А.Б. Пименов - Методика решения задач по теоретической механике (1119853), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2 асср,в — — г Яп 0 2т 2тг2 гпгзеш 0 (, 2с ОНО 2 2 — — — -~ — 1р,. — — г О1п 01 2тгзйп В л 2с 1 с' еНо 2 — + — -ь ~ (Є— —,г осп О) . (3.9) 2т 2тго 2тгзяп В (, " 2с Задача 3.1.2. Построить лагранжиан системы, которая описывается гамильтонианом = — я — Р,— — р' + — *'-тря 2т 2трз (, 2с ) 2т 4.= —, (2 = 1.,в). дН (3.10) др,' Для нахождения обобщенного импульса рр запишем уравнение Гамиль- тона дН Р р= дрв Тп (3.11) 136 Решение. Прежде чем проводить обратное преобразование Лежандра для построения функции Лагранжа. выразим обобщенные импульсы через обобщенные скорости и координаты на основе первой группы уравнений Гамильтона; откуда ре тр Аиалогичио из уравнения Гамильтоиа (3.12) дН 1 ( еНо о1 Ф= = ~(Ре Р~ др тро'1" 2с ) (3,13) находим е еНо Р =тр Оо+ Р 2с (3.14) Наконец, из уравнения Гамильтона дН р, (3,15) др„т следует, что (3.16) Далее запишем обратное преобразование Лежаидра: ~ = рер + рМ + р=2 — Н = еНо од = тр р+ (тр оо т — р ) .
со -Ь тг. 1 — Н. (3.17) 2с о; еНо о~, оо (глР) Е = тр -ь ~тр р ч- — р ) д + тй 2с ) 2т 1 ( 7 о еНо о'1 еНо о1 (тй) — — Р'Ф+ — Р) — — р') а — — рз 2тро'1(, 2с ) 2с ) 2т т гро+ кро 2 ' 2с (3.18) Задача 3.1.3. Построить гамильтониан и составить уравнения Гамильтона бусинки массой т., нанизанной иа спицу.
изогнутую в форме 137 Подставим сюда заданный гамильтон иан. заменяя в котором обобщеииые импульсы согласно соотиошениям (3.12), (3.14) и (3.16)., будем иметь; параболы у —. ах, и совершакнцей движение в вертикальной плоско. е стн в однородном поле тнготенин д под действием силы сопротивления гсопр = — Вс Решение. Очевидно, что данная система имеет одну степень свободы.
В качестве обобщенной координаты выберем вбсциссу .г бусинки. Для построении гамильтониама необходимо сначала построить функцию Лагранжа, а затем подвергнуть ее преобразованию Лежандра. д Т = — (х —,' у~). (3.19) Дифференцируя урвнение свнзи, коим является уравнемие параболы у = ах (3.20) находим т — - — (1+ 4азх ). 2 (3.21) Потенциальная эмергия бусинки в однородном ноле тяготемия д = -де„ У = гаду = пгдах~. (3.22) 138 Кинетическая энергия бусики, совершающей плоское движение в плоскости ху, Поэтомч лагранжиан рассматриваемой системы, как разность кинетической и потенциальной энергий., Е = (1 + 4огхг) — тдахг. 2 (3.23) р. = —. =тх~14-4о х ) дь" г г дх (3. 24) откуда р* пг(1 + 4агхг) (3.25) Поэтомч гамильтониан г р* Ч-тдах~ = 2т(1 ь 4ог .г) и =р,*-Š— р, т~1+ 4агхг) Р + тдах .
г 2т(1 -~- 4агхг) (3.26) Далее построим обобщенную диссннативнчю силу Яэ, которая в уравнениях Гамилщона позволяет учесть действие на бусинку силы сопротивления Гсопр — — — Ж Согласно определению (2.11), Я =Е .— =Р; — -~-à —. дг „дх „ду дх *д "д (3.27) С учетом уравнения связи у = ахг, — = 2ах. дд дх Компоненты ньютоновой диссипативной силы с учетом (3.20) г', = — дх, г~ = — дд = — 2дахх., (3.28) 139 Отметим еще раз, что наличие силы сопротивления, действующей на бусинку при движении. никак не отражается ни на виде лагранжнана. нн на виде гамильтониана. Подвергнем построенную функцию Лагранжа (3.23) преобразованию Лежандра. Для этого выразим обобщенную скорость х через канонические переменные р,, х.
