С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005 (1119806), страница 17
Текст из файла (страница 17)
85: К определению спектральной плотности.Величину S̃u (ω) мы и назовем спектральной плотностью. Отсюда сразу следует физический смысл спектральной плотности: это среднеквадратичное напряжение шума, генерируемое в единичной спектральнойполосе частот. Очевидно, что полная дисперсия будет определяться интегралом:Z∞dωS̃(ω)σ =(127)2π−∞Подчеркнем, что здесь мы говорим от так называемом двустороннем определении спектральной плотности — величина S̃u (ω) определена для положительных и отрицательных частот. С “двусторонним”определением связано появление множителя 2 в (126).
Часто говорят об одностороннем определении спектральной плотности Su (ω) (величина Su (ω) определена для положительных частот). Очевидно, что этивеличины связаны очевидным равенством:Su (ω) = 2S̃u (ω).Применим преобразование Фурье к случайной величине u(t):Z∞u(ω) =u(t) e−iωt dt−∞Напряжение на выходе узкополосного фильтра (рис. 85), будет равноZdωu(ω) e−iωtuab =2π∆ωСреднее от этого напряжения будет равно нулю, а среднекрадратичное отклонение равноZZ0dω dω2uab =u(ω)u∗ (ω 0 ) e−i(ω−ω )t(2π)2∆ω ∆ω(128)(129)Сопоставляя это выражение и определение (126) спектральной плотности мы приходим к выводу, чтодолжно выполняться равенство:u(ω) u(ω 0 )∗= 2π × δ(ω − ω 0 ) × 2S̃(ω)В следующем разделе мы докажем эту формулу строго.11.1.3Теорема Винера-ХинчинаПредварительные выкладки.
Можно применить преобразование Фурье к случайной величине u(t):Z∞u(ω) =u(t) e−iωt dt,u(ω) = 0.−∞Последнее равенство очевидно (т.к. u(t) = 0). Рассмотрим среднееZ∞0 00∗u(ω) u(ω ) =u(t)u(t 0 ) e−i(ωt−ω t ) dt dt 0 =−∞11 ШУМЫ85=Z∞B(t − t 0 ) e−i(ωt−ω0t 0)dt dt 0 .−∞Это выражение можно упростить, сняв одно интегрирование. Для этого сделаем замену переменных:τ = t − t 0,ωt − ω 0 t 0τ0 =t + t0,2τ= (ω + ω 0 ) + (ω − ω 0 )τ 02и проинтегрируем по τ 0 , принимая во внимание известное представление дельта-функции:Z1 ∞ ipxδ(x) =edp2π −∞(130)В итоге получаем:ω + ω0= 2π δ(ω − ω 0 ) S̃u (ω),= 2π δ(ω − ω 0 ) S̃u2Z∞S̃u (ω) =B(τ) eiωτ dτ .u(ω) u(ω 0 )∗(131)(132)−∞Нетрудно убедиться, что величина S̃u (ω) есть спектральная плотность шума u.
Смысл равенства (131)заключается в том, что спектральные гармоники u(ω) и u(ω 0 ) статистически не зависимы, а среднийквадрат одной гармоники определяется спектральной плотностью S̃u (ω).Определение спектральной плотности из средней мощности. В радиофизике часто определяютспектральную плотность по-другому, исходя из средней по времени мощности шума. Рассмотрим реализацию v(t) случайного процесса длительности T . Определим среднюю по времени мощность шума какWT =1TZ T/2v(t)−T/22(133)dtПреобразуем это выражение, вводя преобразование Фурье v(ω) процесса v(t):Z∞dωv(t) =v(ω) eiωt,2π−∞ZZ Z∞0dω dω 01 T/2dtv(ω)v(ω 0 )∗ ei(ω−ω )tWT =T −T/2(2π)2−∞(134)(135)Здесь мы используем то, что для действительной функции v(t) справедливо равенство v(t) = v ∗ (t).
