А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При нахождении производящей функции одного из четырех классов прежде всего необходимо проверить условие ее существования (в виде неравенства нулю гессиана — определителя, составленного из частных производных — своего лля кажло1о класса производящих функций), чтобы не тратить время и силы на поиски решении системы уравнений ллн производящей функпин в случае, если таковая все же ме существует. Знание производящей функции позволяет найти вид «мовой» фумкции Гамильтона — гамильтоииама исследуемой системы в «новых* канонических переменных.
Тем самым, подбирая то или иное каиомическое преобразование, можно повлиять ма вид функции Гамильтона, например, пытаясь ее привести к максимально простому виду. Критерий каиомичмости позволяет проверить, является ли данное преобразование канонических переменных каноническим без махождения производящей фумкции. Для этого необходимо подсчитать ряд скобок Пуассона от «мовых» каноническим переменных по «старым». При этом скобки Пуассона для двух любых «новых» импульсов или для двух «мовых» координат должны быть равными пулю, а скобки Пуассона для всех пар канонически сопряженных «новых» импульса и коордиматы должны бмть равны одмой и той же константе, для канонически иесопряжемных — нулю. Дополнительным «бонусом» применения этого критерия является возможность найти валемтмость канонического пре.
образования. Задача 3.4.1. Доказать, что преобразование (р. д) -+ (Р, Я) является каноническим и майти его производящую функцию; < '( ' — -а'), Я=рс ' Решеиие. Для доказательства камомичмости преобразования применим критерий каномичмости.
Для этого необходимо подсчитать скобки Пуассона всех «новых» камомических переменных, как функций «старых», по «старым» переменным. Скобки Пуассоиа Р1у»,с,1). Р(р,д. 1)~ = О. 1Сг(р, с, г), Я(р.с.г)~ = О. < »и« «»« в силу свойства мекоммутативмости. Подсчитаем скобку обобщенного им- пульса с координатой. По определению. дР дЯ дР дЯ РЬ, |,г) Фрл.с) ' ' )„дрдс дсдр 156 = (Ч-".4рэ) (-рЧ-') — (;4р'Ч-' — Ч) Ч-' =1, (393) Поскольку в резульште мы получили константу (а ие функцию), отлич- ную от нуля, согласно критерию каноиичиости. это озиачает, что., во- первых, заданное преобразование переменных является каноническим, и, во-вторых, валеитиосгь преобразоваиия с = 1.
дР, ср, = —. аЧ„' (3.99) дР~ Р; = — —. аа, При этом необходимо левые части этих равеиств (неоднородности) выра- зить через независимые переменные (Я., Ч). Используя заданный в усло- вии задачи закон преобразования, находим: Р(),Ч)= ) --'Ч. 2 РЯ Ч) = ЯЧ. Поэтому система принимает вид: (3.100) 4 Я вЂ” -Ч = — —. 2 дЯ 137 Проверим условие существования производящей фуикции класса Р~(Я. Ч,1).
Должно выполняться требование: гг (а)~а В нашем случае данный гессиан сводится к частной производной — =Ч Ф0 аа др что озиачает возможность обьявить переменные (Я, Ч) независимыми и построить на их множестве производящую функцию Р~(Я. ч, с). Найти ее можно путем интегрирования формул канонического преобразовании, которые в общем случае для производящей функции класса Е~ имеют вид; Интегрируя первое уравнение системы (при этом помним, что перемен- ные Я и д не зависят друг от друга), находим ~~%:д ) = — 1еГ+Л(1е ): (3.101) где (л(1лл,с) — произвольная функция указанных переменных. Интегри- рование второго уравнения системы (3.100) дает л Рл М и 1) = - Ф' — -Я'+ Л(д 1) 2 5 (3.102) с произвольной функцией Яд,г). Сравнивая (3.101) и (3.102), убенслаемся, что совпадения результатов ,пля производящей функции можно добиться, положив ул(С'„1, 1) = -,дл -Л д(1), Яд, 1) = д(а), где д(1) — произвольная функция времени.
Таким образолц производнщая функция искомого канонического пре- образования Рл Л д. 1) = - Ф вЂ” -1Е + д(Г) 2 1 л 2 5 (3.103) Для просттггы можно положить д(1) = О. г Н= — + — тлл д 2т 2 преобразованию (р. д) — л (р Ф' л р =- — (тюд — 1р)е лг тм 1'„> = — (тыд+ лр)е' 1 чг2тьл (55104) Доказать, что преобразование является каноническим. Найти его производящую функцию. Построить лновыйл гамнльтониан К. Записать 158 Задача 3.4.2. Подвергнуть одномерный гармонический осцнллятор с гамнльтонианом «новые» уравнения Гамильтона и их решить. Зная решения последних, записать решении «старых» уравнений Гамильтона.
Решение. Дия доказательства каноничмостн преобразовамия применим критерий каномичности. Скобки Пуассома для двух «новых» импульсов и для двух «новых» координат в силу свойства некоммутативности автоматически оказываютсн равнымн нулю: Р(р., п.,с)., Р(р. с,г) ~ = О., ~Я(р, д, 1)., Я(р.,й.г) ~ = О. т»« т»« Скобка Пуассона для каномически сопряженной пары Р, Я; ( дР дЯ дР дЯ Р(р.о,г).
