С.П. Вятчанин - Конспект лекций по Радиофизике 2005 (1119806), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Дробовой шум (белый шум).3. Фликкер шум (избыточный шум или “1/f”-шум).Условно эти шумы можно разделить на фундаментальные (тепловой и дробовой шумы) и технические(фликкер шум). Начнем с теплового шума.11.3.1Тепловой шумБлагодаря хаотическому движению носителей заряда в проводнике возникают случайные токи внутрипроводника, а следовательно, на концах его — случайные напряжения.
Время корреляции такого шумамалó и поэтому с хорошей степенью приближения его можно рассматривать как белый шум.Тогда любое сопротивление можно рассматривать, как содержащее эквивалентный генератор шума —напряжения или тока, как показано на рис. 88а справа (само сопротивление, естественно, принимаетсянешумящим).
Поскольку тепловой шум является белым, то спектральные плотности этих генераторовнапряжения или тока не будут зависеть от частоты.Чтобы найти величину спектральной плотности Su (ω) = S0 эквивалентного генератора напряжениятеплового шума19 рассмотрим вспомогательнуь цепь на рис. 88б. Используя (145) можно сразу посчитать19 Спектральная плотность S (ω) эквивалентного генератора тока будет при этом равна S (ω) = S (ω)/R2 (это следуетuIIиз теоремы об эквивалентном генераторе).11 ШУМЫ89a)RRreplacementsUтшPSfrag replacementsUтшIтшRa)б)RUCRIтшCUтшРис. 88: Представление реального сопротивления, как нешумящего сопротивления с шумовым генератором напряжения или тока (а).
Цепь для расчета спектральной плотности теплового шума (б).дисперсию напряжения на емкости, расчитать среднюю энергию емкости, приравнять ее средней тепловойэнергии, приходящейся на одну степень свободы:ZCU2CC ∞ dωκT=SC (ω) =22 0 2π2Спектральную плотность SC (ω) напряжения на емкости мы выразим через спектральную плотность S0и проинтегрируем по всем частотам:UC (ω)=SC (ω)=U2C=CU2C2=Uфл (ω)/(iωC)Uфл (ω)=,R + 1/(iωC)1 + iωRCS0,1 + (ωRC)2Z∞S0dωS0=,22π1+(ωRC)4RC0κT,2U2C =κT,C⇒ Su (ω) = S0 = 4κTR,SI (ω) =4κTR(151)В последней формуле представлена также и спектральная плотность SI (ω) генератора шумового тока(рис. 88a) внизу).Формула (151) для спектральной мощности шумового напряжения называется формулой Найквиста 20.Таким образом, дисперсия шумового напряжения на сопротивлении в полосе частот ∆f (выраженнойв герцах) или ∆ω (выраженной в рад/сек) будет равна:∆U2тш' 4κTR ∆f =2κTR ∆ω,πМы вывели формулу Найквиста в рамках классической физики.
В квантовом случае (т.е. T → 0) этаформула должна быть переписана в виде:h̄ωh̄ωSu (ω) = 4κTR ⇒ 4R,(152)+ h̄ω/κT2e−1ωгрκTT = 300◦ K ⇒ fгр ==' 6 · 1012 Гц.2πhгде h̄ — постоянная Планка. Здесь мы привели оценку частоты fгр , разделяющей квантовый и классический случаи. При f fгр справедлива классическая формула Найквиста, при f fгр можно пользоваться20 Вамериканской литературе ее несправедливо называют формулой Джонсона.11 ШУМЫ90PSfrag replacementsIreplacementsII0tτ1τ0τ0I0tB(τ−τ0τ0ττ1Рис.
