслу есть энергия) Е = А + )32.
(3.241) Величины Д, 92 представляют собой энергии осцилляторов. Далее введем переменные «действие»с 1 г 1 г Л = — ~ р»<К), .72 = — ~ ~аз. 2 У ' 2хУ (3.242) Выражая импульсы р), рэ через координаты нз соотношений (3.239) и (3.240), перепишем их в виде; я= — («(2» —,)( л= — (») ~/2» — ь. ))2))) 1 2 2 Ну, а зти интегралы вычисляем совершенно аналогично интегралу (3.199) в задаче 3.6.1 (только теперь вместо энергии Е у нас фигурирует 32). В итоге, ») .)2— Р1 )З2 (3.244) «)()) ь)(21 Переменные «действие», Д,,72 являются адиабатическими инвариантами, сохраняя свои значения неизменными: Я 2 = сопзс.
(3.245) Е= 2)~)(Ц+ 72а)(29 (3.246) Вспоминая выражения (3.237) для частот ы(0, ы(2), окончательно находим закон изменения энергии со временем: Е))) =.ТДЬ ) )) аь(/ — () — ° ) )(. (3.247) Задача 3.6.4. Выяснить, как со временем меняется радиус орбиты частицы массой п» И ЗаряДОМ Е в МагНитнОМ ПОЛЕ Й = Нес, при адиабатически медленном изменении его напряженности Нэ = Нэ(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
