С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005 (1119806), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом амплитуда колебаний увеличивается дважды за∆dCпериод каждый раз на относительную величину ∆UUC = d .10 УСИЛИТЕЛИ80C(t)∆CC(t)π2πω0 tLUCPSfrag replacementsR1q = CUC =const2psfragRRω0 t∆UC /UC ' −∆C/C∆U' UC × ∆C/CРис. 83: Принцип параметрического усиленияТеперь рассмотрим колебания, описываемые кривой (2) на графике на рис. 83. Изменение емкости вмомент T/4 не влияет на амплитуду колебаний, т.к. в этот момент конденсатор разряжен.
В момент времени 2T/4 емкость увеличивается, т.е. расстояние d между пластинами уменьшается. Конденсатор в этотмомент заряжен и сила притяжения между пластинами конденсатора совершает положительную работу.Эта работа совершается за счет энергии конденсатора. В результате амплитуда колебаний уменьшается. Вмомент времени 3T/4 изменение емкости не влияет на амплитуду колебаний, т.к. в этот момент конденсатор опять разряжен.
В момент времени 4T/4 напряжение на конденсаторе уменьшается по тем же причина,что и в момент 2T/4. Таким образом амплитуда колебаний в контуре на каждом шаге уменьшается.Таким образом мы видим, что параметрическое усиление фазо-чувствительно: одни колебания (вида(1)) раскачиваются, другие (вида (2)) — подавляются.Рассмотрим, как влияет собственное затухание в контуре на условия параметрической раскачки. Заполпериода из-за собственной релаксации в контуре амплитуда уменьшается на относительную величину∗T2π/ω0π∆UC = − 1 − e−T/2τ ' − ∗ = −=−.UC rel2τ4Q/ω02QЗдесь T = 2π/ω0 — период собственных колебаний в контуре, τ∗ = 2Q/ω0 — время релаксации, Q—добротность контура.
Параметрическая раскачка приводит в случае (1) или (2) на рис. 83 к относительному увеличению или уменьшению амплитуды соответственно:∆d∆UC =±= ±mUC paramdТаким образом суммарное относительное уменьшение амлитуды за полпериода равно:ππ∆UC =−±m=UC full2Q2QэквЭто означает, что эквивалентная добротность контура при параметрическом воздействии равна:Qэкв =Q1∓2mQπ,10 УСИЛИТЕЛИ81где знак "−"соответствует параметрической раскачке колебаний (случай (1) на рис. 83), а знак "+—параметрическому подавлению (случай (2)).Случай 2mQ> 1 соответствует неустойчивости: колебания неограниченно растут со временем. Этимπпараметрический резонанс отличается от силового резонанса14 . В реальных системах возрастание параметрических колебаний ограничено различными нелинейностями (например, зависимостью потерь илисобственной частоты контура от амплитуды колебаний).10.9.2Одноконтурный параметрический усилительВ качестве примера параметрического усиления рассмотрим схему на рис.
84: длинная линия с волновымсопротивлением ρ нагружена на параметрический контур с собственной частотой ω 0 . Емкость C контураизменяется по законуC = C0 (1 − m sin(2ω0 t + φ)).(118)Пусть падающая волна имеет резонансную частоту:U+ (t) = U+0 sin(ω0 t − ω0 z/c).Ниже мы покажем, что в зависимости от фазы φ между падающей волной и фазой накачки отраженнаяволна U− (t) будет усиливаться или подавляться.replacementsRC(t)ρU+U−LzРис. 84: Схема параметрического усилителя, включенного в конец длинной линииОбозначая через q заряд конденсатора, а через I ток через индуктивность, можно записать:U+ + U −=q= Lİ,C(119)U+ − U −ρ=q̇ + I.(120)Здесь уравнение (119) описывает равенство напряжений на конце линии, на конденсаторе и на индуктивности.
