Главная » Просмотр файлов » А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике

А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 9

Файл №1119853 А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике.djvu) 9 страницаА.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853) страница 92019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Именно зто свойство секторной скорости, как площади, замегаемой радиус-вектором в единицу времени, позво- ляет рассчитать период Т финитного движения: за время Т заметается площадь эллипса Поэтому период фииитиого движения, определяемый соотношением (2.204): 22кпг рз р (1 ех)хбг Подставляя сюда выражения 12.195) и (2.19б) для параметра и эксцеитриситета соответствеиио, получаем для периода движения частицы тот же результат: гпо 2.6 Задача рассеяния Общие рекомендации.

Решение задач иа иахождеиие дифференциального сечения рассеяния сводится к нахождению црицельиого параметра как функции угла Рассеяния. Делается это иа основе квадратуры, определяющей уравиеиие траектории частицы пучка, движущейся в поле силового центра, иа котором происходит рассеяние. При этом в квадратуре эффективный потенциал необходимо записать через прицельный параметр. Задачи иа иахождеиие сечения падения частиц иа силовой центр сводятся и иахолгдеиию предельного прицельного параметра, имея который частица выходит асимптотически иа круговую орбиту.

Задача 2.б.1. Найти диффереициальиое сечение рассеяния пучка частиц иа силовом центре, потенциал которого и(.)=- —, ( <9). т Решение. В задаче 2.5.3 для случая притягивающего силового центра (а > О) было найдено уравнение траектории (2.197) в ваде уравнения конического сечения. При этом в зависимости от значения энергии Е частицы эксцентриситег (2,196) мог принимать различные значения, что определяло, по какой траектории будет двигаться частицы: окружность, эллипс, парабола или гипербола.

Для случая отталкивающего силового центра (а < О) эффективный потенциал т ПЕ(р) = — — +— а р„ е р о герт (2.205) всюду положителен (см, рис.), н движение возможно только прн значе- ниях энергии Е > О, Все проведенные в задаче 2.5.3 вычисления, как несложно сообразить, остаются в силе. Однако, теперь, в силу положительного значения энергии Е, эксцентриситег траектории., определяемый соотношением (2.196), 2Ер' с=1)1+ — е >1.

шат 77 что говорит о том, что траекторией движения частиц при рассеянии на силовом центре, будет гипербола при любом разрешенном значении энергии Е. Связь прицельного параметра р с углом рассеяния 9 может быть установлена на основе квадратуры, определяющей уравнение траектории (2.186).

гмы Р» Нр "'Р 2 (и (уе~(Р)!) зс / гпрэ 2 (о ~е)г (Р)) (2.206) (2.207) Очевидно, ь!!Р! — — ьмдэ. Из рисунка видно, что угол рассеяния 6 удовлетворяет соотношению: !!У! г !.!э!2 78 Обозначим через ЬЫ! — изменение угловой координаты ч! при движении частицы из пространственной бесконечности, где Р = оо, до точки максимального сближеннЯ с силовым ЦентоРом, в котОРой Р = Р гб Ь!Р! — изменение угла при обратном движении на пространственную бесконечность.

Выражения для Ь+! и ээээ могут быть непосредственно найдены из (2.186). где для Ь!Р! перед интегралом следует взять знак е — М ПОСКОЛЬКУ На ЭТОМ УЧаетКЕ ДВИЖЕНИЯ КООРДИНата Р УМЕИЬШастСЯ (при этом на нижнем пределе интеграла необходимо поставить р = со, как значение начальной координаты, на верхнем — р = р ,„, как конечной); в выражении для Ь~оэ перед интегралом следует взнть знак «ч-», поскольку на этом участке движения координата р увеличивается (при этом на нижнем пРеделе интегРела бУдет Р = Р,мзи как значение начальной координаты, на верхнем — р = сю, как конечной): Поэтому л — 9=2 / РР 0~2 тр2 г — (Š— и,б(р)) (2.208) Эффективный потенциал здесь следует записать через прицельный параметр р стандартным образом: ~1~7((Р) = П(Р) + — и- = — 72(Р) ч- — = — — + —.