Теперьрассмотрим предел T → ∞:!Z21 T/2lim WT = limv(t) dt = σ ≡ B(0),(136)T →∞T →∞T −T/2Z∞ Z Z∞0v(ω)v(ω 0 )∗dω dω 0ei(ω−ω )tlim WT =limdt =T →∞T(2π)2−∞−∞ T →∞Z Z∞dω dω 0v(ω)v(ω 0 )∗2π δ(ω − ω 0 )=lim=T(2π)2−∞ T →∞Z∞dω|v(ω)|2=lim= B(0)(137)T(2π)2−∞ T →∞Теперь мы можем записатьlimT →∞1TZ T/2−T/2v(t)2dt!=Z∞lim−∞ T →∞|v(ω)|2Tdω(2π)2(138)11 ШУМЫ86S(ω)S̃(ω)replacementslabelspdens3ωРис. 86: Одностророннее и двустрононнее определение спектральной плотности.Отсюда спектральную плотность средней мощности шума определяют как|v(ω)|2Sv (ω) = limT →∞T(139)Сравниваем (132) и (139), используя (137):S̃(ω) = Sv (ω) = limT →∞|v(ω)|2T(140)Таким образом мы видим, что определения (132) и (139) эквивалентны.Теорема Винера-Хинчина. Равенство (132) утверждает, что автокорреляционная функция и спектральная плотность связаны преобразованием Фурье.
Следовательно, верно и обратное преобразованиеФурье. Эти два утверждения и составляют содержание теоремы Винера-Хинчина:Z∞B(τ) eiωτ dτ,(141)S̃u (ω) =−∞Z∞dωB(τ) =S̃u (ω) e−iωτ(142)2π−∞Подчеркнем, что спектральная плотность S̃u (ω) определена для положительных и отрицательныхчастот. Очевидно, что функция S̃u (ω) четна (это очевидно из (141) в силу четности автокорреляционнойфункции B(τ)).Везде ниже мы будем пользоваться так называемым односторонним определением спектральной плотности17 S(ω) = 2S̃u (ω) —см. рис. 87. Тогда теорема Винера-Хинчина (141, 142) переписывается в виде:Z∞Su (ω) = 4B(τ) cos(ωτ) dτ(143)Z ∞0dωB(τ) =Su (ω) cos(ωτ)(144)2π0Из формулы (144) сразу следует, что дисперсия σu случайного напряжения определяется интегралом:Z∞dωσu = B(0) =Su (ω).(145)2π0PЭто равенство можно переписать в виде σu =∆u2 (ω) и тогда спектральную плотность можно понятькак отношение среднего квадрата напряжения ∆u2 (ω), генерируемое в узкой полосе ∆ω/2π, к этой полосечастот:∆u2 (ω)Su (ω) = 2π lim∆ω→0∆ωВыражения (145) соответсвует определению спектральной плотности через дисперсию случайной величины на выходе узкополосного фильтра.17 Т.е.
S(ω) определена только для положительных ω. При этом определение автокорреляционной функции B(τ) не изменяется.11 ШУМЫ11.1.487Белый шумВажным случаем шума является модель белого шума, для которого спектральная плотность не зависитот частоты, т.е. Su (ω) = S0 . Из (144), используя (130), получаемB(τ) = S0 δ(τ)/2,(146)Su (ω) = S0 .Модель белого шума описывает случайный процесс без памяти. Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим задачу “об абсолютно пьяном человеке” (задача о случайных блужданиях).