Уравнение (119) описывыает равенство тока на конце линии сумме токов через емкость и индуктивность.Выражая I через q, используя (119), и дифференцируя оба уравнения (119, 120), получаемU̇+ + U̇−=q̇,CU̇+ − U̇−ρ=q̈ +(121)q.LC(122)Делим (121) на ρ и скдадываем получившееся уравнение с (122). Получаем уравнения, которые мы ибудем анализировать ниже:2U̇+ρ=q̈ +U−=q− U+ .Cqω0 q̇q̇+= q̈ ++ ω20 (1 + m sin(2ω0 t + φ))q,ρC LCQ(123)(124)14 Напомним, что в случае силового резонанса при наличии собственной релаксации в контуре всегда устанавливаетсяконечная амплитуда колебаний.11 ШУМЫ82Здесь мы учли зависимость емкости C(t) от времени только в последнем члене в равой части уравнения.Можно показать, что учет зависимости C(t) в члене q̇/(ρC) практически не влияет а поведение системы.Сначала рассмотрим случай, когда нет модуляции емкости (m = 0). Записывая q = q 0 sin ω0 t иподставляя в (123), а затем в (124), получаем2ω0 U+0ρU−ωq0⇒q0 = 2U+0CρC= U+0 sin(ω0 t + ω0 z/c).=Мы получили естественный результат: амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей.Теперь рассмотрим случай, когда емкость модулируется по закону (118).
Ищем заряд q в виде q =q0 sin ω0 t и подставляем в (123), отбрасывая члены, осциллирующие с частотой 3ω 0 :2ω0 U+cos ω0 tρ= q0 sin ω0 t(−ω20 + ω20 (1 + m sin(2ω0 t + φ)) += q0 ω20 msin ω0 t sin(2ω0 t + φ)|{z}+ω20 q0cos ω0 t =Qω20 q0cos ω0 t =Q1/2(cos(ω0 t+φ)−cos(3ω0 t+φ))'ω2 q0ω20 m q0cos(ω0 t + φ) + 0 cos ω0 t2QРассмотрим 2 случая: φ = 0 и φ = π.При φ = 0 получаем:q0=2U+0 C0,1 + mQ/2U− = U +01 − mQ/2sin(ω0 t + ω0 z/c)1 + mQ/2Мы видим, что амплитуда отраженной волны меньше амплитуды падающей. Это параметрическое подавление колебаний в контуре, соответствующее графику (2) на рис.83).При φ = π получаем:q0=2U+0 C0,1 − mQ/2U− = U +01 + mQ/2sin(ω0 t + ω0 z/c)1 − mQ/2Мы видим, что амплитуда отраженной волны больше амплитуды падающей. Это соответствует параметрическому усилению колебаний в контуре (аналог — график (1) на рис.83).11ШумыНеотемлемой частью радиофизики является анализ шумов (помех) в различных устройствах.
Предсказатьповедение шумовой компоненты, например, напряжения невозможно, однако знать ее характеристики (величину, спектр) необходимо. Это также как волнение на море: предсказать точное поведение поверхностиводы нельзя, однако морякам важно знать среднюю амплитуду (сколько баллов шторм) и, может быть,характерные длины волн (частоты).Мы начнем наше рассмотрение с характеристик случайного процесса.11.1Характеристики случайного процессаШумовые напряжение, ток (или другие физические величины) не могут быть заранее предсказаны.
Однако могут быть рассчитаны различные характеристики случайного процесса. Нас будут интересоватьсреднее (математическое ожидание), дисперсия, функция автокорреляции (на частотном языке — спектральная плотность). Мы будем рассматривать только гауссовые процессы, т.е. процессы с плотностьювероятности, описываемой гауссовым распределением.Мы будем использовать эргодическую гипотезу, согласно которой усреднение по ансамблю и по большому отрезку времени эквивалентны. Мы будем также рассматривать только стационарные случайныепроцессы, для которых среднее, дисперсия и другие моменты15 не зависят от времени.15 Согласно центральной предельной теореме распределение вероятности случайной величины, являющейся суммой большого числа независимых случайных величин, асимптотически стремится к нормальному (гауссовому) распределению.