(2.209) р2 с 2,.„ВР2 2тлрз р2 р р2 При этом в (2.208) необходимо также выразить оставшееся в подынте- гральном выражении (вне эффективного потенциала) р. через прицель- ный параметр р на основе соотношения: „2 — т- — Яре 2т (2.210) (Стоит отметить, что значения интегралов движения р, как модуля момента импульса, и энергии Е могут быть найдены из начальных условий: .2 (2.211) 1пп У(р) = О.

Соотношение (2.210) получается из формул (2.211).) Интеграл, фигурирующий в (2.208), нами был уже вычислен в задаче 2.5.3; см. формулу (2.191), в которой необходимо заменить ре на основе (2.210) и поставить соответствующие нашему интегралу пределы. В итоге, я — 9 = 2 атосов 2Е .-' ( — )' Ргшп 79 где с„— модуль вектора скорости частицы на пространственной беско- нечности в начальный момент времени. Потенциал У(р), предполагается, убывает иа бесконечности так, что = 2 атосов — 2 агссое 1 а (2.212) ~.-'. ( — -;)' Минимальное до силового центра расстояние р и находим иэ равенства, определяющего точки 1юнорота: а Ерх ЦЕ(Рки) = — — + — „= Е. Рмм Р (2.213) (2.214) Подставляя (2.214) в 12.212), находим: (- — -') т — В = 2 агссое — 2 атосов 1 =- Ч.

'Ч'хе) а 2Ер = 2 агссое ' ', (2.218) ~ — -')' откуда В (2ЕР' ) (2.216) 80 которое решаем как квадратное относительно 1/р и. Помня, что в нашем случае а с О, а координата р всегда неотрицательна., убеждаемся, что это уравнение имеет единственное решение Домножая числитель и знаменатель на р', з и' В (2Е) ' " (й) (2.217) окончательно находим: (2.218) «рз(В) г(о = тг~~г(р~(В)~ = и — г(В = я ( †) .

2 с18- . — — г(О (2.219) г(В , ( 2Е ) 2 . т В 2 з1п— 2 Записывая дифференциал г(О через элемент ~елесного угла Ий г(1? г1В =— 2лвгпВ' (2.220) окончательно приходим к соотношению ""= (4Е),О 2 называемому формулой Э. Резерфорда. Задача 2.6.2. Пучок частиц массой гп с энергией Е упруго рассеивается на жесткой сфере радиуса В. Найти дифференциальное и полное сечение рассеяния. Решение. Рассеяние пучка на жесткой сфере можно интерпретировать как рассенние на силовом центре, находящемся в центре сферы и создающем поле 81 Дифференциальное сечение рассеяния может быть найдено по формуле: Тем ке менее для нахождения прицельиого параметра как фуикщаи угла рассеяния, нет необходимости анализировать квадратуру, аналогичиую (2.20В) в предыдущей задаче.

Данная зависимость находится из чисто геометрических соображеиий. В самом деле, изобразил~траекторию движения одной частицы при рассеянии. Поскольку вне сферы никаких сил иа частицу ие действуют. оиа движется до и после удара о сферу прямолинейно. Абсолютная упругость удара приводит к тому, что угол падения а совпадает с углом отражевия В (см. рис.); При атом угол а может быть выражен через угол рассеяния 0 очевидным образом: и = (х — д)/2. (2.221) р = Выла. (2.222) С учегом (2.221), зависимость прицельного параметра от угла рассеяиия имеет вид: р р(е) = ггсоз —. 2 (2.223) В качестве прицельного параметра р частицы выступает отезок АВ (см.

рис.), равный ллине перпендикуляра, опущенного язвочки падения частицы иа сферу на ее диаметр, параллельный первоначальному иаправлению движения частицы. Из прямоугольного треугольника ЬАОВ с гипотенузой ОА= й, иаходим: Дифференциальное сечение рассеяния тогда: Ог = 2лр(В)~ — ~«(О = (Ор(О)', ~ ИО! В В 1 1 = 2л Ясов — Лзй» вЂ” — ОО = — лйзэ!пВВО. (2.224) 2 2 2 2 Угол рассеяния О принимает возможные значения 0 < В < л. При этом значение В = л соответствует «лобовому» столкмовению частицы со сферой, когда она движется в направлении вдоль горнзомтальмого диаметра сферы и после удара о мее продолжает двигатьсн в диаметральмо противоположмую сторону; значемие В = 0 соответствует ситуации, когда частица, имея прицельный параметр р = Я, лишь касается поверхности сферы и ме испытывает изменения направления движения.

