А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Фуикция Лагранжа 7'аЕ (2.61) явио не зависит от времени ( — = О, И так как по условию зада~ бс чи отсутствуют диссипации, обобщенная энергия Е является интегралом движеиия. Построим ее по определению: . дС . дЕ пхЛзй Е = х — + Ф вЂ” — С = й -ь ф гп(В~ — вз) ф — Е = = а,,61, ')7 -х )7з г = — — + — (В~ — х~)д~+ гпдх = сопза (2.62) 2 Яз — ьл 2 34 дС р„= —. = гп(Н~ — г~) л = сопэа дгг (2.63) Значения констант Е. р однозначно определяются начальными усло- виями Е = Е(т,ЬЭ, в) с=м рт=рт(Ф,л)~ е=и Для решения скстемы дифференциальных уравнений, состоящей иэ равенств (2.62) и (2.63), выразим иэ (2.63) обобщенную скорость ф У= р пг(У вЂ” э') (2.64) и подставим в обобщенную энергию (2.62): оэ.2 р2 2(йе — ге) 2гп(Ве — аэ) (2.65) откуда выражаем обобщенную скорость 3: й:— — = ~ ~ 1Š— — гпйе .
(2.66) 2(пэ вт) У рг Разделяя переменные и интегрируя, получаем квадратуру, определяющую неявную зависимость а = в(1): ('2.67) 35 Далее, очевидно, обобщенная координата р является циклической дС вЂ” = О, а потому обобщенный импульс, ей соответствующий, являд~р ется интегралом движения Для нахождения закона изменения обобщенной координаты д рассмотрим отношение обобщенных скоростей (2.68) г Ыэ/4с бг откуда после разделения переменных и интегрирования найдем квадратуру р /т(Ве — вэ) (2.69) которая определяет неявную зависимость д = р(г), В выражениях (2.67) и (2.69) верхние знаки надо брать в том случае, когда точка движется по поверхности в сторону увеличения координаты х (при этом й > О), нижние знаки — когда движется в сторону уменьшения э (при этом й ( О).
Равенства (2.67) и (2.69) и определяют закон движения точки на поверхности сферы в квадратурах. Задача 2.2.4. Стержень массы т и длины 1 шарнирно закреплен в верхней точке и может совершать плоское движение в вертикальном поле тяжести д. Построить лагранжиан системы. Найти закон движения в квадратурах в общем виде длн произвольного движения стержня. Зи~исать уравнении Лагранжа. Рассматривая частный случай малых отклонений стержня от вертикали, найти частоту малых линейных колебаний.
36 Решение. Эта задача ярко демонстрирует, как умение описывать димамику одной материальной точки позволяет проводить исследование систем, которые материальной точкой не являются. Какой бы ми была система (даже сплошная среда!), мы всегда можем ее мыслить как набор (пусть деже и бесконечный) материальных точек. Очевидно, что для однозначного задания положения стержня с закрепленным концом и совершающего плоское движение., достаточно ввести угол его отклонения от вертикали, то есть рассматриваемая система имеет одну степень свободы.
В качестве обобщенной координаты выберем указанный угол а. Договоримся, что откломению стержня влево от вертикали соответствует значение угла а > О, вправо — значение а < О. Для построения функции Лагранжа стержня представим его состоящим из бесконечного числа малых элементов (то есть материальных точек) длины На и массой Нпь 'Тогда кинетическую и потенциальную энергии стержня найдем суммированием соответсвующих энергий материальных точек, из которых он состоит. Введем оси системы координат так, как показано на рисунке. Рассмотрим малый элемент стержня Ыа, находящийся на расстоннин а от точки его крепления.
Его декартовы координаты, как следует из чисто геометрических соображений, могут быть записаны через обобщенную координату. а следующим образом (лля изображенного ма рисунке положения., согласно нашей договоренности, а > О, н то время как обе координаты х„и у„отрицательны): (2.70) х„ = -а э1п а, 37 (2.71) у, = — а сова. (Отметим, что для данного элемента расстояние а остается постоянным, поэтому его не нужно дифференцировать.) Поэтому кинетическая энер- гия т)Т малого элемента ба стержня (2.74) Полная кинетическая энергия стержня.
