А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Видмо, что слагаемые из функции Лаграижа (2.31), содержащие экспоненту е к, ме проявляются в уравнении движения. И в этом нет ничего удивительного! Несложно заметить, что эти слагаемые сворачиваются в волную производную по времени Е = х —, — ь" = х (тих + ае ") — — — а е "(х — ух) ч- — = тх' йхз = — +пухе и+— 2 2 (2.33) не является интегралом движения, поскольку построена по лагранжиадб ну, явно зависящему от времени (для нее — ~ 0). В то время как обобд1 щенная энергия, построенная по функции Лагранжа (2.37), не зависящей дь" явно от времени (для нее —, = О), д1 дь" -, гпхэ 'кхв тх' ххх Е=х — — Е=х пух — — + — = + — ', (2.39) дх 2 2 2 2 напротив, является интегралом движения. Такич образом, исследуемая система имеет интеграл движения (2.39), неочевидный по виду исходной функции Лагранжа (2.31).
Задача 2.2.2. Бусинка массой т, может без трения скользить по горизонтальной спице. К бусинке с помощью невесолюш стержня длины 1, который может совершать колебания в вертикальной плоскости. принреплена другая бусинка массой тх. Система находится в вертикальном однородном и постоянном поле тяжести у. Найти закон движения бусинок в квадратурах. Решение.
Во-первых. определим число степеней свободы системы. Очевидно., что для задания положения первой бусинки, движущейся по горизонтальной прялюй, достаточно ввести одну координату, например, ее декартову координату вдоль горизонтальной оси. Задав положение этой 27 При этом оказывается, что обобщенная энергия, построеннан ио функции Лагранжа (2,31) бусинки, мы тем самым в некотором смысле фиксируем положение точки крепления нити.
Следовательно, положение второй бусинки, подвешенной на нити в фиксированной точке и совершающей плоское движение, может быть задано еще одной координатой., например, углом отклонения нити от вертикали. Итак, система имеет две степени свободы. Во-вторых, выберем с качестве обобщеных координат: д, = х — декартова координата первой бусинки (оси декартовой системы координат указаны на рисунке, начало координат ее находится где-то на горизонтальной спице), сэ = а — угол отклонения нити от вертикали. При этом зададим правило отсчета угла а: отклонению нити вправо пусть соответствуют значения а > О., влево — значения а < О.
Для построения функции Лагранжа системы бусинок рассмотрим произвольное состонние, например, изображенное на рисунке (согласно нашей договоренности, этому положению тел системы соответствует значение угла а < 0). Декартовы координаты бусинок х, = х. у1 = О, хэ = х+ 1в|па. уэ = — 1сова. (2.40) 28 (поскольку для рассматриваемого положения бусинок а < О, то здесь понимается я1па > О, сова < 0 и расстановка знаков в правых частях осуществлена из соображений, что должно быть хз < х, уэ < 0).
Дифференпируя (2.40) по времени, имеем: х, =х, у, = О, хз = х+16сова, уз = 1а в1па, (2.41) Тогда кинетическая энергия системы Т = т1(хг+у1) + тз(хр ч-уз) = = — твх + —, пьв)х 4-1 а + 2!ахсова). 2 ~ 2 2 2 г ' 2 (2.42) Потенциальная энергия системы У = лиду, + твдув = — тзд1сова. (2.43) Е = -(тд+тз)к~ ь — тз)Раа +21ахсова) +тед1сова. (244) 2 2 Зля нахождения закоиа движения воспользуемся методом интегралов движения. С этой целью найдем два интеграла движения, чтобы получить замкнутую систему двух дифференциальных уравнений относительно двух обобщенных координат х.
а. Очевидно, что лаграижиан (2.44) явио ие зависит ог времени: дŠ— 4 й дв и поскольку отсутствуют диссипации, то обобщеииая энергия Е системы является интегралом движения. Построим ее по определению: дб дЕ Е =- х — + а —, — Е = дх да = х (1т~ + пгз)х+ тэ1а сова) + а тв(1~а + 1х сов а) — Е = = -(т, +те)х + — тз(1 а +21ахсова)— 1 2 1 2.2 2 2 -твд1 сов а = савва (2.45) Стало быть, лаграижиаи системы бусинок, как разность кинетической и потенциальной эиергий, Очевидно, что обобщенная координата х для системы с лагранжианом (2.44) является циклической: дС вЂ” =О, дх что с учетом отсутствия диссипаций означает сохранение обобщенного импульса р„соответствующего этой координате.
Выражение для этого интеграла движения найдем по определению: дС р, = —, = (т~+ те)х+те(агава = сопэс. д (2.46) Значения констант Е и ре мы можем однозначно найти из начальных условий, задающих значения обобщенных координат х,а и их первых производных по времени х.а в начальный момент времени Г = йь Для этого положим Г = Г„в полученных для интегралов движения выражения (2.45) и (2.46): Е = Е(х(са),а(1э) а(сэ)) р. = р.
