А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 10
Текст из файла (страница 10)
16 е!и д/2' дь 1 !й — = — иЬ 2 2 о,у и(г) = — —— г2 с энергией Е ((о, д > 0)). Решение. Нахождение сечении падения ма силовой центр !гнал сводится к махождению предельного прицельного параметра ре, поскольку !гнал = т ре. ! (2.235) Вб Задача 2.6.4. Найти сечение падения на силовой центр для частиц массой пц движущихся в потемциале Е = ггеК(Ро Ро). д — и,Е(Р.Р) = О. дР о — "гол=го (2.236) ор — „и,„(Р Р)~ < О. гуро е Эффективный потенциал частиц пучка ~' (((Р, Р) = ~I(Р) Ч. —. = — + — (ЕР— 3) . (2.237) Ерг а 1 е ' ' г г дифференцируя его, запишем систему (2.236) явным образом: г ГЕРг 6) Ро Ро — — — —. (Еро — 3) = О. а 2 г ~2 Рг (2.238) ч о (гЕРо 3) < О 2а 6 Ро Ро Из второго равенства сисгемы (2.238) находим, что Ро = — — (ЕРо — Ф) ° г (2.239) Подставляя последнее выражение в первое уравнение системы (2.238), получаем: аг аг а2 2(ЕР2 3) + 4(ЕРг )) 4(ЕРго 3) 87 По определению предельный прицельный параметр — это такое значение прицельного параметра, имея который частицы пучка асимптотически выходят на круговую орбиту вокруг силового центра.
Его значение может быть найдено из условия равенства значения энергии частиц пучка максимальному значению эффективного потенциала, что может быть сформулировано в виде выполнения следующих условий; откуда находим значение предельного прицельного параметра: О Е 4Ез' (2.241) Проверим выполнение третьего условии в системе (2.238): 2а 6, ( ) 2а' ба4 — + —, (гя — и) = (р.2в)) Р8 Ре ~ ) 8 (ЕРзе — 8) 16 (ЕРе з— д) аь ( з аз) ВЕз — ~ (2.240): (Кр' — «) = — — ( = — —, О.
8 (Ер8 — Э) ~ 4Е) а 1ьу аз 1 асад — — л (1 — — —,у( . ( Е 4Езу (2.242) 2.7 Малые колебания Общие рекомендации. При решении задач на малые колебания прежде всего необходимо убедиться в возможности существования колебательного движения в системе. Для этого необходимо проверить ее потенциал па наличие течи минимума.
Колебания будут происходить вблизи той точки минимума в окрестности которой задано начальное положение системы. Эта тое ка определяет положение равновесия системы при заданных начальных условиях. Далее необходимо стандартным образом построить функцию Лагранжа колебательной системы. При этом не нужно думать над вепрь сом рационального выбора обобщенных координат: в качестве таковнг выбираются отклонения от найденного положения равновесия, козюрне впоследствии буз(ут считаться малыми. Для нахождения закона малы 88 Поэтому, подставляя найденное предельное значение прицельного параметра (2.241) в соотношение (2.235), для сечение падения окончательно получаем: Задача 2.7.1.
Колебательная система описываетгя лагранжианом (Ч2Ч1+ 4192) ( +Ч1 Ч2)- Ц Ч1Ч2 Найти закон малых линейных колебаний, возможных в чикой системе. Решение. Во-первых, убедимсн в возможности существования колебательного движения в системе. Для этого исследуем потенциал системы (члены лагранжиана, не зависящие от обобщенных скоростей ч„ч2 и взятые с обратным знаком) 1 и(Ч1: Ч2) = — +Ч1 + 42.
