А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Очевидно, оно представляет собой сумму длин дуг окружностей, вдоль которых откло- няются бусинки; Следовательно, )сгсг с7гг = — (а, — аг)'. 2 (2.271) Совершенно аналогично, энергии двух оставшихся пружин зд2 угз = — (аг — аз)г: 2 з77г (уы = — (аг — аз) 2 (2.272) (2.273) с7 = — ( (аг — аг) +(аг аз) + (ас — аз) ! (2274) (,77г с г г~ 2 Окончательно, функция Лагранжа колебательной системы г б= — (а, сб +аз)— .г г г 2 г г — — ~(аг — аг) "; (аг — аз) + (ас — аз) ).
(2.275) 2 Построенный лагранжиан сразу оказался квадратичным по малым отклонениям от положения равновесия. поэтому не требуется совершать каких-.тибо дополнительных действий по приведению его к такому виду. Составим систему уравнений Лагранжа: с оса, + х(2аг — аг — аз) = О: тбг+ к(2аг — аг — аз) .= О, спбз + lс(2аз — аг — аг) = О. (2.276) Делая подстановку аг(с) = Ве Аг е™, (2.277) переходим к однородной системе алгебраических уравнений < — тыгАг+ /с(2А, — Аг — Аз) = О, -тыгА Е й(2Аг — Аг — Аз) .= О, — тгггАз+ й(2Аз — Ас — Аг) = О (2.278) 96 Собирая все вместе, запишем потенциальную энергию всей системы как или, что то же самое, в матричном виде: с в тьгг -Ь 2/с -/с -к -пи.Р + 2/с -/с Аг = О. (2.279) — й — й — пклг + 2/с Аз Характеристическое уравнение возникает вследствие требования нетри- виальности решения: -пк г+ 2/с — /с — /с — /с — и — тслг + 2/с — /с = О.
(2.280) — й — тыг + 2/с Расписывая определитель, например, по правилу треугольников, имеем ( — псгл~ + 29) — 2/сз — 3/сг ( — пы~ -ь 2к) = = -тсс~(тыг — 3/с) = О. (2.28Ц откуда собственные частоты колебательной системы /3й ысп = О. ысг/ = сс/з/ = с/ —.
Далее найдем комплексные амплитуды Аь соответствующие каждой нз ннх. Положим ы = 0 в системе (2.279): -к 2/с -/с Аг = О. (2.282) 2А1 — Аг — Аз = О, Аг + 2Аг Аз = О. (2.283) Вычитан одно уравнение из другого, найдем, что А, =Аз. 97 Очевидно, одно из этих трех уравнений есть линейная комбинация двух других (к примеру, если сложить первые два уравнения и домножить результат на (-1), получим третье уравнение). Поэтому, будем иметь систему двух уравнений стремя неизвестными (оставим в системе первые два уравнения) Тогда, заменяя Аз в первом уравнении на А,, найдем А~ = Аэ.
Следовательно. общее нетривиальное решение системы уравнений (2.283) А~ = Аз = Аэ = С~ где С, — произвольная комплексная константа. Столбец комплексных амплитуд при этом (2.284) Для характеристического корня ьэн = О временная зависимость частного решения, как известно из теории дифференциальных уравнений, не может быть записана в виде е ', иначе вообще теряется зависимость решения от времени а В этом случае временная зависимость дается линейной функцией времени; < оз(С) ) = не ~ 1 ) (Сгс+С,") = 1 ) (СмсЧ-С,э), (2.285) из И) 1 1 где Сн — — КеС',, См = КеС,".
Отметим, что элементарное движение, соответствующее моде колебаний с нулевой частотой, представляет собой равномерное вращение бусинок по окружности с одинаковыми угловыми скоростнми, при котором пружинки остаются недеформированнмми. Для нахождения частного решения системы (2.278), соответствующего кратной частоте ы1О = ььэ1, положим ю = ~/Зй/т в системе (2.279) -к — lс -~с Аз = О. (2.286) Двойная кратность характеристического корня приводит к тому., что в данной системе два зависимых уравнения. Для нахождения общего нетривиального решения одного оставшегося уравнения Аг+ Аз + Аэ = О 98 с тремя неизвестнымн, положим А,=С,. А, = Сз, где Сю Сз — произвольные комплексные константы. (Отметим, что общее решение алгебраической системы из одного уравнения с тремя неизвестными не может быть выражено посредством одной произвольной константы.) Тогда Аз = -Сз — Сз и столбец комплексных амплитуд Аз = Сз = Сз 0 тСз 1 (2287) Следовательно, частное решение системы (2.278) ., соответствующее крат- ной частоте ы = 1)ЗЙ/т 1Х31 аэ(1) = Ке Св 0 ч Сэ 1 е'ъ~~) '.
(2.288] Для полноты картины отметим, что, вообще говоря, как известно нз теории линейных дифференциальных уравнений, в случае кратных собственных частот (кратных корней характеристического уравнения) ьЛЮ. вид соответствующего частного решения однородной системы зависит от соотношения между кратностью .М частоты ыую и числом К линейно независимых собственных векторов о,.оз....,ик матрицы системы (определяемое ее рангом г), в которой частота ы положена равной исследуемой кратной частотеишр где э — размер матрицы системы (е х е), который совпацает с числом степеней свободы колебательной системы, что эквивалентно числу уравнений в однородной алгебраической системе. Если К = У, то соответствующее частное решение строится аналогично (2.277) с амплитудой, равной линейной комбинации собственных векторов о,: (2.289) 99 Если К < М, то решение системы, согласно общей теории.
