А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 13
Текст из файла (страница 13)
г / 21 2гпдЛ л (2.378) Уравнение Лагранжа о дЕ дх". —, — — = О. (2.377) а а1' ад очевидно, может быть записано в форме уравнения гармонических ко- лебаний д Л1л — 2) (2.378) 117 И поскольку слагаемое тдЛ в потенциале., представляющее собой кон- станту, может, в силу неоднозначности определения функции Лагранжа, отброшено. окончательно имеем: с собственной частотой Н(л — 2) и периодом 2л ) <<(х — 2) т = — = 2л<( д (2,379) (2.380) Задача 2.8.2.
Построить лагрвнжиаи и найти закои движения в квадратурах для одноролиого симметричиого волчка массой ьч с неподвижной нижней точкой, если Расстояние от иее до цеитра масс волчка 1, а главные моменты инерции 31 =,72 и <з. В качестве обобщенных координат игпользовать углы Эйлера. ~11 '~22 ' 31 '<2 рЗЗ Зь (2.381) Кинетическая энергия волчка, согласно теореме Кенига, есть сумма энергии движения центра масс Т„„и энергии чисто вращательного движеиия Твг Кинетическую энергию центра масс найдем, как энергию точки с массой, равной массе волчка, и помещенной в центра масс С волчка: п<г 2 Т„„= — 1;сч „Ч- У„„+ зь„) .
(2.382) 118 Решение. Как известно, произвольное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Однако условие неподвижности нижней точки автоматически приводит к уменьшению числа степеней свободы до трех (оиа ие имеет возможи<кти двигаться ни по вертикази, ни в одном из двух направлений в горизоитальиой плоскости).
В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера О. Зр и ес Выберем неподвижную систем< координат луг так, чтобы начало координат совпадало с нижней точкой волчка (см. Рис.). Оси системы ко. ординат л'у'2', жестко связанной с волчком (ее начало необходимо совместить с цен гором масс С), ориеитируем так, чтобы они совпадали с осями инерции (в данном случае ось 02' выберем вдоль оси симметрии волчка). В таком случае тензор инерции зч будет диагональным (7, =- О, для всех 1 ф у ), диагональные элементы с<о совпадают с главными моментами инерции: Используя рисунок, выразим координаты центра масс через углы ЭП- лера: т.„= ОС соз1 — + р11 = 1зшВ соз (- ч- <р) = = — 1з!пбешр. (2.383) (2.384) (2,385) ец.ц.
= 1 поз В. дифференцируя, находим. что = -1(ВсозВэ)пр+ рз1пВсозр). Вц„, — — 1(ВсозВсоз;". — рз1пВзш р)., Вц,ц, = -19з)пВ. Возводя в квадрат н складывая. приводя подобные слагаемые., для ки- нетической энергии (2.382) центра масс будем иметь Щ12 2 7 „.. = — ~ (9 соз 9 гбп р + р з) п В соз и) + 2 119 (и Уц„» = ОС' з1п)-' Р) =1зшВсозР, 12 (2.386) (2.387) (2.388) +(ВсовВ~~1Р— фЯ~ВЯ)~рг) +В~Яп~В) = = — (ф~вш В+ В ). 2 (2.389) Кинетическая энергия вращательною движения с учетом (2.381) может быть записана как (2.390) где ып ыв и мв — проекции вектора угловой скорости волчка на оси систе- мы координат х'у'в', жестко связанной с ним.
Они могут быть выражены через углы Эйлера В, ф, ф с помощью кинематнческих уравнений Эйле- ра; Подставляя в (2.390), будем иметь: 1 / 2 . 2ч Т,р — — —,7, ((Всовф+ уз)пВвшя) + ( — Вяпф+ фяпВсовф) ) .1- 2 +-.7з (ф т фсовВ) = — 71(ф в1п В+В ) + — ув (ф т фсовВ) . (2.394) 2, 2 2 2 2 2 Объединяя с (2.389)., для кинетической энергии волчка получим выражение: Т.= — /1(ф~яп В+ Вп) ч- — Вв(ф ч-фсовд), (2 395) 2 2 где введено обозначение и У (г (2.396) Потенциальная энергия волчка в вертикальном однородном поле тяготения определяется положением его центра масс (2.384): У = тду„„= тд1 сов В. (2.397) 120 ТВР = к А'тоб = — 71(иг ьяр) ч- —.)в в. Г 2,21,2 я, я м ° = Всовф ч фвшдяп ф, яв = мр = — Ввпчф 1 фв1пдсовф. ыз — = я, =- ф -~-фсовВ, (2.391) (2.392) (2.393) Как следствие, ллн функции Лагранжа волчка будем иметь: Е = —.У(у~юп В+ В ) + —,Уз (зУ) + р сох В) — тд1 созВ.