(2.243) Ч1Ч2 Вычисляя первые частные производные и приравнивая их к нулю, аи 2 дЧ2 Ч1'Ч2 (2.244) 89 линейных свободных колебаний необходимо произвести разложение построенной функции Лагранжа в ряд Тейлора по малым отклонениям от положения равновесия, сохраняя члены не более второго порядка малости. Последнее обеспечивает линейность дифференциальных уравнений, описывающих колебания. Далее составляется система уравнений Лагранжа, к решению которой стандартными математическими методами сводится дальнейшие действия. В частности, требование нетривиальности решения однородной системы дифференциальных уравнений приводит к характеристическому уравнению, позволяющему найти собственные частоты. Надо понимать, что у каждой колебательной системы ровно столько собственных частот, сколько степеней свободы она имеет.
При этой каждой собственной частоте (моде колебаний) соответствует строго определенная амплитуда (комплексный столбец амплитуд). В случае вынужденных колебаний наличие внешних потенциальных сип производится на уровне лагранжиана: необходимо построить добавку к функции Лагранжа в виде их потенциала. Система уравнений Лагранжа в этол1 СЛуЧаЕ будет неоднородной и решается по-прежнему стандартными математическими методами. Напомним, общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения однородной и частного решения неоднородной систем. а?? — = — — 20-1=0, О!?2 !?1!?2 (2.245) находим точку экстремума потенциала: (2.246) 901 1 402 ! — =2>0, 01й„„,1 2 1 П22, ) 2 2 З !?1!?2 41?2 бг — — им = (2.247) 2 ! = 3 > О.
(2.248) б2 '~0!=02=1 Итак, найденная точка (2.246) является точкой минимума потенциала системы, а потому в ее окрестности возможно колебательное движение. Для дальнейшего решения введем новые обобщенные координаты (2.249) Х1 = 41 — !?01 = !?1 — 1., Х2=!?2 002=42 1, которые представляют собой отклонения от положения равковесия. Подставим Я! =1+х1, !?2 = 1+Х2 в лагранжиан и, считая х, и хе малыми, используя асимптотическое соотношение (1 ь х) '~ = 1 — х + х' +..., 0 90 Чтобы убедиться в том, что она является точкой минимума! проверим выполнение условий критерия Сильвестра: все угловые миноры матрицы, состоящей из вторых частных производных потенциала дз??(д) и, =- —,~, вычисленных в точке экстремума !?ь должны быть поаое,) ' ложительнй: произведем разложение в ряд Тейлора до второго порядка малости; с = — (1ч- Х2)*1»- (1+ х,) Х2~ ~— 2~ 2~ -(„'„, 1 — + (1»- х») + (1 + х») (»- х!)(1 х2) = -(х, + х» +...
) — (1 — х» + х, т... ) (1 — хз + х, +... )— 2 1» 2 Х» Х2 = (Х» + '22 + ...) 21 -(- 1 — х» + 2:, — х» + х»х2 + х2 -~-...)— .2 -2 — х — хз =- ~ ф + 4) — (х» + х»х + х,') — 3+..., (2.259) 2 где многоточие означает члены более высокого порядка малости, которыми мы пренебрегаем.
Принимая во внимание неоднозначность в определении лаграпжиаца, адцитивную постояиную 3 можно опустить. Таким образол», функция Лаграпжа рассматриваемой колебательной системы в квадратичном приближении по малым отклонениям от положения равновесия принимает вид: ь»~1 = -(х», + х»2) — (х»+ х»х»+ х»). (2.251) Система уравнений Лагранжа для построенного лаграижиаиа записывается как Г х, Ч- 2х, + Х2 = О, (2.252) Х2 + 2Х2 + Х1 = О и представляет собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Будем искать решение системы в виде: (х»(2) ) ( А») (2.253) с комплексными амплитудами А» и А». Подстановка (2.253) в систему (2.252) приводит к одиородиой системе алгебраических уравнений: (2.254) 1 — 2»2т2 А» 91 Полученная система имеет нетривиальное решение лишь при условии, что определитель ее матрицы равен нулю (характеристическое уравне- ние): ссг+ 2 ! 1 — ы +2( =О, (2.255) откуда (- '+2)'=1 — ы~ч-2= х1 (2.256) и собственные частоты снтемы 'с10 = 1. ьср1 = Л. (2.257) (2.258) В итоге, для компонент столбца комплексной алшлитуды.