г„т(р.о.с) т др де дд др е ' г пгыег г гпь«е ' г ге' г 1 ф О., (3.105) ьт2гпы Г2тпы ъ'2тпы чт2гп что означает. что заданное преобразование является каноническим и унивалентным (валемтность с = 1). Согласно необходимому н достаточному условию каноничностн, существует по крайней мере одна производящая функция. Условие существования производящей функции класса Рг(т'т 9: 1) вмполнено (в нашем одномерном случае гесснан сводится просто к частной производной).
Для интегрирования формул канонического преобразования дРг ср = —. дс ' (3.106) дЕг Р= —— дЯ выразим нз заданного в условии задачи закона преобразования переменные Р, р. неодмородностн уравнений, через переменные Я., о, .которые считаются независиммми при нахомсдемии производящей функции 159 Р2М,д С): рЯ, д. С) = — 1 (ЯЬС2т~ые ' ' — т22д), (3. 107) РД, д, С) = (2пк«д — ъ'2тиС«е ') . (3.108) Любы Тогда, интегрируя первое уравнение системы (3.106), получим: Р,(б).д, С) = ~р(С;с, д,С) дд.» (,Д.С) = = -2 ( й~ (Я~/2пкле '"' — п»ыд) + 72(Я, С) = 1 = -г'(Ядь72нкле ' — — п2»2д~) -»,ГгЯ,С), 2 (3.109) где ЦЯ,С) — произвольная функция. Интегрирование второго уравнения в (3.106) дает: Р2(СЕ д~С) / Р(С«: д С) «С«+ СЕ(д С) = — -и== (' йд (2пклд — ь'2пклЯе ') Ч- Г2(д, С) тг2тпы = — -» (2пклЯд — — чг2тпм(22е '"') + 12(д, С).
(3.110) ~/2пио ( 2 где 72(д, С) — произвольная функция. Сравнивая (3.109) н (3.110), выбирая в качестве гг и )2 ~С)2-2» 2 .С'2(д С) = - д', 2 находим производящую функцию: Р2(С«,д,С) = -Сь2пкоЯде "" -»-п2»292-~- — Язе 2' '. (3111) 2 2 К=со+ —, дР, дС ' (3.112) где предполагается, что все слагаемые в правой части в конечном итоге будут выражены через «новые» канонические переменные Р,Я с помощью заданного закона канонического преобразования. 160 Для нахождения «новой» функции Гамильтона К воспользуелюя со- отношением Дифференцируя равенство (3.111) по времеми, находим: дРг д1 — = — мЯтылгйе '+мЯ е ™м. (3.113) Н = — + — пко 9 = — — 1Ялг2пхое — тыо) + — пко 9 = 2т 2 2т 2 = -ыО~е 2™+мъг2пкоЯде 'ш.
(3.114) В итоге «новый» гамильтониан оказываегси равным нулю: К=Н+ — =О. дРо дс (3.115) С таким гамнльтомианом «новые» уравнения Гамильтона выглядят максимально просто: < дК Я = — =- О,. Р= — — =0 дК дЯ (3.116) и имеют решение в виде констант Яо и Ро.' (3.117) Змая закон движения системы (3.117) в «новых» канонических переменных, найдем закон движения в исходных, «старых», переменных. Для этого подставим решения «новых» уравнений Гамильтона в закон преобразования (3.104): Ро = — (пк Ч вЂ” ор)е лг2т гзо = — = (пкоЯ+ ер)е™ ллг г2пко (3.118) и выразим «старые» перелоенные р, д как функции времеви П 1 9(1) = — (Яос '"' — 1Рое '). »/2пко Р(1) = — «1 — (Яое '+4Рое ') . Ч 2 (3.119) 161 Подставим (3.107) в исходный гамильтониан, временно выразив его через переменные Я, д для удобства сложения с только что подсчитанной частной производной: Отметим, в частности., что первое соотношение, действительно, представлнет собой закон колебаний одномерного осциллятора, правда записанный в комплексном виде.
Беря вещественную часть, для вещественной переменной х, описывающей движение осциллятора, получим, как и положено, линейную комбинацию апы1 н сов ый х(1) = Бед(1) = Аз1пыгж Всоеыц (3.120) где вещественные константы А и В представляют собой определенные комбинации вещественных и мнимых частей комплексных констант 1»е и с«о Данная задача на примере простейшей системы одномерного гармонического осцнллятора демонстрирует всю суть метода канонических преобразований; всегда есть возможность перейти к «новым» каноническим переменным, совершая некоторое каноническое преобразование, подбирая его из соображений, чтобы «новый» гамильтониан выглядел »1акснмально просто.
Тогда, решив «новыем простые по виду и структуре. уравнения Гамильтона, используя явный вид преобразований канонических переменных, легко находим закон движения системы в терминах «старых» переменных. 3.5 Метод Гамильтона — Якоби Общие рекомендации. Метод Гамильтона -Якоби основан на идее о принципиальной возможности для любого гамнльтониана подобрать некоторое каноническое преобразование, приводящее к «новому» гамнльтониану К = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