Длянормального распределения все моменты случайной величины определяются первыми двумя (средним и дисперсией). Обычно случайные процессы в радиофизике молчаливо предполагаютя гауссовыми.11 ШУМЫ83Таким образом для среднего x̄ и дисперсии σ мы можем записать:1limT →∞ Tx̄ =Z T/2−T/2∆x(t) = x(t) − x̄,x(t) dt ≡ hxi,σ = ∆x2 = (x(t) − x̄)2 .Напомним, что в нашем случае величины x̄ и σ не зависят от времени.Ниже будем рассматривать шумовые напряжения (или токи) и случайную величину обозначим u(t).Тогда величина u(t)2 соответствует мощности (выделяющейся на сопротивлении 1 Ом). Рассмотрим сумму двух случайных напряжений u1 (t)+u2 (t) (суммарное напряжение приложено к резистору 1 Ом). Тогдаих мощность (выделяющаяся на сопротивлении 1 Ом) будет равна(u1 (t) + u2 (t))2 = u1 (t)2 + u2 (t)2 + 2u1 (t)u2 (t).Здесь первые два члена в правой части соответствуют средним мощностям каждого источника.
Последнийчлен пропорционален произведению двух случайных величин и описывает их корреляцию. Если источники u1 (t) и u2 (t) независимы друг от друга, то их произведение в среднем будет равно нулю. В этомслучае говорят, что источники не коррелированы.11.1.1Автокорреляционная функцияСреднее и дисперсия случайного процесса не описывают связи между значениями случайного напряженияв различные моменты времени. Для этого служит автокорреляционная функция, которая определяетсяследующим образом (напомним, что u(t) = 0):B(τ)= u(t)u(t − τ) =Z1 T/2= limu(t)u(t − τ) dt.T →∞ T −T/2(125)Здесь τ — временной сдвиг. При τ = 0 автокорреляционная функция равна дисперсии. Для стационарногопроцесса автокорреляционная функция, как это следует из определения (125), зависит только от |τ| 16 .Таким образом можем записать:B(0)= σ = limT →∞B(τ) = B(−τ).1TZ T/2u(t)2 dt,−T/2Очевидно, что при τ = 0 автокорреляционная функция имеет максимум.
Чем больше τ, тем сильнееслучайная величина "забывает"себя и поэтому |B(τ > 0)| < B(0). Характерное время τ = τ 0 , при которомавтокорреляционная функция зна́чимо уменьшается (обычно |B(τ0 )| = B(0)/e, e — основание натуральногологарифма), характеризует "память "системы и называется временем корреляции.11.1.2Спектральная плотностьОсновным понятием в радиофизике является спектральная плотность случайной величины.
Традиционноее определяют следующим образом. Пусть мы имеем генератор шума напряжения. Примем, что среднеенапряжение генератора равно нулю. Пусть мы измеряем напряжение на нем через узкополосный фильтр,как показано на рис. 85: коэффициент передачи фильтра равен единице в полосе ∆ω. На выходе фильтрамы получим реализацию случайного процесса. Используя эргодическую гипотезу и записывая реализациислучайного напряжения на выходе фильтра в течение достаточно долгого времени мы можем измеритьдисперсию случайного напряжения ∆u2 . Эта дисперсия будет пропорциональна полосе фильтра ∆ω:1∆u ≡ limT →∞ T2Z T/2−T/2uab (t)2 dt ' S̃u (ω) × 2 ×∆ω2π(126)16 Вообще говоря, случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его среднее и дисперсия не зависятот времени, а автокорреляционная функция зависит от модуля |τ|.11 ШУМЫ841a∆ωreplacementsUшbРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