89: Ток через анод представляет собой набор импульсов тока (слева). Автоорреляционная функцияB(τ).асимптотикой квантовой формулы, заменив в (151) κT → h̄ω/2, в промежуточном случае f ∼ f гр — точнойформулой (152).Подчеркнем, что тепловые шумы являются фундаментальными и они существуют в любой системес диссипацией, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Наличие параметра диссипации (сопротивление R) в формуле Найквиста можно качественно объяснить тем, что рассеяние энергиив системе тем больше, чем больше связь ее с термостатом. Величина этой же связи описывает случайное воздействие термостата на систему.
Очевидно, что в системе без диссипации тепловые шумы будутотсутствовать, а чем больше диссипация — тем больше тепловые шумы.Не случайно теорема Найквиста является частным случаем флуктуационно-диссипативной теоремы(ФДТ). Физический смысл ФДТ заключается в том, что чем больше потери в системе на данной частотепри внешем воздействии, тем больше спектральная плотность шумов на этой частоте.11.3.2Дробовой шумПричиной дробового шума является дискретность электрических зарядов, которые переходят из одногопроводящего материала в другой.
Наиболее ярко это проявляется, например, в вакуумном диоде, гдеэлектроны поглощаются в аноде не непрерывно, а “порциями” кратными заряду электрона e. Этот шуманалогичен шуму падения отдельных дробинок на поверхность, допустим, воды. Если за некоторое времяпадает в среднем N дробинок, то дисперсия этого числа составит ∆N2 =N, т.к. каждая дробинка падаетнекоррелировано с другой (аналогично шагам абсолютно пьяного человека). Поэтому очевидно, что чембольше поток дробинок, тем больше должен быть шум.Вернемся к току в вакуумном диоде.
Поскольку отдельные электроны поглощаются порциями, то токанода будет иметь вид импульсов длительности τ0 , как это изображено на рис. 89. Заряд, содержащийсяв каждом импульсе, равен заряду электрона e, поэтому I0 = e/τ0 . Очевидно также, что средний токI = I0 × τ0 /τ1 .
Пусть длительность τ0 каждого импульса значительно меньше среднего интервала τ1между импульсами. Таким образом имеемI0=e,τ0τ0 τ 1I=e.τ1(153)Подчеркнем, что импульсы не коррелированы, т.е. появление очередного импульса никак не связано спредыдущим. Теперь посчитаем автокорреляционную функцию тока:I(t)I(t − τ) = B(τ) = lim=1T×Tτ1T →∞Z τ01TZ T/2I(t)I(t − τ)dt =(154)−T/2I(t)I(t − τ)dt.(155)−τ0RT/2Rτ1 /2Очевидно, интеграл −T/2 в (154) можно заменить на T/τ1 −τ.
А учитывая, что подынтегральное1 /2выражение будет отлично от нуля толька для |τ| ≤ τ0 , получим выражение (155). После интегрированияполучаем 2I0(τ0 −|τ|),если |τ| < τ0 ,τ1 (τ0 − |τ|) = e Iτ2(156)B(τ) =00,если |τ| > τ0 .11 ШУМЫ91Вид функции B(τ) приведен на рис. 89 справа.
Теперь, применив теорему (143) Винера-Хинчина, можнорассчитать спектральную плотность дробового шума. Нас интересуют частоты ω 1/τ 0 (на временномязыке это означает, что за время наблюдения 1/ω пролетит много электронов) поэтому можно переписатьфункцию автокорреляции через дельта-функцию:B(τ) = e I δ(τ)Подставляем это в (143) и рассчитываем спектральную плотность и дисперсию дробового тока в полосечастот ∆f:Z∞B(τ) cos ωτ dτ = 2eI,Sдр (ω) = 4(157)0∆I2= Sдр (ω) ·∆ω= 2eI ∆f.2π(158)Эти выражения известны как теорема Шоттки.Sдр' 1/fα2eIreplacementsДепрессияf∼ 103 Гц∼ 108 ГцРис.
