А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Поэтому, полагая в (1.16) Г = Фэ, найдем С = 1па. Окончательно, искомое уравнение траектории примет вид: (11 2, р(р) = а га ) 1 — соз м )з1п р) (1.17) 10 Константу интегрирования С найдем из начальных условий. По условию сказано, что в иачэльиый момент времени 1 = ге направлеиия движения зайца и собаки перпендикулярны, что озиачает Задача 1.3, Точка описывает кардноиду р = 2а сов — таким образуу 2 зом, что ее радиус-вектор вращается с постоянной скоростью ш. Найти вектор скорости и вектор ускорения точки как функции угла у. Решение. Постоянство угловой скорости вращения радиус-вектора эквивалентно условию ф — М. (1.18) Перепишем уравнение траектории в эквивалентном виде, понизив сте- пень тригонометрической функции: р = а(1+ сову). (1.19) Вектор скорости в полнрнмх координатах, как известно, имеет вид: (1.20) е = р е„+ рф е„.
Дифференцируя уравнение траектории (1.19) по времени, имеем: (1.21) р = -ау юлу Учитывая соотношения (1.18) и (1.21), вектор скорости (1.20) как функ- цию угла у запишем как е(у) = -аызптуср+ а(1+ сову)ые . (1.22) Для нахождении вектора ускорения необходимо продифференцировать полученное выражение (1.22) для скорости. а = о = — ( — ауз1пуег+а(1+ сову)ые„,) = -аыусоеуег— — аы зт у ее — аыу ип у е„+ а(1 + сов у)ы е„,. (1.23) 11 а = — ам~сааре — аывшне, — аы вш ре„+ а(1 Ь сов1р)же„.
(1.24) Далее необходимо выяснить, чему равны производные по времени от век- торов е, ет локального базиса полярной системы коордииат. Для этого вспомним, что оии раскладываются по базису декартовой системы моор- дииат следующим образом: е„= сш ~р е, + э1п 1р е„, ет = — вшре„+ сперев Поскольку орты декартовой системы координат е„еэ ие изменяются со временем, то есть их производные е, = е„= О, с учетом условия (1.18), будем иметь: е", = -1бвшРе, т дсовРе„= деи — — мегь (1.27) е„= -рсоэ.ре, — рв1п рек = — 4 ее — — -мер. (1.28) Тогда выражение (1.24) для вектора ускорения как функции угла р при- иимает вид: а(д) = — аы (1+ 2 сов Р) ее — 2аы~ э1п Р е, . (1.29) Задача 1.4.
Частица движется по эллипсу. задаииому уравнением х у — + — =1 аз бз (1.30) так, что вектор ее ускорения все время остается иаправлеииым парвл- лельио оси у. Найти величину ускорения ш(у) точки в тот момент, когда ее ордииата у(У) = Ь!3, если в начальный момеит х(0) = О, у(0) = Ь, ~У(0)~ = с . Решение.
Очевидно, что в точке эллипса с координатами х = О, у = б, задающей иачаеьиое положение частицы, вектор ее скорости направлен параллель- ио оси х (см. рис.). Предположим, что в этот момеит частица движется Принимая во внимание условие (1.18), имеем: (1.25) (1.26) в положительную сторону оси х. Тогда в начальный момент времени имеем; х(0) = ео, у(0) = О. (1.31) (1.32) су = Хе, + уе . По условию задачи он все время остается направленным вдоль оси у, что означает равенство нулю в любой момент времени его составляющей вдоль оси х; х(г) = О.
(1.33) Это, в свою очередь, приводит к выводу, что проекция вектора скорости на ось х остается постоянной и равной, согласно заданным начальным условиям (1.31) ге'. *'(1) = ' (О) = с . (1.34) Поэтому наша задача сводитсн к нахождению значения у в момент б: (1.35) Продифференцируем уравнение траектории (1.30) по времени: х(1)х(С) у(1)у(1) ат у (1.36) что, принимая во внимание условие (1.34), может быть записано как: х(1) с р(Г)у(1) — + — = О. ае (1.37) 13 Вектор ускорения ш в декартовых координатах, как известно, может быть записан в виде: Продифференцировав по времени еще раз, будем иметь: х(з)еэ у'(1) + у(з)у(з) Ьз (1.38) аз Условие (1.34) позволяет переписать последнее соотношение в виде: еэз Уз(1) + У(1)У(1) аз Ьз (1.39) ~ е з(1) у(з) ~ а (1.40) Величину у(з) найдем из равенства (1.37): Ь' , (з) у(з) = — — ' —.
аз у(С) (.4Ц Поэтому Выражая хз из уравнения эллипса (1.30), окончательно находим: 1 „азЬз / Ьз уз(1) З езЬз у(З) = — — — 11+ ) = — э,. (1.42) у(З) аз 1, уз(1) ) азуз(З) Значит, в момент времени г', в который у(У) = Ь/3, будем иметь: цзЬз 2'7 пзЬ у(у) = — — ' втуз(1 ) а (1.43) То есть модуль вектора ускорения в этот момент, согласно соотношению (1.35), ф(зк) ~ е 27 еез6 (1.44) 14 Именно отсюда мы имеем возможность выразить вторую производную ординаты частицы у: Глава 2 Метод Лагранжа 2.1 Функция и уравнения Лагранжа Общие рекомендации. Решение любой задачи в рамках лагранжевого фомелнзма начинаегся с построения лагранжиана (функции Лагранжа) рассматриваемой системы.