(2398) 2 2 Закон движения волчка найдем лзетодом интегралов движения. По(дЕ скольку лагранжиан не зависит явно от времени ( — = О, интегралом (, дс движения является обобщенная энергия дС дС дС Е =  — + чз —. + Ф вЂ” — Е = дВ дзо др = —,У,'(чз~з1п В+ В )) -Уз (зр ч- зУ~озд) ч-~91 ожд = озгюп (2399) 2 2 стало быть.
соответствующие им обобщенные импульсы ре н р„сохра- няют свои значения: дЕ р„= — =,Уоз з1п~ В -ь,Уз (р + рсозВ) соз В = сопзц (2400) р дб рз = — = Уз (Ф+ „осозд) = сопзк дзо (2.401) Как обычно., значения констант Е, р„, и ре могут быть найдены из начальных условий полагая С = Се в равенствах (2.399)., (2.400) и (2.401)., их определяющих. Найденнзпе три интеграла движения лля рассматриваемой механической системы с тремя степенями свободы позволяют найти закон движения в квадратурах.
В самом деле. выражая из (2.401) з) + фсоеВ =— рв оз (2.402) и подставляя в (2.400), наущем: Р = У1 Ф з)по В + Ре соз В (2АОЗ) откуда выражаем обобщенную скорость дк ре — ре соз В зо— (2.404) з з 121 УдЕ дб Обобщенные координаты р и з~ являются циклическими ~ —, = — = О), '1 дно дез Е = -.г10 +, з + — + тд1созВ.
(2.405) 2У,' сйпз д 2У откуда находим: з Нд 2 ( (Ре — РисозВ) рз  — + — в — — —" — е в) (2 ~06) дс 11 У, '~ 2,У,' в1п~ В 2Уз Разделяя переменные и интегрируя., получаем квадратуру. определяю- щую неявную зависимость В = 01з): à — 1е= ~~ ВВ ,407) вв, 2 ( (р — ре сов В) рз — Š—, — —" — тд1 соз В 1) У,' 1 2.7,'вшзд 2,Уз Рассматривая отношение обобщенных скоростей В и 0 с учетом получен- ных ранее соотношений 12.404) и 12 406) р. — р,,совВ в',~ в 12.408) с (и — рв, сов 0) р' в- °,, -' .„...в) 2.У', зшз В 2,Уз 2 после разделения переменных получаем квадратуру, которая определяет зависимость р = зв(д): в р, — рв,совд зв Фе=хуйд У,'з!и В Вв 7 — ыз ( 2 ( (р — ре сов В) рз х — Š— — — ~ — тд1 соз д (2.409) ,У, '2,7, 'в1п~ 0 2уз 122 Подставляя 12,402) и 12.404) в выражение 12.399) для обобщенной энер- гии, получим дифференциальное уравнение относительно одной обоб- щенной координаты В: И, наконец.
записывая отношение обобщенных скоростей р и В (при этом 1) выражаем из соотношения (2.402), куда подставляем равенство (2.404)., определяющее обобщенную скорость ф) ре — — е~соэВ В сЫ ВВ рв Уре — рв сов В 1 ,У( япз В (2.410) (р — ре соз О) рз 2,У,'яп В 2Уз — Е после разделения переменных, найдем третью квадратуру, определяю- щую зависимость й = ву(В): Уре соэВ в В — ' —, ' (рв — рвсовВ)) (,Ув,У,' з1п В 6 — 4в=х у .
