А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тем проще будет выглядеть лагранжиан. Таким образом находим искомую компоненту Ае векторно- го потенциала: А =- — е Но -ь' 2Ьр (2.139) Н, -ьоА=- — е ее„. гь, (2.140) Вспоминая, что вектор скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид: б= рее+рре -ь "е„ раскроем скалярное произведение в слагаемом в лагранжиане, содержа- щем векторный потенциал: Но -ьь Но -ь'. -А г=- — е ь рЬЬ= — — с г р с 2Ьр 2Ь (2.141) Найдем скалярный потенциал злектромагнитного поля ьь(г, Ь). Уравнение, его определяющее, как известно, имеет вид: Е(г,т) = -~7р(г".1) —— 1 дА(г, ь) с дг (2.142) где напряженность злектрического поля Е = О. И поскольку найденный векторнмй потенциал (2.140) явно от времени не зависит ВА(г", 1) дь уравнение для скалярного потенциала приобретает простой вид: 17р(г. 1) = О.
(2.143) Поскольку, по-прежнему, нам требуется найти максимально простое част- ное решение, возьмем оь(г, С) = О. (2.144) 52 Отметим, что найденное решение (2.139) удовлетворяет требованию (2.134). Итак, мы нашли векторный потенциал Поэтому лагранжиан рассматриваемой заряженной частицы имеет вид: (2.149) Рь ти и подставляем в равенство (2.14б) для обобщенной энергии, уравнение: (2.150) получим 2 2трэ 1 ~ 25с ) 2т' (2.1о1) откуда Разделяя переменные и интегрируя, получаем квацратуру, определиющую неявную зависимость р = р(1): 1 е С = — (р + р~ р~ + г~) — — е ы р 2 2Ьс (2.145) Закон движения частицы найдем мтодом интегралов движения. Очевидно, что функция Лагранжа (2,145) явно не зависит от времени (-) дь".
/дС дь" — = 0), координаты р и э являются циклическими ( — = О., — = 0 де )' (,д~о ' де следовательно обобщенная энергия Е и обобщенные импульсы р„„р, являются интегралами движения: дС д~ дС Е = р —, + рг — .ь 5 —, — Е = — (р ч- р~р~ + 1~) = сопэц (2.146) др др дй 2 дС з еНе ы~ Р~ = —. =тр Ф вЂ” — е ' =сопэс., дф 25с (2. 147) дЕ Р* = —. = тй = солнц (2.148) дй Выражаем обобщенные скорости р и г из (2.147) и (2.148) соответ- ственно Для нахождения закона изменения координаты Ф, рассмотрим отношение обобщенных скоростей )у /<(1 где приняты во внимание (2.152) и (2.149).
Разделяя переменные и интегрируя, находим квадратуру, определяющую неявную зависимость р = р(р): 1 (' еНо -ьра1 Ф г Для нахождения закона изменения обобщенногй координаты г можно сразу проинтегрировать равенство (2.148): г(1) = — 1-Ь го = р- (2.!55) Закон лвижения частицы задаегсн равенствами (2.153). (2.154) и (2.155). 2.4 Одномерное движение.
Качественное ис- следование движении Общие рекомендации. При решении задач на одномерное движение, прежде всего, необходимо провести качественное исследование движения, чтобы выяснить, в области каких значений обобщенной координаты возможно движение, и, 54 заодно, характер этого движения. То есть метод качественного исследования движения позволяет сформировать (качественное) представление о движении тела еще до непосредственного нахождения закона движения. Проведение этого исследования является очень важным и полезным при решении задачи.
Соображении о том, каков тип движения реализуется в системе, в какой области значений обобщемимх координат система будет эволюционировать. могут помочь., к примеру. подобрать замену переменных при взятии интеграла, определяющего Закон движения, или понять. в каком виде необходимо искать решение дифферемциального уравнения, если имеется необходимость решать уравмемия Лагранжа. Для проведения качественного исследования движения необходилю, во-первых, используя начальные условия, вычислить змачемие обобщенной энергии, которая является интегралом лвижемия. Во-вторых, построить график потенциала, как функции обобщенной координаты, и и этих же осях изобразить прямую, соответствующую сохраняющемуся значению энергии, Далее необходимо отметить, если имеются, точки поворота — точки пересечения графика потенциала и прямой для энергии. Классически разрешенная область движения определяется условием того, что потенциал должен быть ие больше обобщенной энергии; множество значение обобщеииой координаты (абсцисс точек ма ~рафике).
