А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Именно зто свойство секторной скорости, как площади, замегаемой радиус-вектором в единицу времени, позво- ляет рассчитать период Т финитного движения: за время Т заметается площадь эллипса Поэтому период фииитиого движения, определяемый соотношением (2.204): 22кпг рз р (1 ех)хбг Подставляя сюда выражения 12.195) и (2.19б) для параметра и эксцеитриситета соответствеиио, получаем для периода движения частицы тот же результат: гпо 2.6 Задача рассеяния Общие рекомендации.
Решение задач иа иахождеиие дифференциального сечения рассеяния сводится к нахождению црицельиого параметра как функции угла Рассеяния. Делается это иа основе квадратуры, определяющей уравиеиие траектории частицы пучка, движущейся в поле силового центра, иа котором происходит рассеяние. При этом в квадратуре эффективный потенциал необходимо записать через прицельный параметр. Задачи иа иахождеиие сечения падения частиц иа силовой центр сводятся и иахолгдеиию предельного прицельного параметра, имея который частица выходит асимптотически иа круговую орбиту.
Задача 2.б.1. Найти диффереициальиое сечение рассеяния пучка частиц иа силовом центре, потенциал которого и(.)=- —, ( <9). т Решение. В задаче 2.5.3 для случая притягивающего силового центра (а > О) было найдено уравнение траектории (2.197) в ваде уравнения конического сечения. При этом в зависимости от значения энергии Е частицы эксцентриситег (2,196) мог принимать различные значения, что определяло, по какой траектории будет двигаться частицы: окружность, эллипс, парабола или гипербола.
Для случая отталкивающего силового центра (а < О) эффективный потенциал т ПЕ(р) = — — +— а р„ е р о герт (2.205) всюду положителен (см, рис.), н движение возможно только прн значе- ниях энергии Е > О, Все проведенные в задаче 2.5.3 вычисления, как несложно сообразить, остаются в силе. Однако, теперь, в силу положительного значения энергии Е, эксцентриситег траектории., определяемый соотношением (2.196), 2Ер' с=1)1+ — е >1.
шат 77 что говорит о том, что траекторией движения частиц при рассеянии на силовом центре, будет гипербола при любом разрешенном значении энергии Е. Связь прицельного параметра р с углом рассеяния 9 может быть установлена на основе квадратуры, определяющей уравнение траектории (2.186).
гмы Р» Нр "'Р 2 (и (уе~(Р)!) зс / гпрэ 2 (о ~е)г (Р)) (2.206) (2.207) Очевидно, ь!!Р! — — ьмдэ. Из рисунка видно, что угол рассеяния 6 удовлетворяет соотношению: !!У! г !.!э!2 78 Обозначим через ЬЫ! — изменение угловой координаты ч! при движении частицы из пространственной бесконечности, где Р = оо, до точки максимального сближеннЯ с силовым ЦентоРом, в котОРой Р = Р гб Ь!Р! — изменение угла при обратном движении на пространственную бесконечность.
Выражения для Ь+! и ээээ могут быть непосредственно найдены из (2.186). где для Ь!Р! перед интегралом следует взять знак е — М ПОСКОЛЬКУ На ЭТОМ УЧаетКЕ ДВИЖЕНИЯ КООРДИНата Р УМЕИЬШастСЯ (при этом на нижнем пределе интеграла необходимо поставить р = со, как значение начальной координаты, на верхнем — р = р ,„, как конечной); в выражении для Ь~оэ перед интегралом следует взнть знак «ч-», поскольку на этом участке движения координата р увеличивается (при этом на нижнем пРеделе интегРела бУдет Р = Р,мзи как значение начальной координаты, на верхнем — р = сю, как конечной): Поэтому л — 9=2 / РР 0~2 тр2 г — (Š— и,б(р)) (2.208) Эффективный потенциал здесь следует записать через прицельный параметр р стандартным образом: ~1~7((Р) = П(Р) + — и- = — 72(Р) ч- — = — — + —.