Пусть через каждыйинтервал времени ∆τ человек делает шаг длины ∆x, причем с равной вероятностью он делает шаг впередили назад. Важно, что направление каждого следующего шага человека никак не связано (не коррелировано) с предыдущим. Таким образом средняя длина каждого шага равна нулю, а дисперсия — ∆x 2 .Рассмотрим последовательность большого числа N шагов yi = {∆xi }, 1 < i < N, где i обозначает номер шага. Последовательность yi является реализацией дискретного случайного процесса (аналог длянепрерывного процесса — например, запись случайного напряжения u(t)). Тогда применяя эргодическуютеорему, запишем (справа для напоминания выписываем аналигичные формулы для непрерывного случайного процесса):N1 Xy = lim∆xi = 0,N→∞ N⇔i=1N1 X(∆xi )2 = ∆x2 ,N→∞ Ny2 = lim⇔i=11u = limT →∞ Tu2 = limT →∞Z T/2u(t) dt,−T/2Z T/21Tu(t)2 dt.−T/2Теперь можно рассчитать дискретный аналог автокорреляционной функции Bj :NBj = limN→∞1 X1∆xi ∆xi−j = (∆x)2 δ0j , ⇔ B(τ) = limT →∞ TNi=1Z T/2u(t)u(t − τ) dt.(147)−T/2Здесь δ0j — символ Кронекера18 .
Этот ответ очевиден. Поскольку последующий шаг никак не связан спредыдущим, то для любых |j| ≥ 1 должно быть Bj = 0. В результате получаем ответ (147).Теперь от дискретного описания перейдем к временному, устремив время шага ∆τ → 0. При этомвеличина каждого шага должна неограниченно увеличиваться так, что ∆x2 ∆τ = B0 (B0 — постоянная).Тогда символ Кронекера перейдет в дельта-функцию δij /∆τ → δ(τ) и автокорреляционная функцияперепишется в виде (ср. с (146):Bj = (∆x)2 δ0j ,⇔B(τ) = B0 δ(τ)(148)Из этого примера видно, что модель белого шума описывает случайный процесс без последействия(последующий шаг не связан с предыдущим).
Кроме того, подчеркнем, что введение дельта-функции— это, конечно, абстракция. Реально в любых физических процессах есть конечное время “памяти” (внашем примере это время шага ∆τ). Конечное время “памяти” ∆τ приводит к тому, что спектральнаяплотность оказывается постоянной лишь до частот ∼ 1/∆τ и уменьшается для бо́льших частот. Однакоесли характерные времена для рассматриваемой задачи много больше времени “шага”, то описание спомощью дельта-функции удобно и оправдано.11.2Преобразование шума в линейных цепяхРассмотрим как преобразуется шум в линейных цепях.
Нас будут интересовать, естественно, шумовыехарактеристики.Пусть на вход линейного устройства с коэффициентом передачи K(ω) (рис. 87 слева) действует источник шума, спектральная плотность которого известна. Нам надо найти спектральную плотность шума навыходе устройства.Можем записать для входного и выходного напряжения:uвх (ω) uвх (ω 0 )∗18 Символ= 2π δ(ω − ω 0 ) × S̃вх (ω),Кронекера δij = 1 при i = j и δij = 0 при i 6= j.11 ШУМЫ88PSfrag replacementsuвхuвыхK(ω)EuвхCuвыхreplacementsUшtRqabK(ω)LРис. 87: Слева: схема преобразования шума, проходящего через линейное устройство. Справа: пример.uвых (ω) uвых (ω 0 )∗= 2π δ(ω − ω 0 ) × S̃вых (ω),Теперь, пользуясь связью входного и выходного напряжений, мы можем получить связь спектральныхплотностей шума на входе и на выходе:uвых (ω = K(ω) uвх , ⇒Sвых (ω)=S̃вых (ω) = |K(ω)|2 S̃вх (ω),(149)|K(ω)|2 Sвх (ω)(150)Рассмотрим в качестве примера цепь, изображенную на рис.
87 справа. Пусть S(ω) — спектральнаямощность шумового напряжения Uш на входе цепочки. Нас интересует, какова будет спектральная мощность SL (ω) напряжения UL на индуктивности L? Находим коэффициент передачи и выписываем ответ.iωL,R + iωL + 1/iωC2S(ω) ω2 L2SL = S(ω) × K(ω) =2R2 + ωL − 1/ωCUL = Uш × K(ω),11.3K(ω) =Основные виды шумовМы рассмотрим следующие виды шумов:1. Тепловой шум (белый шум).2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