для которых график потенциала лежит ниже прямой энергии. и есть та область. где одмомериая система может находиться. В зависимости от того, ограничивают ли эту область слева и справа точки поворота. можно сделать вывод о том, является движение фимитмым или имфикитным, периодическим или апернодическим. Задача 2.4.1. Чему равен период финитмого диижемия частицы массой т в поле с потенциалом а — некоторая положительная константа. Решение.
Для того, чтобы понять, при каких условиях возможно фимитмое движение частицы, проведем качественное исследование. Построим график потенциала сГ(х). Условию млассически доступной области движе- бб ння удовлетворяют значения энергии, большие минимального значения потенциала 1в точке х = Ь). Поскольку нас интересует финнтное периодическое движение, область движения должна быть слева и справа ограничена точками поворота.
Очевцано, этому требованию удовлетворяют значения энергии — а/ьэ с Е с 0 1см. рис.). Далее запишем Е = -)Е), чтобм явным образом выделить фант отрицательности значения энергии и не забыть об это в дальнейшем 1от знака энергии зависит, чему будет равен интеграл!). — а/ Период финитного движения, как известно, определяетсн соотношением: Т=2/ — (Š— У1х)) 12.156) Е = У(х). 12.157) В нашем случае х~ = С, хт = 1/аДЕ~. мнтегрэл, фигурирующий в 12.156), вычисляется элементарно. В области интегрирования между двумя точками поворота потенциал У(х) = а!тэ.
Прияедем к общему знаменателю выражение, стоящее под корнем Т = 2)' = 2)' — (Š— У1Х)) *' — ( — ~Е) + — ) где точки поворота хм хэ определяются равенством обобщенной энергии и потенциала; 2~ ~Г7я 7 2~ ~/ Щьт гт1 '~ /2т = -2~/ —, -хьг, - — ~С а)О. 2 )Е) ~Е( Задача 2.4.2.
Найти закон движения частицы массой т в потенциальном поле У(х) = — ('е савв а' если в начальный момент вРемени х(0) = — 2 (Щ~, х(0) = 0 (Уе, а > О). Решение. Прежде чем непосредственно заняться вычислением квадратуры, определяющей закон одномерного движения., проведем качественное исследование, чтобы заранее иметь представление о том, какой тип движения реализуется, и чего ожидать от ее вычислении в результат. Используя начальные условия, вычислим значение обобщенной энергии Е, которая является интегралом движения: т 4Уе Е = ~- п1хз + У(х)) ~ = — х~(0)+У(х(0)) = — — — Уе = Уе.
(2.108) 2 ше 2 2 т далее построим график зависимости Цх) и укажем значение энергии Е в виде горизонтальной прямой. На рисунке точкой со стрелкой вдоль прямой энергии символически указана частица в первоначальном положении и направление ее движения. Метод качественного исследования движения указывает на то, что частица будет двигаться все время влево в направлении к точке максимума потенциала х = — та, лишь аснмптотически при г -+ оо приближаясь к ней. 57 -Б)— н(я) т 1 )1и й ( (1 — п)(1+ а(а=о) (*) --))(= ( ( — ' — ') и(о=о) х 1-)- о)п— х а ~ь1 2, 2)() ~'о 1 — ога 2а о 2,й 1„„ 2а' (2.162) В области движения частицы — ха < х < 0; -1 < о1п — < О, 2а поэтому модуль под логарифмом можно убрать.