должно искатьси в виде произведения многочлена по времени 1 степени (.У вЂ” К) на е ( х, = Ве(аы Ч- ам1Ч-... + ацл-кф~ кч)е о>'. х„= Ве(ам Ч-а,зг+... + ацн-ь~сР «)е~м~'. (2.290) Однако, в свое время немецкий математик Карл Вейерштрасс в самом общем случае показал, что каждому корню характеристического уравнения кратности У соответствует ровно Х линейно независимых решений линейной системы алгебраических уравнений (то есть для каждой собственной частоты М-ой кратности можно найти У линейно независимых столбцов амплитуд), то есть случай К < М для уравнений, описывающих колебательные системы, невозможен.
Следовательно, и случае кратных частот соответствующее частное решение всегда записывается в виде (2.289). Невозможность частному решению для кратных частот иметь вид (2.290) понятна с Физической точки зрения: наличие в законе колебаний членов, содержащих наряду с экспоиеипиальиыми также и степенные временные множители, противоречило бы закону сохранения энергии.
В нашем решении мы непосредственно убеждаемся в том, что. действительно. кратность корня характеристического уравнения и = Зй/ти Ч совладает с числом линейно независимых собственных векторов матрицы системы (2,323), в которой положено ю = Ч(ЗЙ/т: комплексная амплитуда (2.281) состоит из двух столбцов И З с о,(1) '( )' 1 1 аг(С) = 1 Г(Смс+ См) Ч- аз(1) 100 Итак. закон малых линейных колебаний системы трех бусинок представляет собой линейную комбинацию найденных частных решений (2.285) и (2.288); Ч-Ке Сэ 0 + Сэ 1 е'ем) '. (2.291) Две вещественные константы Сы, См и две комплексные Сы Сэ 1или, что эквивалентно, четыре вещественм ые Ке Сы 1ш Сть Ке Сэ, 1гп Сэ) могут быть найдены однозначно на основе шести начальных условий: Задача 2.7.3.
Найти паком малых вынужденмых колебаний сисгемы, состоящей из двух шариков массами 2гп и гп и двух пружим с жесткостями 21. и 1г. если на шарик массой йт действует вмешняя горизонтальная сила Е = Гс э1п йй Считать, что поле тяжести отсутствует. ~ = С + 1УС. Лагранжиан свободной системы, как несложно понять, имеет вид: ьо = гпх + -тх — йх — -(хэ — х~) .
.э 1 2 г ", 2 2 ' 2 12.292) 101 Решение. Рассматриваемая система, очевидно, имеет две степени свободы. Положением равновесия являсчся положение шариков. при котором пружины недеформировамы. В качестве обобщенмых коордимат выберем отклонемия х,, х, тел от их положения равновесия.
Функция Лагранжа колебательной системы, подверженной действию внешних потенциальных сил, представляет собой сумму функции Лагранжа Се свободной колебательной системы и добавки сгЕ, обусловленной наличием внешних воздействий на систему: гсх ч а 11ОЛОжЕПИО равновесия Яс — — Еы = Рцв)п йа (2.298) Аналогично, вторая компонента обобщенной силы дг| дххы яс — — глг — = гг, дхг * дхг (2,299) Декартова координата ххг"", как мы уже выяснили, ие зависит от хг, следовательно производная дхх'" — =0 х1 дхг и обобщенная сила (2.300) сег = О. Стало быть. обусловленная наличием внешних сил добавка к функции Лагранжа ЛС =,.Г е)пйа (2.301) Итак, полный лагранжиан рассматриваемой колебательной системы Е = тх -ь — тх — ~сх — -(хг — х,) + гах, е)п йа (2.302) ,г 1 г г г 2 г ' 2 Заметим, построенная функция Лагранжа автоматически оказалась квад- ратичной по малым отклонениям от положения равновесия.
Динамика системы шариков описывается системой уравнений Лагранжа 2пгхй -ь 3/схг — )схг = та гйп йс, ( тхг + йхг — йт! = О. (2.303) 103 которая представляет собой неоднородную систему дифференциальных уравнений. Ее решение есть суперпозиция общего решения однородной системы н частного решения неоднородной. Общее решение однородной системы 2гпУ~ + Зйхг — Йиз = О, тпхз+ йхз — Йх~ = 0 (2.304) будем искать в виде: (2.305) ( — 2 +и — й )(з) 2 (2.30б) Требование равенства нулю определителя атой системы приводит к ха- рактеристическому уравнению = 2шзыа — 5гпЫз ч- 2кз = 0 (2 307) — х п,з„й~ откуда находим собственные частоты ШП1 ~1з1 = )1 —.
)1 2гп (2.308) Г27 Полагая ы = ~1 — в системе (2.323), 1 гп -~)(А ) (2.309) находим независимое уравнение для комплексных амплитуд первой моды колебаний: (2,310) А~-ьАз=О, 104 Подставляя (2.305) в (2.304), приходим к однородной системе алгебраи- ческих уравнений: общим решением которого является А, = — Аз = С,, (2.311) где С1 — произвольная комплексная константа. Столбец комплексных амплитуд, соответствующий первой собственной частоте, (2.312) Полагая = м — в системе (2.323),.
У 2гл — ьс ) ( ь ) (2.313) лли комплексных амплитуд второй моды колебаний независимое урав- нение будет иметь вид: 2А, — Аг = О, (2.314) общим решением которого является (2.315) Аз = 2А1 —— 2Сг с произвольной комплексной константой Сь Столбец комплексных ам- плитуд, соответствующий второй собственной частоте, (2.316) Теперь найдем частное решение неоднородной системы (2.303) Представим неоднородность системы следующим образом: Го з1п ПГ = це (г-гГееш') . (2.318) 105 Г!пятому общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (2.304) будет иметь внд: и найдены собственные частоты данной колебательной системы: Гг7 ( й "'0( = )) —; ы(ю = ),( —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