(2.209) р2 с 2,.„ВР2 2тлрз р2 р р2 При этом в (2.208) необходимо также выразить оставшееся в подынте- гральном выражении (вне эффективного потенциала) р. через прицель- ный параметр р на основе соотношения: „2 — т- — Яре 2т (2.210) (Стоит отметить, что значения интегралов движения р, как модуля момента импульса, и энергии Е могут быть найдены из начальных условий: .2 (2.211) 1пп У(р) = О.
Соотношение (2.210) получается из формул (2.211).) Интеграл, фигурирующий в (2.208), нами был уже вычислен в задаче 2.5.3; см. формулу (2.191), в которой необходимо заменить ре на основе (2.210) и поставить соответствующие нашему интегралу пределы. В итоге, я — 9 = 2 атосов 2Е .-' ( — )' Ргшп 79 где с„— модуль вектора скорости частицы на пространственной беско- нечности в начальный момент времени. Потенциал У(р), предполагается, убывает иа бесконечности так, что = 2 атосов — 2 агссое 1 а (2.212) ~.-'. ( — -;)' Минимальное до силового центра расстояние р и находим иэ равенства, определяющего точки 1юнорота: а Ерх ЦЕ(Рки) = — — + — „= Е. Рмм Р (2.213) (2.214) Подставляя (2.214) в 12.212), находим: (- — -') т — В = 2 агссое — 2 атосов 1 =- Ч.
'Ч'хе) а 2Ер = 2 агссое ' ', (2.218) ~ — -')' откуда В (2ЕР' ) (2.216) 80 которое решаем как квадратное относительно 1/р и. Помня, что в нашем случае а с О, а координата р всегда неотрицательна., убеждаемся, что это уравнение имеет единственное решение Домножая числитель и знаменатель на р', з и' В (2Е) ' " (й) (2.217) окончательно находим: (2.218) «рз(В) г(о = тг~~г(р~(В)~ = и — г(В = я ( †) .
2 с18- . — — г(О (2.219) г(В , ( 2Е ) 2 . т В 2 з1п— 2 Записывая дифференциал г(О через элемент ~елесного угла Ий г(1? г1В =— 2лвгпВ' (2.220) окончательно приходим к соотношению ""= (4Е),О 2 называемому формулой Э. Резерфорда. Задача 2.6.2. Пучок частиц массой гп с энергией Е упруго рассеивается на жесткой сфере радиуса В. Найти дифференциальное и полное сечение рассеяния. Решение. Рассеяние пучка на жесткой сфере можно интерпретировать как рассенние на силовом центре, находящемся в центре сферы и создающем поле 81 Дифференциальное сечение рассеяния может быть найдено по формуле: Тем ке менее для нахождения прицельиого параметра как фуикщаи угла рассеяния, нет необходимости анализировать квадратуру, аналогичиую (2.20В) в предыдущей задаче.
Данная зависимость находится из чисто геометрических соображеиий. В самом деле, изобразил~траекторию движения одной частицы при рассеянии. Поскольку вне сферы никаких сил иа частицу ие действуют. оиа движется до и после удара о сферу прямолинейно. Абсолютная упругость удара приводит к тому, что угол падения а совпадает с углом отражевия В (см. рис.); При атом угол а может быть выражен через угол рассеяния 0 очевидным образом: и = (х — д)/2. (2.221) р = Выла. (2.222) С учегом (2.221), зависимость прицельного параметра от угла рассеяиия имеет вид: р р(е) = ггсоз —. 2 (2.223) В качестве прицельного параметра р частицы выступает отезок АВ (см.
рис.), равный ллине перпендикуляра, опущенного язвочки падения частицы иа сферу на ее диаметр, параллельный первоначальному иаправлению движения частицы. Из прямоугольного треугольника ЬАОВ с гипотенузой ОА= й, иаходим: Дифференциальное сечение рассеяния тогда: Ог = 2лр(В)~ — ~«(О = (Ор(О)', ~ ИО! В В 1 1 = 2л Ясов — Лзй» вЂ” — ОО = — лйзэ!пВВО. (2.224) 2 2 2 2 Угол рассеяния О принимает возможные значения 0 < В < л. При этом значение В = л соответствует «лобовому» столкмовению частицы со сферой, когда она движется в направлении вдоль горнзомтальмого диаметра сферы и после удара о мее продолжает двигатьсн в диаметральмо противоположмую сторону; значемие В = 0 соответствует ситуации, когда частица, имея прицельный параметр р = Я, лишь касается поверхности сферы и ме испытывает изменения направления движения.