соответствующей первой собственной частоте, имеем одно уравнение с двумя неизвестнымн: Аг+Аз = О, общее решение которого мажет быть записано как (2.259) А1 = -Ае = Со где С1 — произвольная комплексная константа, а потому столбец ком- плексных амплитуд первой моды колебаний ( „' ) = с, ( (2.260) 92 Далее найдем столбец комплексных амплитуд, соответствующих каждо» нз собственных частот. Полагая сс = 1 в алгебраической системе (2.254), получаем, как и положено (ведь определитель ее равен нулю!), систему из двух зависимых уравнений (в данном случае повторяющих друг друга): Следовательно, первое частное решение системы (2.252). соответствующее собственной частоте ып> = 1 (2.261) ! — 1)(А ) (2.262) Общим решением оставшегося независимого одного уравнения А~ — Аз = 0 будет А1 = Аз = Сз (2.263) с произвольной кол~алексией константой Сз.
Столбец комплексных ам- плитуд второй моды колебаний (2.264) Второе частное решение системы (2.252). соответствующее собственной частоте ы1з1 = чГЗ (*'~~) -ввС,(,')."~'. (2.265) Закон малых линейных качебаний системы как общее решение системы уравнений (2,252) представляет собой линейную суперпознцию найденных частных решений (2.261) и (2.266): ( ' ).=В (С,( )ге г,( ) '~).
(226Е 93 Аналогично, полагая в (2.254) ш = з/3, вновь приходим к системе с двумя зависимыми уравнениями: Двг комплексные константы С1 и Сг (или что то же гамос. четыре вещественные Ее Сь 1п1 Сь Ее Се и 1т Се) могуг быть однозначна найдены из четырех начальных условий: хг(0) = хщ хг(0) = хщ хз(0) = хез хз(0) = хе2 Задача 2.7.2. Найти закон малых линейных колебаний трех бусинок массой >и каждая. нанизанных на гладкое горизонтальное кольцо радиуса В и связанных друг с другом тремя одиваковыми пружинами жесткостью lс каждая.
Пружины в положении равновесия бусииок недеформированы. Решение. Для качала построим лагракжиан рассматриваемой колебательной системы. Очевидно., что система имеет три степени свободы., поскольку положение каждой из трех бусинок на окружности может быть задано одной координатой (например., углом). А так как пружины одипаковы и в положении равновесия системы они педеформированы, положением равновесия является любое состояние, в котором бусинки делят кольцо на три равные части. В качестве обобщенных координат выберем углы отклонения о„оп а, бусинок от одного из возможных положении равновесия.
Договоримся о направлении отсчета введенных обобщенных координат; отклоиепию 1 — той бусинки по часовой стрелке от ее положения равновесия соответствует значение угла а, > О, против часовой стрелки — значение сч < О. 94 Для построения функции Лагранжа системы рассмотрим произвольное ее состояние, например., изображенное на рисунке. Модуль вектора скорости бой бусинки может быть записана через обобщенную скорость а, как следовательно, кинетическая энергия системы тц1 тег тег 1™пг( г г 2) г г,г Т= — + — ч- — = — 1а +а, ч-б).
2 2 2 2 (2,267) Потенциальная энергия системы представляет собой сумму энергий упругой деформации трех пружин: 7. 12 + П23 т ь713 Рассмотрим, к примеру, пружину, соединяющую первую и вторую бу- синки. Ее энергия /с г 7712 = -(Ы12) ., 2 (2.268) 3З112 = Й1а1)+321аг). (2.269) Но поскольку, согласно, нашей договоренности о знаках обобщенных ко- ординат а„в изображенном на рисунке состоянии первая бусинка от- клонена по часовой стрелке, вторая — против, то а, > О,аг < О. И, раскрывая модули в (2.269), получаем (2.270) г.'2112 = Маг — )7аг. 95 где Ы12 — удлинение пружины,— необходимо выразить через введенные обобщенные координаты. Для этого обратимся к рисунку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