как сумма бесконечно малых вкладов т)Т, сводится к интегралу; (2.73) Перейдем от интегрирования по массе к интегрированию по длине ис- пользуя тривиальную пропорцию (масса Нт приходится на длину тга, в то время как вся масса тп стержня распределена по его длине 1); т атп = — тта. (2.7б) Тогда, поскольку введеное нами расстояние а от верхней точки стержня до малого элемента ограничено условием 0<а<1, (2.77) (2.78) 38 Дифференцируя по времени, находим: аа =- -а6соэо. у, = ааетпа. гГТ= — (х,+у,) = — а 6. т)т т .т г)та т т т= ~бт= ' — а Гттта т.т 2 интеграл по длине — определенный интеграл: Т= )тГТ= — ~тГааа = — т1а, тл Г т.т 1 21/ б о Потенциальная энергия малого элемента тГа аУ = тйпду, = -Нтпда соэ а. (2.72) (2.73) Суммируя, находим потенциальную энергию всего стержня 17 = )' ИУ = — /дтдосоза.
(2.79) Переходя к интегралу по длине с помощью соотношения (2.7б), имеем: ! т Г 1 П = — д ) с)аосоаа = --тд)сова. l 2 с (2.80) Стало быть, лагранжиаи стержня Е = - гп) а + -тд) сое а. 2 2 б 2 (2.81) , дЕ Е=а — — С= да 2 1 3 2 = а — т)за — х. =- — таас — -тд)сока = сопвн (2.82) 3 б 2 Выражая отсюда обобщенную скорость а (2.83) и разделяя переменные, получаем квадратуру, определяющую неявную зависимость а = а(С): (2.84) им Уравнение Лагранжа для стержня И дь" дх. — — — — =О йда да (2.85) Закон движения стержня найдем методом интегралов движения.
По виду функции Лагранжа очевиден интеграл движения — обобщенная энергия (функция Лагранжа явно не зависит от времени и отсутствуют диссипации). Выражение для нее построим по определению: после тривиального лифференцирования лаграижнана (2.81) запишутся как — 1 -тп1 а) + -гпд1э1п а = О, ц1(,З ) 2 (2.8б) илн, что то же самое, зд 6+ — ьбпа = О, 21 (2.87) Тогда, воспользовавшись асимптотической формулой вша=а перепишем уравнение движения (2.87) в виде: зд 6 + — а = О. 21 (2.88) что представляет собой уравнение гармонических колебаний с циклической частотой 1'Зд 2.3 Движение зариженных частиц в электро- магнитном поле Общие рекомендации. Для построения лагрвнжиана заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле, прежде всего необходимо найти векторный и 40 В случае малых колебаний стержня, что подразумевает малость отклонения от положения равновесия (от вертикали) угол а можно считать бесконечно малым: а — > О.
скалярный потенциалы электромагнитного поля. Если речь идет об однородных и постоянных электрическом и магиитиом полях, то можно сразу использовать известные результаты для потенциалов в различных калибровках при различиом выборе обобщенных координат. Конечно же, как и всегда, ие стоит забывать об учете связей, наложенных на рассматриваемую систему., делая соответствующие изменения в применяемых результатах в соответствии с уравнениями связи. Если же электромагнитное поле неоднородно, то иадо отдельно найти векторный и скалярный потенциал.
При этом необходимо помнить, что потенциалы электромагнит- мого поля определены неоднозначна. Эта неоднозначность согласуется с неоднозначностью в определении лаграижиаиа. Данное обстоятельство позволяет находить для уравнений, определяющих потенциалы, наиболее простые частные решения: чем проще оио будет, тем проще будет выглядеть функция Лагранжа! Теперь успех решения задачи зависит ие только от удачного выбора обобщенных координат, ио и от удачного выбора калибровки (то есть частных решений) потенциалов электромагнитного поля. Поэтому, если. скажем, решая зацачу методом интегралов движения, ие удается найти необходимое количество интегралов движения, возможио, следует попытаться найти иное частное решение для потенциалов, то есть использовать другую калибровку., в которой функция Лагранжа теперь, к примеру., будет иметь новую циклическую координату, что позволит найти недостающий интеграл движения.
Задача 2.3.1 Бусинка массой гп и зарядом е нанизала иа тонкое кольцо радиуса Л, которое вращается с постоянной угловой скорсктью м вокруг своего вертикального диаметра в вертикальных однородных и постоянных поле тяжести д и магнитном поле Й. Составить лагранжиаи частицы и найти закон ее движения в квадратурах. Решение. Сиачала выясним, сколько степеней свободы имеет бусиика. Если бы кольцо ие вращалось, то для оциозиачиого задания положеиия бусинки достаточно было ввести одиу координату в виде, например, угла ее поворота вдоль кольца вокруг его центра.
Вращение кольца вокруг своего вертикального диаметра ие приводит к увеличению числа степеней свободы, поскольку вращение равномерное с заданной угловой скоростью, а это значит, что мы заранее знаем, на какой угол повернется плоскость 41 кольца к любому иаперед заданиому люомеиту времени и у„(С) = ы1+ ле. Следовательно, система имеет одну степень свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