Полное сечемие рассеяния о»«»я получается интегрированием дифференциальмого «)а по всем возможмым значенинм угла рассеяния: о„»м = /«)и =- — лЛ ( э1пВОО = — — лЯ соэО~ = лй (2.225) 3» 2 ~ 2 2 ./ 2 и представляет собой поперечную площадь препятствия, которое встречают частицы пучка при рассеянии, в машем случае — площадь круга радиуса В.
Задача 2.6.3. Найти дифференциальное сечение рассеяния частиц, скорость которых до рассеямия параллельна оси х, ма гладкой упругой поверхности, образованной вращением графика функции р = у(х) = ах ~~, О < х < Ь (а > О, Ь > 0) вокруг оси х. Решение. По аналогии с предыдущей задачей, упругое рассеяния ма поверхности вращения можно переформулировать как рассеяние ма силовом центре с потенциалом 0 вие поверхности вращения, К1(г) = ( со ма и под поверхностью вращения. При этом, в силу очевидной симметрии, этот воображаемый силовой цемтр находится где-то ма оси симметрии, в качестве которой выступает ось х. Более комкретмой информации о местомахожлемии его сказать невозможно, ио, как мы увидим, этого достаточио для решения задачи.
Б частности, знание того. что силовой цемтр находится где-то иа оси т, позволяет прийти к выводу о том, что в качестве прицельного параметра каждой частицы малетающего пучка выступает ордимата точки ее падения ма поверхмость (см. рис.): Изобразим траекторию движемия частицы при упругом столкмовеиии с поверхмостью. Из рисунка махолим, что угол падения гг связан с углом рассеяния очевидным соогмошемием: о = (г — В)/2. (2.22б) Проведем в точке А падемии касательную к поверхности и обозначим через у угол ее наклона.
Тогда значение производмой функции г(т) = 84 187 = — У(х) = — ах Н 1 Вх 2 (2.227) Из чисто геометрических соображений установим свнзь углов а и 7, На рисунке сХАВ = — — а., 2АВС = у 2 и ~~АВ = 2АВС как накрестлежащие, стало быть (2.228) Сравнивая (2.226) и (2.228), находим: В 7= 2 (2.229) Поэтому равенство (2.227) принимает вид: В 1 18 — = — ах 2 2 (2.230) откуда а х = -ссй-, 2 2' а прицельный параметр е р = 1"(х) = ах Г = — С18- = р(В). а В 2 2 (2.231) Дифференциальное сечение рассеяния сЬ = 2пр(В) ~ИВ = 2г ( — ) ссй- — ВВ. (2.232) . бр(В) ( Тат ' В 2 Записывая дифференциал ЫВ через элемент телесного угла ВП по аналогии с (2.220) получаем а~ Ый Й~ = — -;-г —.
16 Пэ1п В/2 85 ахц' в этой точке, как известно, определяет значение тангенса угла на- клона касательной: Определим для полноты картины, в каких пределах изменяется угол рассеяния д частиц пучка. Для этого необходимо рассмотреть две «предельныхь точкм х = 0 и х = Ь, ограничивающих поверхность вращения. После столкновения частицы с поверхностью вращения в точке с абсциссой х = О, ома будет двигаться в диаметрально противоположную сторону, что соответствует значению угла рассеяния д = я. При рассеянии в точке с абсциссой х = Ь угол рассеямия дь может быть определен из соотношения (2.230): дь 1 О! 2 2 (2.233) откуда дь = 2 агсьй— 2Д (2.234) Очевидно, что при рассеямии во всех остальных точках поверхности вра- щения искомый угол рассеяния мемяегся в пределах; д <д< Итак, дифференциальное сечение рассенния частиц на заданмой поверхности вращения а«дй г(о = —, при этом дь < д < л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