Обобщенный импульс, согласно определению. Стало быть., О = — дх(1-Ь 4а х ). (3.29) (3.30) Тривиальное дифференцирование гамильтониана (3.26) позволяет записать систему уравнений Гамильтона дН дН Р' дх а (З.ЗЦ в виде х= р* т(1 Е 4агхе) 4агхр' д Р* =' г 2тдах — — р,. т(! + 4агхг)' (3.32) 3.2 Скобки Пуассона Общие рекомендации. Скобки Пуассона от двух функций канонических переменных можно всегда считать по определению, явно расписывая их определяющую сумму.
Однако, если известен явный вид функций, часто технически более простым оказывается вычисление путем сведении исходной скобки 140 Однако, поскольку мы работаем в 1амильтоновой формулировке, необходимо все физические величины выразить через канонические переменные. Принимая во внимание (3.25), перепишем обобщенную диссипативную силу Задача 3.2д. Вычислить скобку Пуассона для компонент момеита импульса и импульса материальной точки (Ь„р,) . Решение.
Прежде чем приступить к вычислению скобки Пуассона, представим компоненту момекта импульса Е, в виде функции канонических веремеииых. Для этого векторное произведение радиус-векшра и импульса запишем в виде определителя и раскроем его разлагая по первой строке: ! с1 е„ е, Х=(гхр]=! х у г Р* Рг Р* = е (ур, — р„) + ег(хр, — хр,) + е.(хрг — ур,), (3.33) откуда находим (3.34) Е =- Рэ — У Используя свойство линейности скобки Пуассона по первому аргументу.
представим искомую скобку в вице суммы двух: (:Рх) ( Рг УР* Р) ( Рэ Р) (УР*.Р) Далее расписывая каждую из двух скобок по правилу Лейбница, сводим их к фундаментальным скобкам Пуассона: (~* Р*) = х(Р,;Р-)+ (;Р.) Р, - У(Р,Р.) — (и Р*)Р* Нетривиальной оказывается только скобка во втором слагаемом: Таким образом, Пуассона к так называемым фуидамеитальиым скобкам Пуассона.
Это достигается применением осиовиых свойств скобок Пуассона, таких как билииейиость, иекоммутативиость и аналог правила Лейбница. Задача 3.2.2. Вычислить скобку Пуассона компонент момента импульса материальной точки (Ь,, Е,) . Решение. Используя выражение (З.ЗЗ), запишем аргументы искомой скобки Пуассона явным образом в вцце функций канонических переменных: Ь, = Є— УР,. ь = УР* хрю Используя свойство линейности по первому аргументу, запишем (7-.
Т.) = (УР. — Р,:хр, — УР*) = (УР.: Ра — УР*)— — (хр„, хр„— ур ) . (3.35) Используя свойство линейности по второму аргументу, каждую из двух появившихся скобок также распишем в виде суммы двух: (Ь„Ь,) = (УР„хРл) — (УР„УР ) — ( Р„,.хрл) + (гРюУР„) . (3.36) Далее каждую из четырех скобок распишем по правилу Лейбница. сводя их к фундаментальным. Так при вычислении первой скобки сначала применим правило Лейбница для первого аргумента (УР* хрз) = У(Р:хРл) + (У.хрз) Р* (3.37) а затем в кажцой из двух образовавшихся скобок — прнвило Лейбница для второго аргумента: (УР,, хр„) = У(х(Р,,Р„) + (Р„.,х) Р„) -«(х(У,Рл) -~- (У,х)Р„)Р,.
(3.38) Из четырех фундаментальных скобок Пуассона, к которым мы пришли, нетривиальной является лишь одна: (У:Рл) = — (Р, У) =-1. Поэтому (3.39) (УР*, хрх) = — Р' 142 Аналогично расписываем оставшиеся три скобки в (3.36): (ур.: ур.) = и(у (р* р*) + (»., у) р.) + (у (у: р*) -> -1-(у,у)р,)р, = О., (3.40) (хр„, хрэ) = х(х (р„, р„) -Ь (р„, х) р„) + (х(х.рэ) + + (г, х) рэ)р, = О, (3.41) (зр,: у *) = з(у (р, р*) + (р, у) р*) и (у (, р*) -> +(х,у) р,)р„= х(рэ,у) р, = хр,. (342) (1х; гч) = зр —:ср* = ьэ. (3.43) Задача 3.2.3.