90: Спектр дробового шума согласно обобщенной теореме ШотткиПолезно повторить условия вывода теоремы Шоттки:1. Частоты наблюдения достаточно низкие: ωτ0 1. Если выполняется обратное неравенство ωτ0 ≥ 1,то спектральная плотность дробового шума Sдр (ω) оказывается меньше.2. Нет корреляции между зарядами. (На самом деле кулоновское отталкивание между зарядами частично упорядочивает их движение, что приводит к депрессии (уменьшению) дробового щума.)3.
Нет сгустков зарядов, т.е. отсутствует формирование зарядов в кластеры. (На самом деле есть —это приводит к возрастанию спектральной плотности Sдр (ω) на низких частотах.)Учет приведенных выше оговорок (в скобках), приводит к формуле обобщенной теоремы Шоттки:∆I2β(f)β(f)0.05= 2eI ∆f β(f) Γ,1=, α ' 1 f < 103 Гц,fα' 0.5 f ' 1/τ0 ,< Γ ≤ 1.(159)Согласно (159) спектральная плотность дробового шума не постоянна, а имеет завал на высоких частотахи подъем на низких — это описывается коэффициентом β(f)). Кроме того, возможная депрессия дробового шума учитывается коэффициентом Γ .
Вид зависимости спектральной плотности дробового шума отчастоты в соответствии с обобщенной формулой теоремы Шоттки показан на рис. 90.11 ШУМЫ92Стоит подчеркнуть, что дробовой шум возникает везде, где протекание тока представляется в видеотдельных импульсов, как показано на рис.
89. Например, в полупроводниковых диодах и транзисторахпри переходе электронов или дырок через границы n− и p− областей возникают флуктуации, имеющиесоставляющую дробового шума.11.3.3Фликкер-шумФликкер шумом обычно называют шум, спектральная плотность SF (ω) которого имеет растущую нанизких частотах составляющую:ASF (ω) ' α ,0.8 < α < 1, 4ωгде A и α — постоянные, причем значение постоянной α лежит в указанном интервале. Фликкер шумназывают также избыточным или шумом 1/f.Фликкер шум обнаружен практически во всех материалах, используемых в электронике: в металлических пленках, в полупроводниках, в вакуумных лампах, в сверхпроводниках и т.д. Несмотря на сходствоспектров механизм его возникновения не является общим.
Более того, в большинстве случаев этот механизм пока не выяснен. По-видимому, общим для различных реализаций фликкер-шума являются то,что он представляет сумму случайных процессов, имеющих разные, в том числе и очень большие времена релаксации. Изучение механизмов возникновения фликкер-шума является важной задачей, посколькупонимание его механизма дает, как правило, возможность его уменьшить.11.411.4.1Шумовые характеристики устройствШумовая температура двуполюсникаЗадача передачи сигнала с помощью сферической антенны аналогична задаче передачи сигнала в длиннуюлинию с волновым сопротивлением ρ, один конец которой нагружен на сопротивление R и источниканапряжения (сигнала Us и шума Un ), как показано на рис.
91. Пусть квадрат напряжения шумовогогенератора определяется формулой Найквиста: U2n = 4κT R ∆f, где ∆f — полоса частот, а T — шумоваятемпература. Рассмотрим условие согласования, когда максимальна мощность, отдаваемая в линию.RRreplacementsRнρRнUcUcUтРис. 91: К понятию минимально обнаружимой мощностиМы можем записать для шумовых компонент напряжения и тока:Un = IR + U+ ,U+ = I+ ρ,I = I+Отсюда найдем шумовую мощность W+ , излучаемую в линию:W+ =ρU2(R + ρ)2 nОчевидно, что мощность W+ максимальна при R = ρ и равнаmW+=4κT R ∆fU2n== κT ∆f4R4R11 ШУМЫ93Аналогично нетрудно показать, что приемник может быть описан сопротивлением нагрузки R н , аmшумовая мощность, поглощаемая в сопротивлении Rн , максимальна при условии ρ = Rн и равна W+.Подчеркнем, что при условиях согласования максимальны и сигнальная, и шумовая мощности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
