А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В качестве обоб- щенной координаты выберем д~ = а — угол отклонения бусинки от вер- тикали в плоскости кольца (см. рис.). 1 ~д Лагранжиаи бусинки в электромагиитиом и потенциальном полях устроен следующим образом: Е = -гого + -А г" — е1с — У. 2 с (2.89) г=Л, О=а, ««« = мс+ з«с. (2.90) (2.91) (2.92) Так кинетическая энергия бусинки запишегся следующим образом: Т= — (гз+г~д'+гэап В1э) = ™(Азат+В'ы~эш~а). (293) 2 2 42 Как и всегда, величие электромагнитного поля приводит к появлению в функции Лагранжа двух характерных членов с потенциалами А и у.
Воспользуемся известными результатами для иих в сферических координатах г,й.,зь, а потом перейдем от иих к обобщенной координате о. Несложно сообразить, что сферические координаты т,й, .и, бусинки выражакпся 1чтобы ие путать обозначения скалярного потенциала р с углом м, сферической системы координат, у последнего приписываем индекс «с«): Далее займемся нахождением потенциалов А и И электромагнитного поля с заданными напряженностями: Н = Нее„ Е = О. Векторный потенциал А может быть найден из соотношения Н = гоСА. Запишем ротор в декартовых координатах в виде определителя: (2.94) (2.95) и разложим его по верхней строке. Тогда, приравннван коэффициенты при независимых ортах е,. е„, е„получим систему уравнений дли ком- понент векторного потенциала А,.
Аю А,: дА. дА„ ду де (2.96) ВА, дА, е„: — — — = О, (2.9Т) а Ох ВА„ВА„ (2.98) дх дй Пользуясь неоднозначностью векторного потенциала, попробуем искать частное решение этой системы с (2.99) Тогда уравнение (2.96) приводит к тому. чтобы при этом компонента А„ не зависела от ж — "=О, А ~А„(з). дАэ (2. 100) Второе уравнение системы приводит к аналогичному требованию неза- висимости компоненты А, от ж — *=О, А,1еА,(з). дА, дз (2.101) 43 е» д Нэе, = , дт ! А, е е, др дг А„ А,, 1 1 А, = — — Ноу, А„= — Нох, 2 ' " 2 (2.102) которое, как несложно видеть, удовлетворяет условиям (2.100) и (2.101). Тогда в используемой калибровке векторного потенциала 1 А = -Но( — уе, + хе„) 2 соответствующее слагаемое из лагранжиана в декартовых координатах может записано в виде: е- еНо -А г = — (ху — ух).
с 2с (2.103) Вспоминая связь декартовых координат х, у со сферическими г. В. х;. х = г гбп д сов ум у = г81пдвшфс. х = г сов 0, (2.104) после подстановки в (2.103) и преобразований, немедленно получаем: е- еНо —.4 г = — г гйп дфо с 2с (2.105) С учетом соотношений (2.91) — (2.92), окончательно запишем: е- „еНо о .о -А.г"= — Н ыош и. с 2с (2.106) Поскольку электрическое поле отсутствует, и в выбранной калибровке векторный потенциал не зависит явно от времени, то 1 дА(г", С) Е(г". 1) = -тУр(г,е) — — ' = -17у(г.с) = О, (2.107) с дс что позволяет выбрать частное решение для скалярного потенциала, равное нулю: оо(г,с) = О. 44 В итоге, нетривиальным остается только равенство (2.98).
Путем подбора находим одно нз его возможных частных решений: Потенциал бусинки в однородном поле тяготения У = »пдз = п»дВ сов а. (2.108) Собирая все вместе, для лагранжиана зариженной бусинки будем иметь: Е = — Вэ(о»+ »апта) + — Взы е1п о — п»дВсоэо. (2.109) 2 2с Построенная функция Лагранжа, очевидно, не зависит явно от време- /дЕ ни ~ — = 0 . И, поскольку диссипации отсутствуют, стало быть, обоб- 1 дг щенная энергия Е явлиется интегралом движения 2»п т э Е=б — — с=а АРВΠ— Е= — Ва дб 2 — — В м сйп о — — В юв1п о+гцдВсоэа = сонэк (2.110) г и г еВо з г 2 2с Как и всегда, значение константы Е однозначно определяетси начальными условиями.
Выражая нз (2.110) обобщенную скорость б г)а бьэ — =т й и разделяя переменные, получаем квадратуру, определяюшую неявную зависимость о = о(1): (2.111) — т г»п, . еН "" ~ — 1 Е+ — Вещавшег о+ — Вемв1п а — »пдВсова) уп»В»1 2 2с Знак «+» перед квадратурой следует брать в том случае, когда бусинка движется так., что прн этом угол а возрастает, в противном случае следует брать знак « — ». 45 Задача 2.3.2. Частица массой гл и зарядом е движется по поверхности параболоида ах = хе + уэ (а = сопят) в постоянных и однородных поле тяжести о = — де„электрическом и магнитном полях, напряженности которых соответственно Х = — Нее, и Н = Нее,. Записать лагранжиан и найти закон движения частицы в квадратурах.
Решение. Поскольку частица может двигаться только по поверхности параболоида (не может «сойти» с его поверхности), число ее степеней свободы е = 2. Очевидно, что система имеет цилиндрическую симметрию. Это приводит к мысли о рациональности использования цилиндрических координат. Однако надо определиться. какие две из трех цилиндрических координат р. р, г могут быть объявлены независимыми.