Лля классической частицы массой т, движущейси в произвольном электромагнитном поле, вычислить скобку Пуассона компонент вектора скорости (х, у) . Ответ выразить через напряженность магнитного поля. ьз е— С= -тть е -А тс-ед. 2 с (3.44) где А., 1л — векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля. Обобщенный импульс частицы дС е ° р"= —, = тт+ -А, дт с (3.45) откуда выранозем вектор скорости: т = — (р"- -А) . (3.46) 143 Решение. Представим компоненты вектора скорости классической частицы в виде функций канонических переменных.
Лли этого, например, вспомним, как выглидит ее функция Лагранжа: Поэтому аргументы скобки Пуассона, которую нам предстоит подсчи- тать, х = — (р, — -А,) ., у = — (р» — -А») . 13.47) Используя свойство билинейности, представим искомую скобку Пуассона в виде суммы четырех: 1 1 е е 1х,уу = — ср, — -А, р — -А 1 = .. ° .)- е тэ = — ~~р», ру) — — (р А») — - (А«р») + (-) гА», Ау) (3 48) Скобка в перво»л слагаемом фундаментальна и равна нулю. Последняя скобка 1'дА* дА» дА«дА»'1 ,,~гдр, дх» дх, др,у 13.49) дА, дА» др; др» Скобку Пуассона во втором слагаемом в 13.48) распишем по определению: з 13.50) Производная —, ш 0 лля всех значений « = Г$.
А производная— др, Ф« дх, др» отлична от нуля и равна единице лишь для 1 = 1. Поэтому из всей суммы по индексу» «выживает» только одно слагаемое со значением индекса суммирования» = 1: др, дЛ„дЛ„ »» др дх дх '13.51) Совершенно аналогично, в скобке Пуассона в третьем слагаелюм в 13.48) ' 7аА.бр„ал.бр„'1 ,,1дР, дх, дх, дР,) 13.52) 144 поскольку векторный потенциал А = А(г, г) не зависит от импульсов и потому производные производная также «выживаегэ только одно слагаемое со значением ин- Лекса суммирования г = 2: дА„др„дА„ (А„р„) = — — * —" = — — '*. др дрг др (З.оЗ) Собирая все вместе, для искомой скобки Пуассона получаем: е )'дАг дА, 1 (х И= — — ~ — "- — *~ ° (,д ду~ (3.54) Вспоминая, что напряженность магнитного поля определяетсн ротором векторного потенциала, е (3.55) несложно сообразить, что разность производных компонент векторного потенциала в (3.54) (3.56) Окончательно, е (х,р) = — — Н,, (3.57) 145 д Н вЂ” 1%'хА~ = ~ А, дА„дА, дх ду д др дл А„А, ! 3.3 Интегралы движения в методе Гамильтона Общие рекомендации.
Часто случается так, чзо в силу тех или иных причин непосредственное решение дифференциальных уравнений Гамильтона затруднено. Так же как и в лагранжевом, в гамильтоновом формализме на помощь может прийти метод интегралов движения: вместо того, чтобы решать систему дифференциальных уравнений движения, можно решать систему, составленную из интегралов движения. При этом система уравнений должна быть замкнутой: число уравнений должно совпадать с числом неизвестных обобщенных координат, нахождение которых как функции времени и являетси келью. то есть необходимо найти столько интегралов движения, каково число степеней свободы имеет рассматриваемая система тел. Однако интеграл движения в гамильтоновом формализме представляет собой функции канонических переменных (то есть обобщенных импульсов и координат), поэтому, чтобы превратить его в дифференциальное уравнение первого порядка только по обобщенным координатам., необходимо., используя уравнении Гамильтона, выразить обобщенные импульсы через обобщенные скорости и подставить в найденные интегралы движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