(х(сс), а(сс). а(сс)) р — те1а соэ а х= т1 + тэ (2.47) и подставим в выражение (2.45) для обобщенной энергии: (р, — тэ1а сов а) 1 э э р, — тпэ1а сов а + — тэ) а + те(а соэ а— 2(тг+ тэ) 2 го|+ тэ -ттд1 сов а, (2.48) что после элементарных преобразований запишется как т . тэР(т,.ьт е1пэа) Š— + а' — тед! соэ а. (2.49) 2(т1 + тэ) 2(т, +го,) 30 Теперь будем считать известными значения найденных интегралов движения несмотря на то, что явно начальные условия ие заданы.
Объединяя равенства (2.45) и (2.46) в систему уравнений, приступим к нахождению закона движения. Для этого выразим из (2.46) обобщенную скорость х: Полученное равенство представляет собой дифференциальное уравнение относительно одной обобщенной координаты а с разделяющимися переменными. Выразим из него а: з 2(тг+ тпз) Š— * + тед1соеа (2,50) щ(1 Ц тзр тг+теэ1п а) откуда, разделяя переменные, и интегрируя обе части, приходим к равенствг 4 С. (2.51) Вместо того, чтобы приписывать адаптивную константу интегрирования, можно эквивалентно записать полученную квадратуру в виде интегралов с пределами: на нижних пределах стоят начальные значения переменных 1е, ое интегрирования, на верхних — мгновенные (текущие) их значения. (2.52) и ао Формально данный переход можно понимать так: сумма значений интегралов на нижних пределах, представляющих некоторые конкретные константы,и есть исходная адкитивная константа интегрирования в (2.51).
Равенство (2.52) представлнет собой квадратуру., определяющую зависимость о = о(1) неявно. Если бы нам удалось найти явным образом зависимость о(Е), мы подставили бы ее в равенство (2.47) и смогли бы его проинтегрировать, найдя, пусть хоть неявную, но зависимость х(1). Однако в нашем случае равенство (2.47) не может быть проинтегрировано. 31 Для иакождеиия закова изменения обобщеииой координаты х рассмотрим отношение обобщенных скоростей х и а: (2.53) Прииимая во вкимаиие равенства (2.47) и (2.50), получим (р — тат(асов а)/(тлт + тт) (2.54) Подставляя сюда еще раз равенство (2.50) для 6 в числителе основной дроби, получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися перемекиыми: Разделяя переменные и интегрируя, получаем квадратуру, определяющую неявную зависимость х = х(а); (2.55) р ~ тат ! соя а 32 р, ~ птт( сов а т(х х(итт + тт)~ (тпт + тот) / (Ь = тт х Нх/от <Ь а оа/ое оа Равенства (2.52) и (2.55) и представляют собой закон движения бусинок в квадратурах.
Выбор знаков «х» в этих выражениях определяется направлением движения бусинок. В самом деле, знаки «х* определяют знак обобщенной скорости а согласно (2.50). Поэтому в случае, если система движется так, что угол а увеличинается (в этом случае а ) О), в равенствах (2.52) и (2.55) необходимо брать верхние знаки. В случае, когда система движется так, что угол о уменьшается (в этом случае а ( О), необходимо брать нижние знаки.
Задача 2.2.3. Материальная точка массой ги движется по сфере радиуса Н в однородном поле тяготения д = -де,. Найти интегралы движения и закон движения точки в квадратурах. В качестве обобщенных использовать цилиндрические координаты. Решение. Поскольку точка не сходит с поверхности сферы., это единственное ограничение на ее движение означает наличке связи. что, в свою очередь, подразумевает, что система имеет две степени свободы. В условии задачи предлагается решать задачу в цилиндрических координатах. Но прежде необходимо выяснить, какие две из трех р. у.
х могут быть выбраны в качестве обобщенных координат: необходимо одну из них исключить на уравнении связи (то есть учитывая уравнение связи). В качестве последнего выступает уравнение сферы в цилиндрических координатах, которое очевидно из чисто геометрических соображений (см, рис.): р2+»»»2 (2.5б) 33 Из него удобно выразить р (ведь всегда р > О в отличие от х, поэтому, выразив р и, тем самым, объявив независимой з, не придется задумываться о возможных знаках координаты р); (2.57) Итак, в качестве обобщенных координат выбираем д, = з и оз = чь Продифференцировав (2 67) по времени, получим (2.58) Поэтому кииетическая энергия точки зэхх ! 71зх .ь ог~1з (2 бд) 2 ),Вз — гх Потенциальная энергия точки в однородном поле тяготения (2.60) Поэтому функция Лаграюка рассматриваемой системы имеет вид: ох '2 С = Т вЂ” 77 = — — + (В~ — в~) ЛЛ~) — года (2,61) 2 ~,77з — хз Далее займемся поиском интегралов движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