Для этого необходимо прежде всего ответить на два вопроса: 1) сколько степеней свободы имеет система? 2) какие обобщенные координаты рационально выбрать для однозначного задания положения тел системы? Для ответа на первый вопрос формально можно применить соотношение для числа степеней свободы: з = ЗХ вЂ” К, где Ж вЂ” число материальных точек, из которых состоит система, К вЂ” число уравнений голономных связей. Но для этого, в частности, придется явно выписывать все уравнения голономных связей. Чаще всего к этому вопросу подходят менее строго: число степеней свободы — зто мкннмальное число независимых координат, необходимых для однозначного задания положения всех тел системы в любой момент времени.
На интуитивном уровне иеобхс~ димо понять, сколько и какие нужно ввести координаты в минимальном количестве, чтобы фиксировать положения всех тел системы в каждый момент времени. Для ответа на второй вопрос, в принцнпе, нег никаких ограничений, лишь бы введеннме координаты были независимыми, и их число совпадало с числом степеней свободы системы. Однако не стоит забывать о соображениях рациональности, учитывающих, к прн- 15 лееру, симметрии системы. От удачного выбора обобщенных координат зависит успех решения задачи. Для построения функции Лагранжа необходимо рассмотреть произвольное отклоненное состояние системы, лля которого следует записать кинетическую и потенциальную энергии ее тел, например, сначала в декартовых координатах.
Затем, чаще из чисто геометрических соображений, устанавливая связь декартовых координат с выбранными обобщенными, в конечном итоге, необходимо кинетическую и потенциальную энергии переписать в терминах обобщенных координат. Следует также помнить о том, что наличие в системе диссипативных сил (сил трения, сопротивления) не отражается на виде лагранжиана системы. Поэтому при построении функций Лагранжа таких систем можно забыть про их присутствие. О ннх необходимо вспомнить при составлении уравнений движения: силы трения дают о себе знать в правых частях уравнений Лагранжа в виде обобщенных диссипативных сил Я~, выражения для которых следует строить отдельно согласно их определению и, в конечном счете, представить как функции независимых выбранных обобщенных координат и их первых производных.
Функция Лагранжа является функцией обобщенных координат е, и обобщенных скоростей э, (н, вообще говоря, и времени г). Поэтому при построении лагранжиана следует проследить, чтобы никакие другие координаты и переменные, кроме обобщенных, не остались в окончательном выражении. Задача 2.1.1. Построить лагранжиан математического маятника массой гл с длиной нити (., совершающего плоское движение в однородном н постоянном поле тяжести у под действием силы сопротивления гсопр — †-Дед Записать уравнение Лагранжа. 16 Поскольку ыаятник совершает плоское движение, координата х его остается всегда постоянной и в рассматриваемой системе координат равной нулю. Нерастяжимая нить обеспечивает постоянство расстояния между точечной массой и точкой крепления нити., так что координаты х и у маятника в любой момент удовлетворяют соотношению: т+ э Таким образом, .уравнения связей, наложенных на рассматриваемую ме- ханическую систем«, имеют внд: « = О.
2+ 2 12 (2.1) то есть число уравнений голономных связей К = 2, А поскольку система состоит нз одной материальной точки 1Ф = 1), поэтому имеем: ь =- ЗА« — К = 3 — 2 = 1, то есть математический маятник имеет одну степень свободы. 17 Решение. Совершенно очевидно, что для задания положения точечной массы, совершающей плоское движение на нити постоянной длины, достаточно ввести одну координату, например, угол отклонения нити от вертикали. Это означает, что данная система имеет одну степень свободы. Однако для полноты картины поясним, почему рассматриваемая система имеет именно одну степень свободы, подходя к вопросу чисто формально.
Для этого необходимо явно выписать все уравнения голономных связей. Выберем оси системы координат так, чтобы точка крепления маятника находилась в начале координат. Пусть плоскость рисунка соохветствует значению координаты е = О (ось х направлена «на нас«). х = 1 Б1п сн у = — 1 сов«» (2.2) Для рассматриваемого положения маятника, в силу нашей договоренности о направлении отсчета обобщенной координаты, о < О, при этом х < О, у < О. Поэтому для согласованности знаков а, х, у в правых частях (2.2) для х поставлен знак «+», для у — знак «-». Дифференцируя (2.2) по времени, «1 х = — (1в1пс») = 1асаво й (2.3) И у = — ( — 1сово) = 1«эв!па Ж для квадрата вектора скорости маятника будем иметь 2 хе е 12;„2 (2.4) А потому кинетическая энергия маятника Т= — = -т1 а.
»йо 1 (2.5) 2 2 Потенциальная энергия У маятника в поле тяготения может быть найдена из определения потенциальных сил. как сил, которые могут быть представлены в виде градиента скалярной функции, называемой потенциалом или потенциальной энергией; Выберем в качестве единственной обобщенной координаты указанный угол отклонения нити а. Следует помнить о том, что, .как и любая координата, введенный нами угол а имеет определенное направление отсчета. Поэтому необходимо его фиксировать для себя. поскольку, знаки координат будут существеннымн при построении лагранжиана. Пусть положительные значения угла а соответствуют отклонению маятника вправо от вертикали, отрицательные — влево.
Для построения лагранжиаиа маятника рассмотрим произвольное отклоненное от вертикали его состояние, например., изображенное на рисунке. Связь декартовых координат х, у с обобщенной а устанавливается чисто геометрически: (2.б) В нашем случае потенциальнаи сила Е~ = тд" = — тде„. Поэтому равенство (2.6), определяющее потенциальную энергию, применительно к нашему случаю, в декартовых координатах принимает вид: )'дУ дУ дУ вЂ” тде, = — ( — е, + — е + — е,) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