В итош, х 1 + о)п О = — — ( — 1и — 2йа. 2 ~о 1- о!и— 2а (2.163) Задача 2.4.3. Частица массой т движется в потенциале ) а — )о)х), (х( < а('Й, '( О. (х( > а/)о. Решение. Время прохождения частицей области хо < х < +со при наличии потенциального барьера может быть определено с помощью квадратуры 59 (а, (о > 0) с энергией Е > а. На какое время эта частица отстанет от другой такой же частицы, которая движется в потеициале Ях) = 0 и имеет те же начальные условия, после прохождения иад потенциальным барьерому В начальный момент времени частицы имеют координату хо < — а/Й и положительиую проекцию вектора скорости. Первое слагаемое в этом выражении: */ь Нх 2а//с -щь — Š— Е (2.167) Второй интеграл, в силу четности потенциала У, может быть сведен к интегралу по области 0 < х < а//с, где потенциал бг(х) = а — хх; «/ь мь -М )~ — (Š— (1( )) е ~ (Š— о+ к )) н!ь = 21~ — — (Š— а+ )гх) = (Е'~~ — (Š— а)'~~), (2.166) Поэтому искомое времи задержки, обусловленное потеициальиым барьером., )г'1' Е и (2 169) 2.5 Движение в центральном поле Общие рекомендации.
61 Прежде чем приступать к нахождению закона движения тела в цеи. тра ~ьном поле, а также расчету различных кииематических величии (иапример, время движения, зтловое смещение и т.д.), необходимо провести качествеииое исследование, которое позволяет, в общельто, без каких- либо значительных усилий и громоздких вычислений выявить закоиомериости и особенности в движении тела.
Лелается это в полной аислогии с одиомериым движением. однако имеется иесколько важных отличий. Во-первых, необходимо построить график зависимости ие физического потеицивла, а эффективного потенциала как фуикции радиальной координаты (представляющей собой расстояние между телом и силовым центром). Используя начальные условия, необходимо вычислить значение сохраняющейся обобщенной энергией, и на графике эффективного потенциала изобразить горизонтальную прямую, соответствующую ее значению.
Далее следует отметить точки пересечении (если таковые имеются) прямой энергии с графиком — точки поворота. Классически разрешенная область значений радиальной координаты определяется условием того, что обобщенная энергия должна быть не меньше эффективного потенциала: те области на графике, где кривая эффективного потенциача лежит выше прямой, соответствующей сохраняющемуся значению энергии, запрещены, там тело ни при каких условиях оказаться не может. В зависимости от того, окружают ли данную разрешенную для движения область точки поворота. делается вывод о том, будет движение финитныл| или инфинитным, периодическим или апериодическим, будет ли падение на силовой центр или нет.
Во-вторых, не стоит забывать, что помимо радиальной координаты, движение тела также определяется и угловой координатой. Особенностью ее изменения является монотонность: она либо постоянно н непрерывно увеличивается, либо уменьшается, что определяется направлением движения тела в начальный момент времени. Фактически изменение угловой координаты приводит к «наматываниюэ траектории вокруг силового центра. Накладывая найденные сведения о движении тела в радиальном направлении на выявленну.ю особенность движения в угловом, можно (качественно) представить траекторию движения. Задача 2.5.1. Частица массой т движется в центральном поде а 5 У(г) = — — — —. т гз Определить.
при каких значениях энергии Е и момента импульса Ь возможно финитное движение частицы без падения на силовой центр (а.,з ) 0). Решение. Данная задача решается исключительно путем применения метода 62 качественного исследования движения. Эффективный потенциал 2 Тз о / Те 1 1 (7е17(Р) = г7(Р) + = Б(Р) + з = — — + ~ — д+ — ) —, (2.170) 2 Р 2 ( 2ту Р" где 1. = Д вЂ” модуль момента импульса частицы, который является интегралом движения. (а Если — ~3+ — = О, то эффективный потеициал 2т всюду отрицательная и моиотопиая функция. В таком случае невозможно финитное движение без падения на силовой центр. В самом деле, при Е > О иет ии одной точки поворота (точек пересечения прямой энергии с графиком эффективного потенциала), стало быть, еспи частица движется в сторону к силовому центру (в сторону уменьшения Р), реализуется фииитиое движение с падением па силовой центр; если частица движется в сторону от силового центра (в сторону увеличения р), — иифииитное движение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