Уравнение пара- болоида а =х ч~й 2, 3 в цилиндрических координатах может быть записано следующим образом: ах = р~. Отсюда следует, что мы можем в качестве обобщенных координат вы- брать р н и, прн этом координата х будет зависимой: х = р /а. (2. П 2) й )Е ~д ьг е"- С = -пзгь +-А г — е1» — у. 2 с (2.113) аб Функция Лагранжа рассматриваемой заряженной частицы устроена следующим образом: ~(~о з ъ+ о) (2.114) Дифференцируя (2.112) по времени з = 2рр/а (2.115) и подставляя вместе с (2.112) в кинетическую энергию, получим (г /Ф+( — ))= (р ()+ — ) «'). )2.))6) Потенциальная энергия в однородном поле тяготения ' У = туг = тур /а.
(2.117) В калибровке векторного потенциала (см. предыдущую задачу) 1 А = -Но(-уе„+ яео) 2 для однородного постоянногомагнитного поля, направленного вдоль оси л, слагаемое из лагранжиана в цилиндрических координатах е- еНо з. -А г= — рф). с 2с (2.11о) В случае однородного и постоянного электрического поля скалярный потенциал р(г" 1) = — Ео г = Еоз = Еор /а.
В итоге, лагранжиан заряженной частицы принимает вид: (2.119) С = — ~Р ~1 + — ~ + Ртл ~ + — Р )о — (тд Ч- еЕо) —. (2.120) т /.и/ 4рР~ .о'1 еНо о р =2(, ~ ао/ ',) 2с а 47 Далее воспользуемся известиымн результатами для каждого из слагаемых в ней и исключим зависимую координату з в соответствии с уравнением связи (2.112). Кинетическая энергия точки в цнлицдрических координатах (дС Функции Лагранжа явно не зависит от времени ~ — = О), коорди- 1, дС (дС ната !а является циклической ~ — = О), поэтому обобщенная энергия Е д!а и обобщенный импульс р„, являются интегралами движения: дС дС Е=р — +Ф вЂ” — С= др д!а 4 зч ! — р 1+ Р ~ Ь р~ф~) Ч- (тад -~- еЕо) р = сопза (2.121) а рг = —.
= тр Ф + — р = сопеа дС ц. еНс 12.122) дд 2с Для нахождения закона движения частицы выразим из (2.122) обобщенную скорость !р; (~ 2 ) (2.123) и подставим в обобщенную энергию (2.121): и! э ( 4рз!! 1 г еНо г'!г Р Е = — р 1 1 + — ~ + — ! р, — — р ) + (тд + еЕс) —. (2.124) 2 ~! аз) 2трз), 2с ) а Выражая отсюда р Р= др д! (2.125) )) э)рг Р) — (тдьеЕс) — ) ' а) т !+— а' ) разделяя "'ременные и ин рируя по аес! к дра рг опредетя„ шую неявную зависимость р = р(!): ! )'4! = Ир м е Р! — (тд+ еЕе) ь*) ! 48 ф с(оо/й Н~ р Ыр/й ~1р (2.127) С учетом (2.125) и (2.123) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (р — — рх),/пгр Ир 2 7' 1 7 еНо , т1' — — (Ре — — Р ) — (ту + еЕо) — ) про 1 ( 2 (, 2с ) )о/ тп 1+ — ) оо ) интегрируя которое находим квадратуру, определяющую неявную зависимость р = Р(чо)' (2.128) ( еНо о) Ро') Равенства (2.126) и (2.128) определяют закон движения заряженной частицы в квадратурах.
Задача 2.3.3. Частица массой гп н зарядом е движется в магнитном поле, напряженность которого Й =Нос 1*+о1е,. Найти закон движения частицы в квадратурах. Л9 Вторая квадратура, определяющая закон изменения обобщенной координаты р., стандартно найдем, расслютрев отношение обобщенных ско- ростей Решение. На движение частицы никаких ограничений не наложено, поэтому она имеег три степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем цилиндрические, поскольку, очевидно, магнитное поле обладает цилиндрической симметрией. Функция Лагранжа заряженной частицы в электромагнитном иоле, как нам известно,имеет вид: ь".
= -гпгь -'г -А г — еьр. 2 с (2.129) Заданное магнитное поле Н=Н е ~РС, не является однородным, поэтому для построения лагранжиана необходимо прежде всего найти его потенциалы А. у. Векторный потенциал А определяется равенством Й = гоеА. Записывая ротор в цилиндрических координатах, будем иметь равен- ство: (2.130) Раскладывая определитель по верхней строке и приравнивая коэффици- ентм при независимых ортах е, е, е„получим систему уравнений для компонент векторного потенциала А, А,, А,: р), др д/ (2 А 31) ер . (2.132) (2.133) 1) д !' р~ др ! Ар Рез д д дзр дз РАр А, Пользуясь неоднозначностью векторного потенциала, будем искать частное решение этой системы с двумя равными нулю компонентами: А~ = А, = О.
Тогда уравнение (2.132) выполняется тождественно, уравнение (2.131) приводит к требованию, чтобы компонента А. не зависела от ю дА„ — ~=0. дз (2.134) Равенство (2.133) приводит к уравнению 1 д(РАе) -ь ь — = Нос Р др (2.135] Производная в левой части., согласно правилу дифференцирования слож- ной функции, может быть записана как 1д 1дро д д — — = — — = 2 —.
рдр р др др' др' Поэтому уравнение (2.135) записывается как д(РАо) Н ьр 2 ~ =Нос Р (2.136) и допускает разделение переменных: д(Р.4.) = 2 Нос " др'. (2,137) Интегрируя последнее равенство. получим РА = — — е о + С. Но ь* 25 (2.138) 51 Аддитивную константу С инте рироваиия мы имеем полное право положить равной нулю. Ведь наша задача состоит в том. чтобы найти хоть какое-нибудь частное решение для потенциалов! В принципе, подойдет любое, но чем проще оио будет, тем лучше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