(2.411) 2 вв ~ 2 ( (р„— рв созВ) рз )~,У,' ~ 2,У, 'япе В 2уэ Соотношения (2.407). (2.409) н (2.411) определнют закон движения волч- ка в квадратурах. Задача 2.8.3. Монета массой гл и радиуса )7 может двигаться произвольным образом по горизонтальной поверхности. Построить лагранжиан монеты и найти закон ее движении в квадратурах. Главные моменты инерции монеты У1 -- .Ув = Ув н .Ув =- У. 123 Решение. На движение монеты наложено единсгвенное ограничение: ее ннжнян гочка не должна отрываться от горизонтальной поверхности, имея возможность перемещаться лишь по горизонтальной поверхности. Поэтому нз шести степеней свободы, максимального числа степеней свободы произвольного твердого тела, остаются только пять.
В качестве обобщенных координат выберем координаты центра монеты в горизоитальной плоскости х„„ш х, уь„: — у и три угла Эйлера О. х и йс При этом направление осей неподвижной хух и жестко связанной с монетой 1с началом в центре монеты) х'у'х' систем координат выберем так, как показано иа рисунке 1оси х', у' лежат в плоскости монеты, а осы' перпендикулярна ей).
Поскольку координата х„„, как несложно увидеть из рисунка. .„„= Лв1пВ. (2.412) то кинетическая энергия движения центра масс Т„„= — (х~ '; у~„ь с ) = — (х~+ у + Я~д~соэ~д). 12.413) Так как оси выбранной нами системы координат. жестко связанной с монетой, совпадают с главными осями инерции., теизор инерции в этой системе координат диагоиален. так что диагональиые элементы А1 122 ~О. ~ЗЗ Поэтому кинетическая энергия врашательного движения монеты вокруг оси, прокодяшей через центр масс. может быть записана как: з Твр = ~ 1о' '~ У = — Го(ыз .~-ыэ) + —,1.иэ. (2.414) где компоненты и и ыэ и ыз вектора угловой скорости вдоль осей системы координат х'у'х' могут быть стандартно выражены через углы Эйлера 124 в соответствии с равенствами (2.391), (2.392) и (2.393) из предыдущей задачи, так что.
по аналогии с (2.394), 1 р — )ь(Р ь1п 0 е 0 ) ч- —,1 (в е РсоьВ) . (2.41о) Как следствие, для полной кинетической энергии монеты будем иметь: Т = Т ч- Т = — (хь е уэ ч Яьджсоьэд) 2 +-,7е(ф~гйпьВ т 0~) + — е'(е' т рсоьВ) . (2.416) 2 2 Бе потечщиальная энергия: (2.41 7) (7 =. тдгк„= тадй сйп В. Стало бытьч лагранжиан монеты (2.421) 125 ь = Т вЂ” У= — (1 +у +)ь В соь 0) + — )э(Р ьш В+В ) -~- 2 2 1 2 +-0(ы+ ьесоьВ) — тддыпд.
(2.418) 2 Закон движения монеты найдем используя метод интегралов движении. Поскольку лагранжиан не зависит явно от времени, а обобщенные координаты х, у. р и 1э являются циклическими, то интегралами движения являются обобщенная энергия Е и соответствующие перечисленным координатам обобщенные импульсы р„, р„. р и ре. ,дЕ ,дЕ дЕ дЕ ;ВЕ Е =. х — е у — -~- 0 —, + х — -~- ф —.
— Е =- дх ' ду дд дье д6 2 = — (х ч у'+)7~0'соььВ) т —.Уе(элып~д+ В ) + 2 1 э +- 0 (~0 ч Р соь В) — , 'гпуй ьт В = сольц (2.419) 2 дЕ Р* = —. = ПЭх = сопь1. (2.420) дх дЕ Р„= — = гпд .= сольц ду ВЕ Ре = —, = ГсРч йп 0+ У (Ы + ассад) соьВ == соней (2.422) дчэ рэ = =.7(~Ф.~- рсоьВ) = сопьь дЕ (2.423) дй х(1) = — Уьхе, Р »и у(1) = — 'С+у„. Р» »и (2.424) (2.425) С учетом равенства (2.423) соотношение (2.422) может быть записано в виде: р„=,У»»»в1п В ч-р„сов В, (2.426) откуда выразим обобщенную скорость ф: р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