Полное сечемие рассеяния о»«»я получается интегрированием дифференциальмого «)а по всем возможмым значенинм угла рассеяния: о„»м = /«)и =- — лЛ ( э1пВОО = — — лЯ соэО~ = лй (2.225) 3» 2 ~ 2 2 ./ 2 и представляет собой поперечную площадь препятствия, которое встречают частицы пучка при рассеянии, в машем случае — площадь круга радиуса В.

Задача 2.6.3. Найти дифференциальное сечение рассеяния частиц, скорость которых до рассеямия параллельна оси х, ма гладкой упругой поверхности, образованной вращением графика функции р = у(х) = ах ~~, О < х < Ь (а > О, Ь > 0) вокруг оси х. Решение. По аналогии с предыдущей задачей, упругое рассеяния ма поверхности вращения можно переформулировать как рассеяние ма силовом центре с потенциалом 0 вие поверхности вращения, К1(г) = ( со ма и под поверхностью вращения. При этом, в силу очевидной симметрии, этот воображаемый силовой цемтр находится где-то ма оси симметрии, в качестве которой выступает ось х. Более комкретмой информации о местомахожлемии его сказать невозможно, ио, как мы увидим, этого достаточио для решения задачи.

Б частности, знание того. что силовой цемтр находится где-то иа оси т, позволяет прийти к выводу о том, что в качестве прицельного параметра каждой частицы малетающего пучка выступает ордимата точки ее падения ма поверхмость (см. рис.): Изобразим траекторию движемия частицы при упругом столкмовеиии с поверхмостью. Из рисунка махолим, что угол падения гг связан с углом рассеяния очевидным соогмошемием: о = (г — В)/2. (2.22б) Проведем в точке А падемии касательную к поверхности и обозначим через у угол ее наклона.

Тогда значение производмой функции г(т) = 84 187 = — У(х) = — ах Н 1 Вх 2 (2.227) Из чисто геометрических соображений установим свнзь углов а и 7, На рисунке сХАВ = — — а., 2АВС = у 2 и ~~АВ = 2АВС как накрестлежащие, стало быть (2.228) Сравнивая (2.226) и (2.228), находим: В 7= 2 (2.229) Поэтому равенство (2.227) принимает вид: В 1 18 — = — ах 2 2 (2.230) откуда а х = -ссй-, 2 2' а прицельный параметр е р = 1"(х) = ах Г = — С18- = р(В). а В 2 2 (2.231) Дифференциальное сечение рассеяния сЬ = 2пр(В) ~ИВ = 2г ( — ) ссй- — ВВ. (2.232) . бр(В) ( Тат ' В 2 Записывая дифференциал ЫВ через элемент телесного угла ВП по аналогии с (2.220) получаем а~ Ый Й~ = — -;-г —.

16 Пэ1п В/2 85 ахц' в этой точке, как известно, определяет значение тангенса угла на- клона касательной: Определим для полноты картины, в каких пределах изменяется угол рассеяния д частиц пучка. Для этого необходимо рассмотреть две «предельныхь точкм х = 0 и х = Ь, ограничивающих поверхность вращения. После столкновения частицы с поверхностью вращения в точке с абсциссой х = О, ома будет двигаться в диаметрально противоположную сторону, что соответствует значению угла рассеяния д = я. При рассеянии в точке с абсциссой х = Ь угол рассеямия дь может быть определен из соотношения (2.230): дь 1 О! 2 2 (2.233) откуда дь = 2 агсьй— 2Д (2.234) Очевидно, что при рассеямии во всех остальных точках поверхности вра- щения искомый угол рассеяния мемяегся в пределах; д <д< Итак, дифференциальное сечение рассенния частиц на заданмой поверхности вращения а«дй г(о = —, при этом дь < д < л.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,17 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее